Погрешности измерения.

Измерения физических величин принципиально не могут быть идеально точными, каждый результат измерения отягчен погрешностями.

Погрешностью измерения:

(1)

называется отклонение результата измененияот истинного значенияизмеряемой величины.

В уравнении (1) погрешность выражена в тех же единицах, что и измеряемая величина. Такая погрешность называетсяабсолютной. Чаще оказывается удобней пользоваться относительной погрешностью, представляющей собой отношение абсолютной погрешности измерений к измеряемой величине:

(2)

Погрешности классифицируются по свойствам и причинам возникновения.

По свойствам различаются погрешности систематические и случайные. Составляющая погрешности измерения, остающаяся постоянной или закономерно изменяющаяся при повторных измерениях одной и той же величины в неизменных условиях, называется систематической. Составляющая погрешности измерения, изменяющаяся случайным образом при повторных измерениях одной и той же физической величины, называется случайной.

По причинам возникновения погрешности подразделяется на личные, методические и инструментальные.

К личным погрешностям относятся погрешности, возникающие при отсчетах по шкалам приборов, при отсчетах промежутков времени и т.п. В лабораторном практикуме эта составляющая, как правило, невелика и носит случайный характер.

Методическая погрешность возникает из–за недостаточной разработанности теории всех явлений, которые положены в основу измерений, и из–за неточности тех соотношений, которые используются для расчета искомой величины по данным эксперимента. В лабораторном практикуме эти соотношения точно описывают изучаемое явление, но они не всегда учитывают разнообразие сравнительно небольших влияний внешних факторов, изменение которых носит случайный характер (колебание температуры помещения, электрические и магнитные помехи, нестабильность источника тока и др.). По своим свойствам методические погрешности, встречающиеся в лабораторном практикуме, носят случайный характер.

Инструментальная погрешность измерения возникает из–за несовершенства средств измерений. В условиях лабораторного практикума инструментальная погрешность определяется классом точности приборов. Она носит как систематический, так и случайный характер.

Обнаруженная и оцененная систематическая погрешность исключается из результата измерения путем введения соответствующей поправки, в то время как случайная погрешность снижается путем многократных измерений физической величины. Поэтому основное внимание в лабораторном практикуме уделяют случайным погрешностям измерений.

При определении значения любой физической величины, истинное значение которой , теоретически мыслимо получить бесконечный набор измеренных значений экспериментальных «точек»Такой набор называется генеральной совокупностью значений. Для генеральной совокупности ее характеристики определяются довольно просто. Например, истинное значение в этом случае равно среднему значению, т.е.

(3)

Просто вычисляется и характеристика разброса экспериментальных данных около Х – дисперсия D(x).

На самом деле в распоряжении исследования имеется не бесконечная, а ограниченная совокупность – ряд измеренных значений величины. Эту ограниченную совокупность рассматривают как выборку из генеральной совокупности. Понятно, что ограниченный объем измерительной информации не позволяет в общем случае ожидать, что характеристики выборки в точности равны характеристикам генеральной совокупности. Задача обработки результатов измерений состоит в том, чтобы, пользуясь ограниченным объемом измерений (выборкой объемаиз генеральной совокупности), наилучшим образом приближенно оценить истинное значение и разброс данных этого значения (дисперсию). Такими научными оценками являются соответственно средне арифметическое значение

(4)

выборочная дисперсия отдельных измерений

(5)

и выборочная дисперсия результата измерений

(6)

где отклонение отдельных значений от среднего;

среднее квадратичное отклонение от среднего.

Как уже говорилось, нельзя ожидать, что . Можно лишь утверждать, что с некоторой заранее заданной (доверительной) вероятностью погрешность измерений будет не больше некоторого числа, т.е.

(7)

где характеризует точность оценки величины. Интервал, равныйи заключающий в себе истинное значение, называется доверительным. После обработки результат измерения должен быть записан в виде

(8)

Чтобы рассчитать , должна быть задана (выбрана) заранее доверительная вероятность. В лабораторном практикуме по физике принято считать доверительную вероятность равной 0,96. Выбор такого значения вероятности типичен для физических измерений средней точности.

Для расчета доверительной точности необходимо знать не только доверительную вероятность, но и закон распределения случайной величины . Этот закон вообще говоря, должен быть установлен для каждого конкретного ряда измерений. При большом числе измерений наиболее распространенным являетсянормальный закон распределения погрешности.

На рис.1 представлена ось значений, где за нуль (начало отчёта) выбрано среднее значениеЭкспериментальные значениямогут быть положительными и отрицательными относительно выбранного нуля и теоретически могут располагаться в различных точках оси, т.е. то нуля до бесконечности. Очевидно, что изn экспериментальных значений (“точек”) большинство их расположится симметрично относительно нуля и вблизи нуля, в то время как вероятность появления очень близких значений при достаточно точных измерениях чрезвычайно мала.

Выберем на расстоянии от нуля интервал. Числоэкспериментальных значений, попадающих в этот интервал, тем больше, чем большеи объём выборкиn : . Переходя к бесконечно малым значениям, получаем:

(9)

Функция f() называется функцией распределения вероятности. Эта функция характеризует вероятность появления отклоненияв зависимости от его величины.

Распределение вероятности называют нормальным, если оно описывается дифференциальной функцией

(10)

где σ– средне квадратичное отклонение случайной величины от среднего. График функции f() приведен на рис. 2. Расчеты показывают, что при нормальном распределении в интервал ±σ попадает 68% всех экспериментальных точек, а уже в интервал ±2σ –96% (то есть почти все). Как видно при выбранной доверительной вероятности 0,96 и при нормальном законе распределения отклонений экспериментальных значений от среднего, доверительный интервал равен

При малом числе измерений распределение подчиняется другому закону, а именно закону распределения Стьюдента. Это распределение при больших объемах выборки n переходит в нормальное распределение.

При принятых допущениях погрешность измерений, равную(половине доверительного интервалу), можно интерпретировать как предельную погрешность. Её вычисляют по формуле

, (11)

в которой параметры ψ берут из табл. 3, рассчитанной из распределения Стьюдента для различных объёмов выборки n. Как видно, малое число n измерений приводит к тому, что одновременно вырастают ψ и подкоренное выражение. Тем самым увеличивается доверительный интервал, в пределах которого находится истинное значение измеряемой величины, а следовательно растёт погрешность .

Таблица 3.

n	ψ	n	ψ
3	4,30	9	2,31
4	3,16	10	2,26
5	3,78	15	2,15
6	2,57	20	2,09
7	2,45	50	2,01
8	2,37	100	1,96