m08-15

D

r и

ϕ , полагая x = r cosϕ , y = r sin ϕ , и

записать

интеграл

в

виде

ϕ

r

(ϕ)

− x}≤ x2

≤ 4}.

∫2

dϕ

2

∫g(r,ϕ)dr , где D = {(x, y) : min{ x2 + y2

+ x, 3 x2

+ y2

+ y2

ϕ1

r1 (ϕ)

D = {(x, y) : x + y ≤ 3,

y ≥ 0}.

2.

Вычислить ∫∫(x 2 + y 2 )dxdy , где

x ≥ 0,

D

3.

Переходя к полярным координатам x = r cosϕ ,

y = r sin ϕ

(или обоб-

щенным полярным координатам x = ar cosα ϕ ,

y = br sinα ϕ ), вычис-

лить площадь области, ограниченной кривой

x 4

+

y 4

=

x 2

+

y 2

.

a 4

b4

h2

k 2

4.

Найти объем x 2 + y 2 + z 2 ≤ 2cz ,

x 2 + y 2 ≥ 2az (a < c ≤ 2a) .

5.

Найти площадь поверхности z 2

= 2xy , если 0 ≤ x ≤ a,

0 ≤ y ≤ b .

скую), если D = {(x, y, z) : 0 ≤ z ≤ 4 − x 2 ,

x 2 − y 2 ≥ 0, x ≥ 0}.

8.

Найти

объем

6

тела,

ограниченного

поверхностью

x 2 3

y

2 3 z 2 3

z

+

+

=

.

a

b

c

h

9.

Найти массу тела плотностью

ρ = y ,

ограниченного поверхностями

11. Найти массу части однородного параболоида z =

1

(x2

+ y2 ), 0 ≤ z ≤1

2

плотности ρ .

S

верхности геликоида x = u cos v ,

y = u sin v ,

z = v ,

0 ≤ v ≤ 2π ,

0 ≤ u ≤1 .

13.

Найти координаты

центра

масс

дуги

винтовой

линии

L = {(x, y, z) : x = a cost, y = a sin t, z = bt ,

0 ≤ t ≤ π}.

14.

Вычислить криволинейный интеграл первого рода

∫

ds

, где L –

x − y

отрезок АВ, А = (0,–2), В = (4,0).

L

∫(2 − y)dx + xdy ,

15.

Вычислить криволинейный интеграл второго рода

взятый вдоль ориентированной кривой

L

L ={(x, y) : x = t −sin t,

y =1 −cos t,

0≤ t ≤ 2π},

где

кривая

прохо-

дится по возрастанию параметра.

16. Пользуясь формулой Стокса, вычислить ∫(xy +z)dx +(yz +x)dy + y

a2 −x2 dz,

где L – кривая

L

x2 +y2 + z 2 = 2ax ,

x2 +y2 = a2 , положительно ориенти-

рованная на внутренней стороне цилиндра.

17. Вычислить

поверхностный

интеграл

второго

рода

∫∫(x2 + y2 )dydz + ( y2 + z 2 )dzdx + (z 2 + x2 )dxdy , где S

– внутренняя сторона

S

поверхности тела x2 + y2 + z 2 ≤ a2 ,

x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0 .

JG

, если F =

−ix + jy + kz , где i, j, k

– единичные орты.

18. Найти div F

x2 + y2

массы скатывается от точки A = (a,0,2πb) до точки B = (a,0,0)

по спи-

рали x = a cosϕ, y = a sin ϕ, z = b(2π −ϕ) . Найти работу поля.

21. Найти поток векторного поля

F = (x3 + yz)i + ( y3 + xz) j + (z3 + xy)k в

направлении внешней нормали через поверхность S : x2 + y2

+ z 2 =16 ,

z ≥ 0 .

Вариант № 2

1. В двойном интеграле

∫∫ f (x, y)dxdy

перейти к полярным коор-

динатам r и ϕ , полагая

D

x = r cos ϕ ,

y = r sin ϕ , и записать интеграл в

ϕ

r

(ϕ)

D = {(x, y) : x2

+ y2 ≤ max (2ax, 2ay)}.

виде ∫2

dϕ

2

∫g(r,ϕ)dr , где

ϕ1

r1 (ϕ)

5.

Найти площадь поверхности z = x2 + y 2

, если x 2 + y 2 ≤ 2ax .

6.

Записать

∫∫∫ f (x, y, z)dxdydz интеграл в виде одного из повторных в

D

D = {(x, y, z) : x 2 + y 2 + z 2 ≤ 2 yR,

сферической системе координат, если

x 2 + y 2 ≥ z 2 }.

7.

Записать

∫∫∫ f (x, y, z)dxdydz в виде повторного интеграла, выбрав одну

D

8.

Найти

объем

тела,

ограниченного

поверхностью

x2

y2

z

2 4

4

4

x2

y2

= z

k

2

+

2 +

2

+

2

b

c

2

b

.

a

a

9.

Найти массу тела плотностью ρ = z2 , ограниченного поверхностями

пластинки плотности ρ ,

занимающей область, ограниченную ли-

ниями x2 + y2 = 9 , x + y = 0 ,

x − y = 0 ( x ≥ 0 ).

S

тела,

образованного

пересечением

цилиндров

x2 + z2

= a2 ,

13.

y2 + z 2

= a2 .

L = {(x, y, z) : x = a(t −sin t),

Найти

координаты центра

масс дуги

y = a(1 − cos t),

z = 4a sin

t

,

0 ≤ t ≤ 2π}.

2

14.

Вычислить

криволинейный

интеграл

первого

рода

∫yds ,

L = {(x, y) : y = sin x, 0 ≤ x ≤ π}.

L

15.

Вычислить криволинейный интеграл второго рода ∫

ydx + xdy

,

где

1 + x

2

y

2

L

16.

Пользуясь формулой

Стокса, вычислить ∫xyzdx + y2 zdy + zx2 dz ,

где

L

L – кривая x2 +z 2 = a2 ,

z2 +y2 = a2 ,

x ≥ 0 , положительно ориентирован-

ная на внешней стороне первого цилиндра.

17. Вычислить

поверхностный

интеграл

второго

рода

∫∫xz2 dydz + yx2 dzdx + zy2 dxdy , где S

– внешняя сторона поверхности тела

S

x2 + y2 + z 2 ≤ 2az , x ≥ y , x2 + y2 ≥ 3z 2 .

18.

JJG

Найти div F , если F = r , где r = (x, y, z) .

19.

Пусть u, v – скалярные поля. Доказать, что div(u v) = u v + u v .

20.

Найти работу поля F , где F – упругая, направленная к началу ко-

ординат и пропорциональная удалению точки от начала координат,

вдоль кратчайшей дуги

эллипса

x = a cos t,

y = bsin t

от точки

A = (a,0) до точки B = (0,b) .

21.

Найти поток векторного поля

F = (xy + x2 )i + (2y − 2xy) j + (z − yz)k в

направлении внешней

нормали

через поверхность S :

x2 + y2

= z 2 ,

0 ≤ z ≤ H .

Вариант № 3

1.

В двойном интеграле

∫∫ f (x, y)dxdy

перейти к полярным координатам

D

r и ϕ , полагая

x = r cos ϕ ,

y = r sin ϕ , и записать интеграл в виде

3. Переходя к полярным координатам x = r cos ϕ ,

y = r sin ϕ

(или обоб-

щенным полярным координатам x = ar cosα ϕ ,

y = br sinα ϕ ),

вычис-

x

4

y

4

2

y

2

3

лить площадь области, ограниченной кривой

+

x

+

4

4

2

2

=

.

h

k

a

b

4.

Найти объем тела a 2 ≤ y 2 + x 2 ≤ b2 , x 2 − y 2

− z 2 ≥ 0 , x ≥ 0 .

5.

Найти площадь поверхности 2z = x 2 , если

x ≤ 2y ≤ 4x , x ≤ 2

2 .

6.

Записать ∫∫∫ f (x, y, z)dxdydz интеграл в виде одного из повторных в

D

D = {(x, y, z) : x 2 + y 2

сферической системе координат, если

+ z 2 ≤ 2yR,

D

из систем координат (декартову,

цилиндрическую

или

сфериче-

скую), если D = {(x, y, z) : x + y + z ≤ 2,

0 ≤ 4z ≤ 4 − x 2 − y 2 ,

y ≥ 0,

x ≥ 0}.

8. Найти

объем

тела,

ограниченного

поверхностью

2

2

2

4

2

2

2

x

y

z

x

y

z

+

+

π z

+

+

a

2

b

2

c

2

= sin

c

a

2

b

2

c

2

.

11.

Найти массу части конуса

x2 = y2 + z 2 , лежащей внутри цилиндра

x2 + y2 = 2ax , если плотность ρ = x .

12.

Вычислить поверхностный интеграл ∫∫(x − y)dS ,

где S

–

часть ци-

S

13.

линдра x2 + y2 = a2 , x ≥ 0 , лежащая внутри цилиндра

z 2 = a(a − x) .

Найти координаты силы притяжения однородной полуокружности

массой M и радиусом R массы m , помещенной в центре

соответст-

вующей окружности.

14.

Вычислить криволинейный интеграл первого рода

∫(x2

+ y2 )ds , где

L – отрезок АВ, А = (0,1), В = (–2,3).

L

15.

Вычислить криволинейный интеграл второго рода

∫(−x2 ydx + xy2 dy) ,

где L ={(x, y) :

L

x2 + y2 = r 2 } – окружность, которая обходится в поло-

жительном направлении.

16.

Пользуясь формулой Стокса

вычислить

∫z 2 xdx + ( y + z + x)dy + y2 zdz ,

где L – кривая

L

x2 +y2 = ax ,

x2 = y2

+ z 2 ,

положительно ориентиро-

ванная на внешней стороне цилиндра.

17. Вычислить

поверхностный

интеграл

второго

рода

∫∫yz2 dydz + zy2 dzdx + yx2 dxdy , где S – внешняя сторона поверхности тела

S

x2 + y2 ≤1, x ≥ 0, y ≥ 0 , 0≤ z ≤ x2 + y2.

18.

JG

r

Найти div F , если F =

, где r

= (x, y, z) , r =| r | .

r

D

r и

ϕ , полагая x = r cos ϕ ,

y = r sin ϕ , и записать интеграл в виде

ϕ

r

(ϕ)

+ y 2 )}.

∫2

dϕ

2

∫g(r,ϕ)dr , где D = {(x, y) : a 2

≤ x 2 + y 2

≤ a( y +

x 2

ϕ1

r1 (ϕ)

2.

Вычислить ∫∫([x] +[ y])dxdy ,

где

D – квадрат с вершинами

O (0,0),

D

3.

A (0,2), В(2,0), С(2,2).

Переходя к полярным координатам x = r cos ϕ ,

y = r sin ϕ

(или обоб-

щенным полярным координатам x = ar cosα ϕ ,

y = br sinα ϕ ),

вычис-

лить площадь области, ограниченной кривой

x

4

y

x

2

y

2

3

5 =

2 +

2

.

c

a

b

4.

Найти объем тела az + x 2

≤ a 2 , 0 ≤ az ≤ 4a 2

− x 2

− y 2 .

5.

Найти площадь поверхности cz = xy , если

(x 2

+ y 2 )2

≤ 2c 2 xy ,

z ≥ 0 .

6.

Записать

∫∫∫ f (x, y, z)dxdydz

интеграл в виде одного из повторных в

D

D ={(x, y, z) : x2

сферической системе координат, если

+ y 2 + z 2

≥ R2 ,

x 2 + y 2 + z 2 ≤ 2zR}.

7.

Записать

∫∫∫ f (x, y, z)dxdydz в виде повторного интеграла, выбрав одну

D

из систем координат (декартову, цилиндрическую или сфериче-

скую), если D = {(x, y, z) :

|x + y | ≤ 2, 0 ≤ z ≤ 4 − x2

− y2

}.

}.

2

y

2

2

z

4

z

8.

x

+

+

=

.

2

2

4

Найти объем тела, ограниченного поверхностью

b

c

k

a

11.

Найти массу части конуса

x2 + y2 = z 2 ,

0 ≤ z ≤ 4 , если плотность в

каждой точке равна квадрату расстояния до вершины.

12.

Вычислить

поверхностный интеграл ∫∫

xdS , где S – часть цилинд-

S

ра x2 + y2 = 2ax , лежащая вне гиперболоида x2 + y2 − z 2 = a2 .

13. Вычислить

поверхностный

интеграл

∫∫(xy + yz + zx)dS ,

где

S = {(x, y, z) : z = x2 + y2 , x2 + y2 < 2ax}.

S

14.

Вычислить криволинейный интеграл первого рода

∫xyds , где L –

L

контур квадрата, ограниченного линиями x ± y =1, x ± y = −1.

15.

Вычислить криволинейный интеграл второго рода

∫ydx −( y + x2 )dy ,

где L

L

–

дуга

параболы

y = 2x − x2

от точки A =

(2,1)

до точки

16.

B = (0,0).

Пользуясь формулой Стокса, вычислить ∫z 2 dx + x2 dy + y2 dz , где L –

L

кривая

x2 +y2 = 2ax ,

z =

(x2 + y2 ) 3 , положительно ориентирован-

ная на внешней стороне конуса.

17.

Вычислить

поверхностный

интеграл

второго

рода

∫∫(x + y2 )dydz + ( y + z 2 )dzdx + (z + x2 )dxdy , где S – часть внешней сторо-

S

+ y2 = a2 , 0 ≤ z ≤ H .

ны цилиндра x2

JG

f (xyz)

f (xyz)

f (xyz)

18.

Найти

div F , если F =

i +

j − 2

k , где i, j, k

– единич-

xz

xy

yz

ные орты, а f (u)

– непрерывно дифференцируемая функция.

19.

G

G

G

G

Доказать, что div (F + Φ) = div F + div Φ .

20.

Найти

работу

поля

F = (2xy, x2 ) вдоль кратчайшей дуги эллипса

x = a cos t,

y = bsin t от точки A = (a,0)

до точки B = (0,b) .

21.

Найти поток векторного поля

F = 2xi + 2 yj − zk

в направлении внеш-

ней нормали через поверхность S : x2

+ y2 = z 2 ,

0 ≤ z ≤ H .

Вариант № 5

1.

В двойном интеграле

∫∫ f (x, y)dxdy , где D = {(x, y) : | x −1| + | y |≤1}, пе-

D

рейти к полярным координатам r и ϕ , полагая x = r cos ϕ ,

y = r sin ϕ ,

ϕ

r

(ϕ)

и записать интеграл в виде

∫2

dϕ

2

∫g(r,ϕ)dr .

ϕ1

r1 (ϕ)

3.

кривой x = a cos3 t, y = a sin 3 t, 0 ≤ t ≤π / 2 .

Переходя к полярным координатам x = r cos ϕ ,

y = r sin ϕ

(или обоб-

щенным полярным координатам

x = ar cosα ϕ ,

y = br sinα ϕ ), вычис-

x

2

2

y

2

3

лить площадь области, ограниченной кривой

x

2

2

+

2

=

.

4.

Найти объем тела x 2 ≤ az ≤ 4a 2 − x 2

− y 2 .

c

a

b

2

2

3

2

4

2

2

c 2

5.

Найти площадь поверхности (x

+ y

) = c

z

, если x

+ y

≤

.

16

D = {( x, y , z ) : x 2 + y 2 + z 2 ≤ R 2 ,

x 2 + y 2 + z 2 ≤ 2zR}.

7.

Записать ∫∫∫ f (x, y, z)dxdydz , если

D ={(x, y, z): x2 ≥ y2 +z2 ,

5x ≤ 4 +z2 + y2 }

D

в виде повторного интеграла, выбрав одну из систем координат (де-

картову, цилиндрическую или сферическую).

2

2

y

2

z

2

xyz

x

8.

Найти объем тела, ограниченного поверхностью

+

+

=

2

2

2

3

a

b

c

h

9.

Найти массу сферического слоя между сферами

x 2

+ y 2

+ z 2

= a 2 ,

11.

Найти статический момент части цилиндра

x 2 + y 2

= 2 Ry , лежа-

щей между плоскостями z = 0 и

z = c , относительно плоскости XZ ,

если плотность ρ = y + z .

12.

Вычислить

поверхностный интеграл ∫∫(x − y2

+ z 2 )dS , где S

– часть

S

цилиндра x2

+ y2 = a2 , x ≥ 0 , лежащая между плоскостями x + z = 0 и

x − z = 0 .

13.

Найти координаты центра масс дуги однородной кривой L = {(x, y, z) :

x2 + y2 + z 2 = a2 , | y | = x,

z ≥ 0}.

14.

Вычислить криволинейный интеграл первого рода

∫xyds , где L –

четверть окружности x2

L

+ y2 =1, лежащая в первом квадранте.

15.

Вычислить криволинейный интеграл второго рода

∫ydx −( y + x2 )dy ,

L

где L – контур, составленный линиями y =0, y = x, y =

1−x2

с поло-

жительным направлением обхода.

16.

Пользуясь формулой Стокса, вычислить

∫(z 2 − x2 − y)dx + ( y + z + x)dy + ( y + 2x + z3 )dz , где L – кривая

x2 = y2 + z 2 ,

L

x ≥ 0 , x2 +y2 + z 2 = 2az , положительно ориентированная на внешней

стороне правой x ≥ 0 полусферы.

17.

Вычислить

поверхностный

интеграл

второго

рода

∫∫x3dydz + y3dzdx + zdxdy ,

где S –

часть внутренней стороны гипербо-

S

− z 2 =1, 0 ≤ z ≤ 3 .

лоида x2 + y2