1.2 Получение статических характеристик

Произведем нагрев жидкости объемом 6 литров.

Таблица 1. Исходные данные.

P, Вт	y, ⁰C
120	49
240	63,9
480	83,2
720	94,1
960	99,3
1200	99,8

Построим экспериментальную статическую характеристику y_эксп(x)на рис. 4.

Найдем параметры a,bдля линейной модели (3), решив систему уравнений (4) используя возможностиMatlab:

A=[6,3720; 3720,3182400];

B=[489.3; 343992];

X=A\B

X =

52.7964

0.0464

Решение системы уравнений: a=52,7964; b=0,0464.

Получим линейную модель нагрева воды:

y=52,7964+0,0464x

Построим график линейной модели y_{лин мод}(x) на рис. 4.

Найдем параметры a,b,cдля нелинейной (квадратическая интерполяция) модели (5), решив систему (6) используя системуMatlab:

A=[6,3720,3182400; 3720,3182400,3112128000; 3182400,3112128000, 3.2482944e12];

B=[489.3; 343992; 177779520];

X=A\B;

X= 36.1505; 0.1249; -0.00006.

Решение системы уравнений: a=36,1505; b=0,1249; c= -6,03610^-5.

Получаем модель нагрева воды:

.

Построим график нелинейной модели y_{нелин. мод.}(x)на рис.4.

Рис.4. Статические характеристики, построенные по экспериментальным данным и рассчитанные по моделям.

y_эксп(x) – статическая характеристика, построенная по экспериментальным данным.

y_лин (x) – статическая характеристика, построенная по линейной модели объекта.

y_нелин (x)– статическая характеристика, построенная по нелинейной модели объекта °C.

Таблица 2. Исходные данные, модели и погрешности

P, Вт	y эксп , °C	y лин , °C	y нелин, °C	|y эксп – y лин|,°C	|y эксп – y нелин|,°C
120	49	58,3644	50,26932	9,3644	1,269316
240	63,9	63,9324	62,64976	0,0324	1,250236
480	83,2	75,0684	82,19556	8,1316	1,004444
720	94,1	86,2044	94,78788	7,8956	0,687876
960	99,3	97,3404	100,4267	1,9596	1,126724
1200	99,8	108,4764	99,1121	8,6764	0,6879

Вывод: экспериментальным методом было произведено исследование зависимости между выходной и входной переменными объекта управления в статических режимах. Были получены следующие модели:

линейная – y=52,7964+0,0464x

нелинейная –y=36,1505+0,1249x–6,03610^-5x²

Нелинейная модель описывает объект точнее, чем линейная, так как максимальная абсолютная погрешность между моделью и экспериментальными данными в случае нелинейной модели(∆y=1,2693°C) меньше таковой в случае линейной модели (∆y=9,3644°C).

2. Определение динамических характеристик объекта управления

Ознакомимся с методами определения динамических характеристик по экспериментальным данным.

2.1. Общие теоретические сведения

Динамические характеристики определяют связь между входными и выходными переменными в динамических режимах. В теории автоматического управления используют следующие динамические характеристики:

1. Дифференциальные и интегральные уравнения;

2. Передаточные функции;

3. Частотные характеристики;

4. Временные характеристики.

2.1.1. Дифференциальные уравнения.

Используют следующие формы записи дифференциальных уравнений:

1. «Вход-выход» :

(7)

- дифференциальное уравнение n-го порядка.

Объект стационарный, так как его параметры a_i и b не зависят от времени.

2. Каноническая (нормальная) форма записи дифференциального уравнения (в пространстве состояний):

дифференциальное уравнение n-го порядка в нормальной форме имеет вид:

z_i – переменная состояния (фазовая координата),

при этом и так далее.

3. Векторно-матричная форма:

где AиB– матрицы параметров.

z– вектор-столбец фазовых координат размерностьюn,

A– матрица параметров размерностиn*n,

B– матрица параметров размерностиn*m(m– размерность входаx).

Для дифференциального уравнения 2-го порядка:

4. Дифференциально-разностная (дискретная) форма.

При расчете динамических режимов на ЭВМ и микропроцессорных системах управления используется дискретная форма записи.

Δt– шаг дискретизации по времени,

z(i),x(i) – значения вектораzи входаxнаi-м шаге,

F,G–матрицы размерностейn*nиn*mсоответственно, зависящие от Δt.

Предполагается, что в пределах шага Δtзначение входаxне изменяется.