Выберем в качестве базисного минора

.

Следовательно, и система имеет ненулевые решения.

Запишем укороченную систему

.

В качестве базисных неизвестных выберем и(т. к. в базисный минор выбраны 1-й и 2-й столбцы), тогдаи- свободные неизвестные. Полагая,, находими.

.

Подставим в первое уравнение системы и найдем:

Запишем общее решение системы

.

Из общего решения находим любое частное решение. Например, полагая ,, получим,. Таким образом, частное решение системы имеет вид:,,,.

4.3. Варианты контрольных заданий для контрольной работы № 1 Элементы линейной алгебры

1. Найти значение матричного многочлена , если задан многочлени матрица

1.1. ,.

1.2.

1.3. ,

1.4.

1.5. ,

1.6. ,

1.7. ,

,

1.8. ,

1.9. ,

1.10. ,

1.11. ,.

1.12. ,.

1.13.

1.14. ,

1.15.

1.16. ,

1.17. ,

1.18. ,

,

1.19. ,

1.20. ,

2. Найти произведение матриц и:

2.1

2.2., .

2.3. ,

2.4.

2.5.

2.6. ,

2.7.

2.8.

2.9.

2.10.

2.11.

2.12., .

2.13. ,

2.14.

2.15.

2.16. ,

2.17.

2.18.

2.19.

2.20.

3. Вычислить определитель матрицы из задания 2, соответствующего варианта.

4. Доказать совместность системы линейных уравнений и решить ее двумя методами: 1) Крамера; 2) матричным.

4.1.4.2.

4.3. 4.4.

4.5. 4.6.

4.7. 4.8.

4.9. 4.10.

4.11. 4.12.

4.13. 4.14.

4.15. 4.16.

4.17. 4.18.

4.19. 4.20.

5. Найти общее и одно частное решение неоднородной системы линейных уравнений, записать фундаментальную систему решений.

5.1.5.2.

5.3.5.4.

5.5.5.6.

5.7.5.8.

5.9.5.10.

5.11.5.12.

5.13.5.14.

5.15.5.16.

5.17.5.18.

5.19. 5.20.

4.4. Методические указания к выполнению контрольной работы № 2 элементы векторной алгебры Понятие вектора. Линейные операции над векторами

Геометрическим вектором называется направленный отрезок. Обозначается вектор двумя большими латинскими буквами с общей чертой (начало вектора,конец вектора) или одной малой(см. рис.)

Векторы называются равными, если они имеют одинаковые длины, лежат на параллельных прямых или на одной прямой и направлены в одну сторону. Число, равное длине вектора, называется его модулем.

Если заданы декартовы координаты вектора , то модуль вектора, обозначаемый символом, вычисляется по формуле:.

Если заданы две точки в декартовой системе координат и, гденачало вектора,конец вектора, то координаты векторавычисляются по формулам.

Операции алгебраического сложения векторов и умножение вектора на число называются линейными операциями над векторами.

1. Если ,, то координаты векторавычисляются по формулам.

2. Если идействительное число, то координаты векторавычисляются по формулам.

Пример. Даны два вектора и.

Вычислить а) ; б).

Решение.

а) ;

Скалярное произведение векторов, его свойства

Скалярным произведением двух векторов иназывается число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними. Скалярное произведение векторовиобозначаетсяили.

Обозначим через угол между векторамии. Тогда скалярное произведение выражается формулой

.

Если векторы изаданы декартовыми координатами,, то скалярное произведение вычисляется по формуле

.

Скалярное произведение векторов иравно нулю () тогда и только тогда, когда векторыиперпендикулярны. В частности, еслиили.

Алгебраические свойства скалярного произведения:

1.

2. , гдеконстанта;

3. .

С помощью скалярного произведения можно вычислить:

1. Модуль вектора :. Эта формула справедлива для любой системы координат. В частности, в декартовой системе координат данная формула примет вид, где.

2. Косинус угла между векторами и

.

3. Проекцию вектора на вектор

.

Пример. Векторы ивзаимно перпендикулярны и,. Найти.

Решение.

.

Пример. Вычислить косинус угла, образованного векторами и.

Решение.

Воспользуемся формулой .

;

Векторное произведение векторов

Векторным произведением вектора на векторназывается вектор, обозначаемый символом (или) и определяемый тремя правилами:

1. , где угол между векторамии;

2. вектор перпендикулярен к каждому из векторови;

3. 

   вектор ориентирован так, что если смотреть с его конца на плоскость векторови, то кратчайший поворот откпроисходит против часовой стрелки (см. рис.)

Алгебраические свойства векторного произведения:

1. ;

2. , где вещественное число;

3. .

Геометрические свойства векторного произведения:

1. модуль векторного произведения равен площади параллелограмма, построенного на векторахи;

2. если ,, тотогда и только тогда, когдаипараллельные векторы;

3. если векторы изаданы декартовыми координатами,, то векторное произведениенавычисляется по формуле

.

Пример. Даны точки ,,. Вычислить площадь треугольника.

Решение.

,

Вычислим :

.

Тогда (кв.ед.).

Смешанное произведение трех векторов

Смешанным произведением трех векторов ,иназывается число, равное скалярному произведению векторана вектор. Принято обозначение смешанного произведения трех векторов(или).

Геометрические свойства смешанного произведения:

1. модуль смешанного произведения равен объему параллелепипеда, построенного на векторах,и;

2. векторы ,илежат в одной плоскости тогда и только тогда, когда.

Если векторы ,изаданы декартовыми координатами:,,, то смешанное произведение вычисляется по формуле

.

Пример. Даны вершины тетраэдра ,,,. Найти длину высоты, опущенную из вершины.

Решение.

.

Тогда

Откуда получим . Вычислим(см. предыдущий пример).

Тогда

Кривые второго порядка

В декартовой системе координат общее уравнение кривой второго порядка имеет вид

(2)

где не все коэффициенты ,иодновременно равны нулю. Если, то уравнениеопределяет прямую линию.

В декартовой системе координат уравнение (2) примет один из следующих видов:

1. каноническое уравнение окружности с центром в точке и радиусом;

2. каноническое уравнение эллипса с центром в точке и полуосямии;

3. канонические уравнения гиперболы:

а) каноническое уравнение гиперболы сцентром в точке , действительной полуосьюи мнимой полуосью;

б) каноническое уравнение гиперболы с центром в точке , действительной полуосьюи мнимой полуосью;

4. канонические уравнения параболы:

а) каноническое уравнение параболы с вершиной в точкеи осью симметрии, параллельной оси.

б) каноническое уравнение параболы с вершиной в точкеи осью симметрии, параллельной оси.

Используя каноническое уравнение кривой, легко построить график данной линии в декартовой системе координат.

Пример. Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду. Определить вид кривой и построить ее график.

а)

.

Разделим обе части уравнения на 144: . Данное уравнение определяет гиперболу с центром в точке, действительной полуосьюи мнимой полуосью. Сделаем схематический чертеж.

б)

парабола с вершиной в точке и осью симметрии, параллельной оси.

в) .

Преобразуем это уравнение, возведя обе части в квадрат

, ,,.

Последнее уравнение определяет эллипс с центром в точке и полуосями,. Если решить данное уравнение относительно, получим

, .

В условии задачи дано второе из этих уравнений. Оно определяет не весь эллипс, а только ту его часть, для точек которой , т.е. половину эллипса, расположенную ниже оси.