Принцип Гюйгенса – Френеля

Огибающая поверхность вторичных элементарных волн Гюйгенса рассматривается Френелем как поверхность, где вследствие взаимной интерференции элементарных волн результирующая волна имеет заметную интенсивность. При определении интенсивности (амплитуды) результирующей волны Френель предложил рассматривать поверхность фронта волны S как светящуюся поверхность. Излучение отдельных элементов dS поверхности S (рис. 1а) приходя в точку Е определяет своей совокупностью интенсивность излучения в этой точке. Так как фазы всех источников dS определяются излучением, идущим из точки О, то они будут когерентными и при сложении в точке Е будут интерферировать. Для вычисления интенсивности результирующей волны Френель предложил следующий прием, получивший название метода зон Френеля.

Метод зон Френеля

Соединим источник света О с рассматриваемой точкой М (рис.1б), разбиваем поверхность SS фронта волн на зоны такого размера, чтобы расстояние l от краев зоны до М отличались на полволны, т.е. радиусами:

l₀ = в; l₁ = в + ; l₂ = в + 2 ; l₃ = в + ... l_n = в +.

Если пренебречь малыми величинами второго порядка, то площади каждой полученной зоны будут одинаковыми и равны

S = , а радиус n–ой зоны

(1)

При этом необходимо учитывать следующие обстоятельства:

1. По мере удаления от центра С нормаль к волновой поверхности составляет все больший угол с направлением СМ и вследствие этого действие удаленных зон будет мало эффективным.

2. При построении зон по методу Френеля соответствующие точки двух соседних зон будут отличаться по фазе на  и при интерференции в точке М будут гасить друг друга.

Математические вычисления показывают, что действие безграничной световой поверхности S в точке М сводится к эквивалентному действию половины одной центральной зоны. Этим и объясняется прямолинейность распространения света.

Вопрос о том, что будет наблюдаться в точке М, максимум или минимум интенсивности от света, проходящего через отверстие SS, решается числом зон Френеля, которые укладываются в отверстии.

1. Если число зон будет четное, то зоны попарно погасят друг друга и в точке М будет минимум интенсивности.

2. Если число зон Френеля будет нечетное, то парные зоны погасят друг друга, а одна зона остается не погашенной и даст максимум интенсивности.

Дифракцию света, наблюдаемую от сферических волн, т.е. в случае, когда источник света находится на конечном расстоянии R, называют дифракцией Френеля.

Дифракцию света, наблюдаемую от параллельных лучей, т.е. в случае, когда источник света находится в бесконечности и фронт волны плоский, называют дифракцией Фраунгофера.

Если фронт волны плоский, то R = и площадиS_i, будут равны S = b, а радиусn–ой зоны Френеля

rn =

(2)

Дифракция от щели в параллельных лучах

Пусть мы имеем монохроматическую плоскую волну, т.е. лучи света имеют одинаковую частоту и идут параллельно.

Поместим на пути лучей (рис.2) перпендикулярно к их направлению непрозрачную пластинку с узкой щелью АВ, края которой перпендикулярны плоскости чертежа. В этом случае АВ будет фронтом волны. На рис. 2 щель АВ сильно увеличена.

По принципу Гюйгенса каждая точка волновой поверхности АВ является источником новых элементарных сферических волн, и поэтому из всех точек щели световые колебания будут распространяться во всех направлениях, заходя и в область геометрической тени.

В направлении СМ, нормально к щели, все волны идут в одинаковых фазах. Если на пути этих лучей поставить линзу L, она соберет их в своем фокусе М. Так как линза не изменяет соотношение фаз (разности хода), проходящих через нее лучей, то в точку М все лучи придут с одинаковой фазой. Такие лучи при сложении усилят друг друга, и на экране в направлении СМ мы увидим светлую полоску, которую называют н у л е в ы м м а к с и м у м о м.

Рассмотрим теперь параллельный пучок лучей, который распространяется от щели под некоторым углом  к нормали и собирается линзой в точке Е. Из точки Е проведем несколько дуг, начиная от края щели (точки А) на расстоянии друг от друга, где– длина волны падающего света. Эти дуги разобьют поверхность АВ на зоны Френеля, число которых зависит от ширины щели и выбранного направления, определяемого углом.

На рис. 2. ВР = следовательно таких зон Френеля в АВ две– АС и СВ.

Пусть ширина щели равна АВ = а, тогда разность хода крайних лучей

ВР = Sin и число зон Френеля m определяется из равенства:

Sin 

(3)

Пользуясь методом Френеля, можно сделать следующий вывод.

В тех направлениях, в которых разность хода крайних лучей равна целому числу волн, т.е. четному числу полуволн, число зон Френеля будет четное, каждая пара зон погасится, и мы увидим на экране темные полосы – м и н и м у м ы. Математическое условие минимума можно записать равенством:

а Sin  = 2 k, или Sin =,

(4)

где к – любое целое число, определяющее порядок соответствующего минимума, к – 1, 2, 3.....В тех направлениях, в которых разность хода крайних лучей равна нечетному числу полуволн, число зон Френеля будет нечетное, и мы увидим на экране светлые полосы, м а к с и м у м ы, Математически условие максимума можно записать равенством:

aSin = (2k + 1) или Sin =

(5)

где k – любое целое число, определяющее порядок соответствующего максимума, k = 1, 2, 3 …

Следовательно, при нормальном падении параллельного пучка лучей на узкую щель мы увидим на экране за щелью центральную светлую полоску и симметрично расположенные по обе стороны темные и светлые полоски убывающей яркости.

На рис. 3 показано примерное распределение яркости (ось ординат) в зависимости от синуса угла отклонения (ось абсцисс) для дифракционной картины даваемой одной щелью.

Из равенства (5) видно, что:

1) при постоянной длине волны с уменьшением ширины щели увеличивается угол отклонения, т.е. увеличивается расстояние между светлыми полосками;

2) при постоянной ширине щели с увеличением длины волны увеличивается угол отклонения, т.е. лучи с большей длиной волны дальше отклоняются от нулевого максимума.

Из этого следует, что если на щель падают не монохроматические (не одноцветные) лучи, а например, белые лучи, в состав которых входят волны всевозможных длин от 0,38 до 0,76 мкм, то мы получим на экране центральную белую полоску, а по сторонам симметрично расположатся дифракционные спектры 1, 2, 3... и т.д. порядков, разделенные темными промежутками.