Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Выч. мат. Лекции. 6 семестр

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

22.05.2015

Размер:

303.75 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 43 4 > Следующая >>>

â ýòèõ

муле Тейлора:

u	u		1	un + un +	1	2u•n + O( 3) un = un		1
n+1	n	=					+		u•n + O( 2):
					2			2

Величина f(tn + ; un + f(tn; un)) =

=f(tn + ; un + un) = f(tn; un) + [ft0(tn; un) + fn0 (tn; un) un] + O( 2) =

=f(tn; un) + dtd f(tn; un) + O( 2) = f(tn; un) + u•n + O( 2):

Тогда

= (1

)f(t

; u ) + f(t ; u ) + u•

u• + O( 2) = f(t ; u ) +

+ 2 u•n

un + O( 2) = 2 u•n

+ O( 2):

Мы видим, что при =

2 порядок аппроксимации разностной схемы равен 2.

Рассмотрим частные случаи.

1. = 1; = 1=2: u~n = un

+ 1 f(tn; un): Часто этот этап называют ¾предиктор¿:

предсказание значения f(t; u) на отрезке [tn; tn+1]: f(t; u) f(tn + 21 ; u~n);

un+1 =

= un + f(tn +

; u~). Значение un+1 вычисляется с этим, исправленным значением

f(t; u).

2. = 1=2;

= 1: u~n = un + f(tn; un) значение u~n вычисляется по явной схе-

ме Эйлера. На втором этапе значение f(t; u) на отрезке [tn; tn+1] берется равным полусумме 12 [f(tn; un) + f(tn+1; u~n)]:

un+1 = un + 2 [f(tn; un) + f(tn+1; u~n)]:

Многоэтапные методы повышения порядка аппроксимации получают, строя последовательно точки ti;n 2 [tn; tn+1]; i = 1; 2; : : : ; k и вычисляя значения fi точках:

f1 = f(tn; un)

f2 = f(tn + 2 ; un + 2;1f1)

f3 = f(tn + 3 ; un + ( 3;1f1 + 3;2f2))

: : :

fk = f(tn + k ; un + ( k;1f1 + k;2f2 + : : : k;k 1fk 1)):

Далее значение f(t; u) на отрезке [tn; tn+1] вычисляется как линейная комбинация значений fi с весами pi:

un+1 = un + (p1f1 + + pkfk):

ßñíî, ÷òî P pi должна быть равна 1.

i=1

Значения коэффициентов i; i;j; i + 1; : : : ; k и веса выбираются из условия наибольшего порядка аппроксимации на отрезке [tn; tn+1]. Такие методы построения разностных схем называютя методами Рунге-Кутты.

Для метода Рунге-Кутты второго порядка (2-х этапный метод):

f1 = f(tn; un); f2 = f(tn + 2 ; un + 2 f1); p1 = 1 ; 2 = 1=2; un+1 = un + (p1f1 + p2f2); u 2 C2; n = O( 2):

Для метода Рунге-Кутты третьего порядка:

f1 = f(tn; un); f2 = f(tn + =2; un + =2f1); ( 2 = 1=2; 2;1 = 1=2); f3 = f(tn + ; un f1 + 2 f2); ( 3 = 1; 3;1 = 1; 3;2 = 2):

Разностная схема (p1 = 1=6; p2 = 2=3; p3 = 1=6)

un+1 = un + (16f1 + 23f2 + 16f3); u 2 C3:

Порядок аппроксимации равен 3.

Для метода Рунге-Кутты четвертого порядка наиболее употребительны две схемы:

2 = 1=2; 2;1 = 1=2;3 = 1=2; 3;1 = 1=2;

4 = 1; 4;1 = 1; p1 = 1=6; p2 = 1=3; p3 = 1=3; p4 = 1=6; un+1 = un + (16f1 + 13f2 + 13f3 + 16f4); u 2 C4;

и схема (схема Гилла):

2 = 1=2; 2;1 = 1=2;

							= 1=2(p													=		p				1				;
																								2
		= 1=2;										2			1);									2


	3				3;1														3;2					p2
													1							1
4 = 1; 4;1 = 0; 4;2 = p																		; 4; 3 = 1 + p													;
4 = 1; 4;1 = 0; 4;2 = p																2		; 4; 3 = 1 + p											2		;
							1													1
p1 = 1=6; p2 = 1=3(1 p											); p3		= 1=3(1 + p												); p4						= 1=6;
p1 = 1=6; p2 = 1=3(1 p									2		); p3		= 1=3(1 + p										2		); p4						= 1=6;
		1			1		1						1						1	1
un+1 = un + (				f1 +		(1	p			)f2 +							(1 + p				)f3 +							f4); u 2 C4:
			6		3									3													6
			6		3			2						3						2							6

Эти разностные схемы имеют четвертый порядок аппроксимации.

8.2Многошаговые методы (методы Адамса)

В одношаговых методах для уравнения


					du		= f(t; u (t))
							= f(t; u (t))
					dt
получаем un	+1 un		tn+1	f(t; u (t)) dt, и для построения разностной схемы привле-
получаем un	+1 un		tn	f(t; u (t)) dt, и для построения разностной схемы привле-
каются значения			R	f(t; u(t))				ti 2 [tn; tn+1]:
		функции				в точках			В многошаговых методах

значения интеграла строится в виде квадратурной формулы на основе интерполяционного полинома для функции f(t; u(t)) в m узлах: tn m+2; tn m+3; : : : ; tn 1; tn; tn+1:

Квадратурная формула имеет вид:

tn+1		m 1
Z
	f(t; un(t)) dt k=0 ckf(tn+1 k)u(tn+1 k):
tn		X

В интеграле положим t = tn + и обозначим F ( ) = f(tn + ; u(tn + ))

Z m 1

F ( ) d ckF (1 k):

0k=0

Коэффициенты c0; c1; : : : ; cm 1 определим из условия, чтобы эта квадратурная формула была точна для полиномов степени m.

Пример. m = 2:

Äëÿ F ( ) = 1 : = (c0 + c1 + c2).
Äëÿ F ( ) = :	1		2 = (c0 c2 ):

	2
Äëÿ F ( ) = 2 :		1		3 = (c0 2 + c2 2):
Äëÿ F ( ) = 2 :	3			3 = (c0 2 + c2 2):
	3
	5									3		; c2 =		1
						c0 =		; c1	=						:
						c0 =	12	; c1	=	4				12	:
В итоге получаем разностную схему
	5										3					1
un+1 = un + [						f(tn+1; un+1) +							f(tn; un)				f(tn 1; un 1)]:
un+1 = un + [					12	f(tn+1; un+1) +						4	f(tn; un)			12	f(tn 1; un 1)]:

Если значения un 1; un уже найдены, получаем для un+1 неявную разностную схе- му Адамса. Для вычисления значения un+1 следует решить нелинейное уравнение:

un+1 = 12 f(tn+1; un+1) + [известное значение]:

Явную разностную схему Адамса получим, положив c0 = 0. В этом случае квадратурная формула должна быть точна для полиномов первой степени:

8					8
<	c1 + c2 = 1;				c1 = 3=2;
<		c2 = 1=2;			<c2 =			1=2:
:					:
и явная разностная схема Адамса имеет вид:
		3		f(tn; un)		1
un+1 = un + [							f(tn 1		; un 1)]:
un+1 = un + [			2			2	f(tn 1		; un 1)]:

Для начала счета по методу Адамса необходимо знать значения и впервых точках. Эти значения получают, применяя методы Рунге-Кутты.

8.3Апостериорная оценка погрешности разностной схемы на шаге (правило Рунге)

Как и метод апостериорной оценки погрешности квадратурных формул, этот метод основан на возможности проведения расчетов с дроблением шага.

На отрезке [ti; ti + ] согласно разностной схеме вычисляется значение ui+1, исходя из значения ui. Вычисленное значение обозначим u(1)i+1.

Далее на отрезке [ti; ti + 12 ] вычисляется ui+ 12 , а затем на отрезке [ti + 12 ; ti +

+ ] вычисляется значение ui+1, исходя из найденного значения ui+ 12 . Значение ui+1 обозначим u(2)i+1.

Метод Рунге позволяет оценить погрешность разностной схемы на шаге [ti; ti + ], зная значения u(1)i+1 è u(2)i+1 (при некоторых предположениях). Прежде всего будем предполагать, что точные решения дифференциальных задач имеют непрерывные производные до порядка (s + 1), и что порядок аппроксимации разностной схемы

равен s.

Согласно определению

(

) =

L u ; t

ui+1 ui

C s

)

(

i i)

(

ãäå L(ui; ti) определяет разностную схему:

ui+1 = ui + L(ui; ti):

Тогда

ui+1 ui

= L(u ; ti) =

+ ( )

èui+1 ui = ui+1 ui = C s + o( s), ò. å.

ui(1)+1 ui+1 = C s + o( s):			(1)
Возьмем шаг равный	[ti; ti +	] согласно (1)
2 . Тогда на отрезке	2

ui+ 12 u (ti + 12 ) = C 2 s + o( s);

а на отрезке [ti+ 12 ; ti] получим согласно разностной схеме

ui+1 = ui+ 12 + 2 L(ui+ 12 ; ti+ 12 )

èэто значение обозначим u(2)i+1.

Оценим разность u(2)i+1 u (ti + ). Для этого обозначим через v (t) точное решение

задачи Коши

8dt

= f(t; v);

ïðè t

(ti + 1 ; ti + ):

v(ti +

) = u

i+ 2

(2)

Тогда ui+1

v (ti + ) = C

+ o( s+1):

Для точного решения u (t) на отрезке [ti+ 1 ; ti+1]

8 dt = f(t; u);

t > ti + :

) = u (ti + 1 );

>u(ti + 1

Разность z(t) = u (t) + v (t) удовлетворяет уравнению

= f(t; u ) + f(t; v ) ïðè t > ti +

s+1

и условию z(t = ti +

) = u (ti

) u(ti+ 21 ) = C

+ o( s+1):

Из устойчивости решения этой задачи следует, что

s+1

z(t) = z(ti +

) + o( s+1) = C

+ o( s+1):

Таким образом

u(2)i+1 u (ti + ) = u(2)i+1 v (ti + ) + v (ti + ) u (ti + ) = = C( 2 )s+1 + o( s+1) + C( 2 )s+1 + o( s+1) = 2C( 2 )s+1 + o( s+1):

Èç (1) è

(2)

u (ti + ) = 2C(

ui+1

)s+1 + o( s+1)

(2)

с точностью до величин порядка o( s+1) равенство

u(1)

u(2)

C s+1 2s 1

i+1

и значение

ui(1)+1 ui(2)+1

s+1

2s 1

Теперь из(2) получаем оценку

	(2)		ui(2)+1 ui(1)+1
u	(ti + ) ui+1		2s 1

и приближенное значение

	(2)		ui(2)+1 ui(1)+1
u	(ti + ) ui+1	+	2s 1	:

8.4Системы линейных дифференциальных уравнений первого порядка

Задачу Коши для системы линейных уравнений будем записывать в виде:

8du

< dt + Au(t) = f(t); t 2 [0; T ]; :ujt=0 = ';

где u; f вектор-функции: u = u(t) = (u1(t); u2(t); : : : ; uN (t)); f(t) = (f1(t); f2(t); : : : ; fN (t)),

A постоянная матрица размерности N N, A = faijgNi;j=1. Таким образом задача в координатной форме имеет вид:

8 dti + j=1 aij(t)uj(t) = fi(t);
du	N
>	P

:ui(t = 0) = 'i; i = 1; : : : ; N:

Единственность решения задачи Коши. Обозначим z(t) разность двух решений за-

äà÷è Êîøè:				dz
				dz	+ Az = 0; z(0) = 0:
				dt	+ Az = 0; z(0) = 0:
				dt
Умножая правую и левую часть скалярно на z(t), учитывая, что (z; dz ) = 1								d	(z; z) =
									(z; z) =
						dt	2 dt
= 21	d	jjzjj2, после интегрирования по t от 0 до t получим:
= 21	dt	jjzjj2, после интегрирования по t от 0 до t получим:
			2(jjz(t)jj2 jjz(0)jj2) + Z0			t
			2(jjz(t)jj2 jjz(0)jj2) + Z0			(Az; z) d = 0;
			1

и с учетом, что z(0) = 0:

	jjz(t)jj2 + 2 Z0		t
	jjz(t)jj2 + 2 Z0		(Az; z) d = 0:
N	N	N
Åñëè (Az; z) =	zi( ) aijzj( ) =	aijzi( )zj( ) > 0 ïðè âñåõ , òî z(t) = 0, ò. å.
i=1	j=1	i;j=1
Коши единственно.		P
решение задачиP	P	P

Матрица A, для которой (Az; z) > 0 для всех векторов z, называется положитель-

			N
ной. Величина			aijzizj совпадает со значением для симметризованной матрицы,
			i;j=1			положительна.
и если ее собственные числа положительны, то исходная матрица					A	положительна.
			P		A
Пусть собственные числа исходной симметричной матрицы A системы положи-
тельны:			0 < 1 6 2 6 6 N ;
			0 < 1 6 2 6 6 N ;
à
1	; 2	; : : : ; N ее собственные векторы:

			A i = i i;	jj ijj2 = 1:

Решение задачи Коши устойчиво по начальным данным. Действительно, будем искать решение задачи в виде:

				N
				Xk
		u(t) =
		u(t) =			k(t) k:
				=1
Подставляя в систему, получим:
X	d	k(t) k + X k k(t) k		d
			= 0;		k(t) = k k(t); k(t) = k(0)e kt:
	dt		= 0;	dt	k(t) = k k(t); k(t) = k(0)e kt:

Ïðè t = 0: Pk

k(0) k = ';

величина k(0) = ('; k);

k2(0) = jj'jj2.

Решение задачи Коши

u(t) = Xk

('; k)e kt k:

ßñíî, ÷òî

u(t) 2 =

(0)e 2 k(t)

e 2 1t

' 2

;

u(t)

e 1t '

; è ìû ïîëó-

чаем оценку,

jj2

jj2 6

jj2

характеризующую устойчивость решения задачи Коши по начальным

данным в метрике jj jj2 векторного пространства VN .

8.5Разностные схемы. Каноническая форма разностных схем

1.Разностная схема Эйлера:

un+1 un + Aun = fn; un = u(tn); tn = n ; u0 = '

явная разностная схема Эйлера.

2.Разностная схема с весами

un+1 un + A( un+1 + (1 )un) = fn:

Представим un+1 + (1 )un = un+1 un + un è A( un+1 + (1 )un) =

= Aun+1 un + Aun.

Схема с весами

(E + A)un+1 un + Aun = fn:

Обозначим матрицу E + A = B.

В общем случае разностную схему будем записывать в виде

B un+1 un + Aun = Fn:

Эта форма разностной схемы называется канонической формой.

8.6Порядок аппроксимации разностной схемы

Пусть u (t) точное решение задачи Коши:

du (t) + Au (t) = f; u (t = 0) = ': dt

Значения u ( n) будем обозначать un. Согласно общему определению порядка ап-

проксимации разностной схемы

B un+1 un + Aun = Fn

образуем сеточную функцию n:

n =	F	Au		B	un+1 un	:
n =	n	n

Будем предполагать, что функция u (t) имеет непрерывную вторую производную:

u 2 C2[0; T ]:

Наша задача оценить n( ), не уточняя заранее метрику векторного пространства.

В этом параграфе мы будем рассматривать только значения сеточной функции u (t), и, чтобы не отягощать обозначений, будем обозначать эти значения un.

По формуле Тейлора:

un+1

= (u +

u +

u•)n+1=2 + o( 2);

un = (u

u +

u•)n+1=2 + o( 2);

un+1 un

= u

+ o( ) è Au

= A(u

+ O( 2):

n+1=2

Вектор	n:	B un+1 un + Aun = Fn [Bu + Au 2 Au]n+1=2 + O( 2) =
n	= Fn	B un+1 un + Aun = Fn [Bu + Au 2 Au]n+1=2 + O( 2) =

= Fn fn+1=2 +[(E B + 2 A)u]n+1=2 +(f Au u)n+1=2 = f ò. ê. (f Au u)n+1=2 = 0g = Fn fn+1=2 + [(E B + 2 A)u]n+1=2 + O( 2):

По неравенству треугольника

jj	njj 6 jjFn fn+1=2jj + jj(E B +		A)ujj + O( 2) (здесь могут быть любые нормы):

		2

	Таким образом, если jjFn fn+1=2jj		= O( 2) è jjE B+		Ajj = O( 2), òî jj njj = O( ),
				2

<<< < Предыдущая 1 23 / 43 4 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
16.09.201961.95 Кб0Выдержки по мусору, поджогам и обращению.doc
#
21.03.2016104.96 Кб7Выполнение задания 1.doc
#
11.08.2019245.76 Кб1Высокий Ренессанс в Средней Италии.doc
#
13.08.201968.61 Кб10высшая нервная деятельность..doc
#
18.09.201948.13 Кб4Высшие растения. Ч. 5.doc
#
22.05.2015303.75 Кб12Выч. мат. Лекции. 6 семестр.pdf
#
16.04.2015599.14 Кб35Вычислительная математика. Лекции.pdf
#
16.04.2019268.8 Кб6Вьетнам.doc
#
24.08.201976.29 Кб4вэд.doc
#
19.11.20191.99 Mб42ВЭД.doc
#
08.07.2019482.3 Кб4Г. Л. Волкова.doc