3.1. Система автоматического регулирования с п-регулятором

Рис. 11. Схема САР с П-регулятором.

Передаточная функция:

Используя найденную выше функцию корректирующего устройства исследуем нашу систему для П-регулятора.

Таким образом в качестве корректирующего устройства будем использовать:

Найдем W_сист используя функции Matlab:

W1=tf([70],[909.1 1]);

temp=70*feedback(W1*0.019,[1]);

Wsyst=minreal(temp);

Построим графики переходной функции для эталонной функции и для синтезированного нами объекта.

We=tf([70],[666.7 1]);

hold on

step(We,'-');

step(Wsyst, '--');

Рис.12. График переходной функции САР с П-регулятором и эталонного объекта.

Проведем синтез объекта в Simulink:

Рис. 13. Синтез САР в Simulink.

Рис.14. График переходной функции САР с П-регулятором полученный при моделировании в Simulink.

Путем несложных преобразований получим:

Отсюда следует, что:

Модель динамики объекта: подставим параметры и получим:

Вывод: в результате проведенного синтеза САУ мы получили объект автоматического регулирования с пропорциональным регулятором, ошибка полученного объекта незначительна только при малых значениях t. При дальнейшем увеличении t, статическая ошибка становится сравнимой с величиной полученной функции.

Вывод: были определены параметры настройки системы автоматического регулирования с пропорциональным (П-) и пропорционально-интегральным (ПИ-) регуляторами.

3.2. Система автоматического регулирования с пи-регулятором

Рис. 15. Схема САР с ПИ-регулятором.

Передаточная функция:

Найдем W_сист используя функции Matlab:

Wo=tf([70],[909.1 1]);

temp=tf([0.0015],[1 0])/Wo;

Wky=minreal(temp);

temp=70*feedback(Wo*Wky,[1]);

Wsyst=minreal(temp);

Введем задержку в 14 сек. для нашего объекта:

p=tf('p');

p=exp(-p*14);

Построим графики переходной функции для эталонной функции и для синтезированного нами объекта, для большей наглядности введем задержку для синтезированного объекта.

We=tf([70],[666.7 1]);

Ws=Wsyst*p;

hold on

step(We,'-');

step(Ws, '--');

Рис.16. График переходной функции САР с ПИ-регулятором и эталонного объекта.

Проведем синтез этого объекта в Simulink:

Рис. 17. Синтез САР в Simulink.

Рис.18. График переходной функции САР с ПИ-регулятором полученный при моделировании в Simulink.

Путем несложных преобразований получим:

Отсюда следует, что: )

Модель динамики объекта: подставим параметры и получим:

Вывод: в результате проведенного синтеза САУ мы получили объект автоматического регулирования с пропорционально-интегральным регулятором полностью идентичный заданной нами эталонной системе.

Анализ показателей качества: статическая ошибка ПИ-регулятора меньше статической ошибки П-регулятора, следовательно, использование ПИ-регулятора даёт более точные результаты, однако время регулирования П-регулятора меньше времени регулирования ПИ-регулятора.

4.Исследование устойчивости сар

Устойчивость – это способность системы, выведенной из состояния равновесия под влиянием возмущающих или управляющих воздействий с течением времени прийти в равновесное состояние под действием своих внутренних сил.

Автоматическая система управления называется устойчивой, если она за счет своих внутренних сил возвращается в состояние установившегося равновесия после незапланированного возмущения. Систему считают неустойчивой, если при сколь угодно малых отклонениях от состояния установившегося равновесия, она не возвращается к этому состоянию, а непрерывно удаляется от него или совершает около него недопустимо большие колебания.

Устойчивость – это свойство, которым должна обладать любая САР.

Рис. 19. Структурная схема САР с ПИ-регулятором.

Запишем передаточную функцию САР в разомкнутом состоянии:

,

где - ПФ регулятора: ;

- ПФ объекта: .

Исследуем на устойчивость синтезированный объект, охваченный единичной отрицательной обратной связью.

Wo=tf([70],[909.1 1]);

Wky=tf([0.01948 2.14e-5],[1 0]);

Wz=70*feedback(Wo*Wky,[1]);

Найдем критическую величину сдвига фазы, при которой исследуемый объект теряет устойчивость.

margin(Wz);

Рис.20. Критическая величина сдвига фазы объекта.

Найдем критическую задержку, для нашего объекта:

Построим АФЧХ объекта и объекта с запаздыванием на величину τ.

p=tf('p');

Wot=Wo*exp(-p*15);

Wraz=Wky*Wo;

Wrazt=Wky*Wot;

hold on

nyquist(Wraz);

nyquist(Wrazt);

Рис.21. АФЧХ разомкнутой системы.

Построим АФЧХ замкнутой системы.

hold on

Wz=feedback(Wraz,[1]);

Wzt=feedback(Wrazt,[1]);

Рис.21. АФЧХ замкнутой системы.

Рис.22. АФЧХ замкнутой системы (увеличенный фрагмент рис. 21.).

Устойчивость системы определяем по критерию Найквиста. Устойчивость определяется по АФЧХ разомкнутой САР, для которой возможны 2 случая:

1. Разомкнутая САР, устойчивая в разомкнутом состоянии, будет устойчива и в замкнутом, если её АФЧХ не охватывает точку (-1, j₀) при изменении ω от 0 до ∞.

2. Разомкнутая САР, неустойчивая в разомкнутом состоянии, будет устойчива в замкнутом состоянии, если её АФЧХ охватывается точку (-1, j₀) при изменении ω от 0 до ∞ q раз (где q – число корней характеристического уравнения разомкнутой САР).

Вывод: САР устойчива в разомкнутом состоянии, так как её АФЧХ не охватывает точку (-1, j₀) при изменении ω от 0 до ∞, следовательно по критерию Найквиста (1 случай) САР будет устойчива и в замкнутом состоянии.