Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Политехнический Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика. 30

..docx

Скачиваний:

Добавлен:

29.05.2015

Размер:

132.51 Кб

Скачать

☆

Евклидовы пространства

Определение евклидова пространства

Вещественное линейное пространство называется евклидовым, если каждой паре элементов этого пространства поставлено в соответствие действительное число , называемое скалярным произведением, причем это соответствие удовлетворяет следующим условиям:

В скалярном произведении вектор — первый, а вектор — второй сомножители. Скалярное произведение вектора на себя называется скалярным квадратом. Условия 1–4 называются аксиомами скалярного произведения. Аксиома 1 определяет симметричность скалярного произведения, аксиомы 2 и 3 — аддитивность и однородность по первому сомножителю, аксиома 4 — неотрицательность скалярного квадрата .

Линейные операции над векторами евклидова пространства удовлетворяют аксиомам 1–8 линейного пространства, а операция скалярного умножения векторов удовлетворяет аксиомам 1–4 скалярного произведения. Можно сказать, что евклидово пространство — это вещественное линейное пространство со скалярным произведением. Поскольку евклидово пространство является линейным пространством, на него переносятся все понятия, определенные для линейного пространства, в частности, понятия размерности и базиса.

Простейшие следствия из аксиом скалярного произведения

Аксиомы 2 и 3 скалярного произведения можно заменить одним условием линейности скалярного произведения по первому сомножителю:

Условие линейности скалярного произведения по первому сомножителю в силу симметричности (аксиома 1) справедливо и для второго сомножителя, т.е. скалярное произведение линейно по любому сомножителю.

Линейность скалярного произведения по любому сомножителю распространяется на линейные комбинации векторов:

для любых векторов и действительных чисел .

Если хотя бы один сомножитель — нулевой вектор, то скалярное про изведение равно нулю:

Действительно, представим нулевой вектор в виде , где — произвольный вектор из . Тогда из аксиомы 3 получаем:

Неравенство Коши-Буняковского

Для любых векторов и евклидова пространства выполняется неравенство Коши-Буняковского:

(1)

В самом деле, для любого действительного числа и любых векторов и справедливо неравенство:

Следовательно, дискриминант квадратного трехчлена (переменной ) не больше нуля, т.е. . Отсюда следует (1). Заметим, что равенство нулю дискриминанта возможно только в случае существования такого корня , для которого . Это условие равносильно коллинеарности векторов и . Напомним, что ненулевые векторы и называются коллинеарными, если существует такое число , что . Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору. Неравенство Коши-Буняковского выполняется как равенство только для коллинеарных векторов и как строгое неравенство для неколлинеарных.

Примеры евклидовых пространств

Определяя для элементов линейного пространства операцию скалярного произведения, получаем евклидово пространство. Если скалярное произведение можно ввести разными способами в одном и том же линейном пространстве, то и получаемые евклидовы пространства будут разными. Приведем примеры евклидовых пространств, соответствующих примерам линейных пространств.

1. В нулевом линейном пространстве скалярное произведение можно определить единственным способом, положив . Аксиомы скалярного произведения при этом выполняются.

2. В пространствах векторы (свободные или радиус- векторы) рассматриваются как направленные отрезки. В курсе элементарной геометрии вводятся понятия длины вектора и величины угла между векторами, а затем определяется скалярное произведение: . Аксиомы 1—4 для этого скалярного произведения выполняются. Поэтому пространства являются евклидовыми. Неравенство Коши-Буняковского в этом пространстве означает, что . Геометрический смысл: длина проекции не превосходит длины наклонной (катет короче гипотенузы).

3. В пространстве скалярное произведение столбцов и можно задать формулой:

(2)

где — квадратная симметрическая положительно определенная матрица n-го порядка. Проверим выполнение аксиом 1-4. Аксиома 1 (симметричность) выполняется в силу симметричности матрицы , поскольку число при транспонировании не изменяется, т.е. . Свойство линейности по первому сомножителю для (2) выполняется:

Значит, выполняются аксиомы 2 и 3. Аксиома 4 также выполняется, так как квадратичная форма положительно определенная. Таким образом, пространство со скалярным произведением (2) является евклидовым пространством. В частности, если в качестве матрицы взять единичную матрицу, формула (2) примет вид:

(3)

Это скалярное произведение считается стандартным в пространстве . Неравенство (1) Коши-Буняковского в «-мерном арифметическом пространстве со скалярным произведением (3) трансформируется в неравенство Коши:

Приведем примеры формул, которые не задают скалярного произведения в

1) — аксиомы 1, 4 выполняются, а аксиомы 2, 3 — нет;

2) — аксиомы 1, 2, 3 выполняются, а аксиома 4 — нет.

4. Пространство решений однородной системы линейных уравнений со скалярным произведением (3) является евклидовым пространством.

5. В пространстве действительных функций, определенных и непрерывных на данном промежутке , скалярное произведение можно задать формулой:

(4)

В самом деле, аксиомы 1, 2, 3 для (4) выполняются в силу свойств определенного интеграла. Проверим выполнение аксиомы 4. Для ненулевой функции , так как, если в какой-нибудь точке функция , то в силу непрерывности она отлична от нуля в некоторой окрестности точки , целиком лежащей в интервале . Поэтому интеграл от в этой окрестности больше нуля.

Таким образом, пространство со скалярным произведением (4) является евклидовым. Скалярное произведение (4) считается стандартным в пространстве . Для разрывных функций формула (4) не определяет скалярного произведения, так как нарушается аксиома 4. Неравенство (1) Коши-Буняковского в пространстве со скалярным произведением (4) трансформируется в неравенство Шварца:

6. В пространстве многочленов с действительными коэффициентами скалярное произведение можно задать формулой (4), так как многочлены являются непрерывными функциями.

В пространстве многочленов степени не выше, чем , зададим скалярное произведение многочленов и формулой:

(5)

Выражение в правой части (5) симметрично для коэффициентов двух многочленов, поэтому аксиома 1 выполняется. Аксиомы 2, 3 следуют из линейности выражения по коэффициентам каждого многочлена. Проверим аксиому 4. Запишем скалярный квадрат . Заметим, что только при , т.е. в случае нулевого многочлена . Следовательно, формула (5) задает скалярное произведение в пространстве .

В пространстве определим произведение формулой:

(6)

В силу симметричности и линейности правой части (6) по значениям многочленов, заключаем, что аксиомы 1-3 выполняются. Проверим выполнение аксиомы 4. Приравняв скалярный квадрат нулю, получаем

Это возможно только при . Из этих трех равенств не следует, однако, что многочлен нулевой. Например, ненулевой многочлен удовлетворяет трем равенствам. Следовательно, в пространстве формула (6) не задает скалярного произведения. Напротив, в пространстве формула (6) определяет скалярное произведение. Так как из равенств следует, что многочлен степени не выше второй тождественно равен нулю.

Длина вектора и угол между векторами в евклидовом пространстве

Длиной (нормой) вектора в евклидовом пространстве называется число .

Имея в виду обозначение, длину называют также модулем вектора. Рассматривается арифметическое значение квадратного корня, которое определено для любого вектора из-за неотрицательности подкоренного выражения (аксиома 4). Поэтому каждый вектор имеет положительную длину, за исключением нулевого, длина которого равна нулю: .

Углом между ненулевыми векторами и евклидова пространства называется число

то есть и

Представив неравенство Коши-Буняковского (1) в виде можно сделать вывод, что абсолютное значение выражения не превосходит единицы, т.е. величина угла определена для любой пары ненулевых векторов. Заметим, что угол между коллинеарными векторами равен нулю или .