Выч. мат. Лекции. 6 семестр

и порядок аппроксимации равен 1.

В первом случае можно взять Fn = fn+1=2 è B = E + 2 A, а во втором случае можно взять Fn = fn, B = E, и тогда jjE B + 2 Ajj = 2 jjAjj = O( ) (f 2 C(0; T ); u 2 C1(0; T )):

8.7Устойчивость разностной схемы по начальным данным

Рассматривается задача Коши

B un+1 un + Aun = 0

ïðè u0 = ' è ïðè u0 = ' + ': Требуется оценить вариацию u решения через вариацию ':

В силу линейности задачи достаточно оценить jjunjj через jj'jj. Предполагается, что матрица B имеет обратную матрицу B 1. Тогда

un+1 un = B 1Aun è un+1 = (E B 1A)un:

Обозначим матрицу E B 1A = S и будем ее называть матрицей перехода,

S= S( ).

Тогда если jjSjj 6 1, то разностная схема устойчива по начальным данным. Остается выбрать нормы в векторном пространстве.

Энергетическое пространство HA. Для положительной матрицы A определим нор-

му вектора jjujjA:

jjujj2A = (Au; u):

Ясно, что все требования, предъявляемые к норме, выполнены.

Теорема. Пусть A симметричная, положительно определенная матрица, и пусть

существует матрица B 1. Тогда разностная схема устойчива по начальным условиям в метрике jj jjA, åñëè B 2 A > 0.

30

Доказательство. Рассмотрим функционал

JA(u) = (Au; u) (ASu; Su) = jjujj2A jjSujj2A:

Величина (ASu; Su) =

= (A(E B 1A)u; (E B 1A)u) = (Au; u) (Au; B 1Au) (AB 1Au; u)+ + 2(AB 1Au; B 1Au) = f(ò. ê. A = A g = (Au; u) 2 (B 1Au; Au)+

+ 2(AB 1Au; B 1Au):

Тогда JA = 2 (B 1Au; Au) 2(B 1Au; AB 1Au): Обозначим B 1Au = x; Au = Bx: JA = 2 (x; Bx) 2(x; Ax) = 2 (x; (B 2 A)x) > 0 ò. ê. B 2 A > 0:

Следовательно (Au; u) > (ASu; Su) или jjSujjA 6 jjujjA è jjS( )jjHA!HA 6 1:

Примеры.

1.B = E. Условие устойчивости JA > 0 приводит к неравенству (x; x) 2 (Ax; x) > 0. Òàê êàê (Ax; x) 6 jjAjj2jjxjj2, то это неравенство будет выполнено, если потребо-

вать, чтобы 1 2 jjAjj2 > 0; ò. å. åñëè

22

6 jjAjj2 = N

условие устойчивости по начальным данным в энергетической метрике jj jjA.

Этот тип устойчивости называется условной устойчивостью (при условии 6 jjA2jj2 ).

2.B = E + A; 2 [0; 1]. Условие устойчивости в HA: (x; (E + A 2 A)x) > 0 ò. å. (x; x)+ ( 12 )(Ax; x) > 0; è òàê êàê (Ax; x) 6 jjAjj2jjxjj22, то условие устойчивости будет выполнено, если

31

схема устойчива по начальным данным при

(условная устойчивость в энергетической норме jj jjA).

-устойчивость. Как и в теореме об устойчивости в jj jjA, будем предполагать, что A = A > 0, но дополнительно предположим, что B = B > 0. Обозначим i собственные числа матрицы B 1A:

0 < 1 6 6 N :

Таким образом, норма матрицы S равна

jjS( )jj2 = max j1 kj; > 0:

k

Строя графики функций j1 k j, мы получаем, что при 0 6 6 2N нормы матриц jjS( )jj 6 1, и при этих значениях разностная схема устойчива в метрике jj jj2 ïî

начальным условиям.

Значения jjS( )jj можно уточнить. Для этого найдем точку пересечения графиков

1 N è j1 1j:

Объединяя эти результаты, получаем теорему о -устойчивости (условной устой- чивости) в метрике jj jj2 по начальным данным:

jjun+1jj 6 jjunjj 6 2jjun 1jj2 6 6 n 1jju0jj = n+1jj'jj:

Эта теорема часто применяется при исследовании асимптотической устойчивости разностной схемы при n ! 1.

32

8.8Устойчивость разностной схемы

Рассматривается разностная схема

33

B 2 A > 0, то разностная схема устойчива в метрике jj jjA по начальным данным. Тогда

n

jjun+1jj2A 6 jjunjj2A+ 2 1"jjFnjj22 6 jjun 1jj2A+ 2 1"jjFn 1jj22+ 2 1"jjFnjj22 6 jj'jj2A+2" XjjFkjj22:

k=0

Теорема. Пусть существует " > 0, такое что матрица B 2 A "E > 0, и матрица A симметричная и положительная, тогда разностная схема устойчива по начальным

условиям и по правой части, и верна оценка:

n

jjun+1jj2A 6 jj'jj2A + 2" XjjFkjj22:

k=0

34