m08-15

тела плотностью ρ , ограниченного поверхностями

x

+

y

+

z

=1, z = 0 ,

a

c

y = 0 , z = 0 (x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0) .

b

10.

Найти координаты центра масс однородной пластинки плотности ρ ,

ограниченной линиями y = x2 , y = 2x2 , x =1, x = 2 .

11.

Найти

момент

инерции

однородного

сегмента

сферы

x2 + y2 + z 2 = R2 , z ≥ H (H < R)

плотности ρ относительно оси OZ .

12.

Вычислить

поверхностный интеграл ∫∫(x + y + z)dS , где

S

– часть

конуса x2

S

13.

= y2

+ z 2 ,

z ≥ 0 , лежащая внутри цилиндра

x2 + y2 = 2ax .

Найти момент инерции однородной дуги

L = {(x, y) : x = a(t −sin t),

y = a(1−cos t) 0 ≤ t ≤ π 2} плотности ρ относи-

тельно оси OX .

14.

Вычислить криволинейный интеграл первого рода

∫xzds , где

L = {(r,ϕ, z) : : r = a(1 +cos ϕ), z = 4a(1 −cos ϕ 2}.

L

15.

Вычислить криволинейный интеграл второго рода

∫xy2 dx − x2 ydy ,

L

16.

где L ={(x, y) : 2(x + y) = (x − y)2 } от точки A = (0,2) до точки B = (2,0).

Пользуясь формулой Грина, вычислить (замыкая, если нужно, кри-

вую отрезком прямой)

∫ (e−x cos y − y2 )dx +(e−x sin y − x2 )dy , где L – пра-

вая полуокружность

L

= 2ax , ( x ≥ a ) от точки

до точки

x2 +y2

A = (a, a)

∫∫(x2 + y2 )dydz + ( y2 + z 2 )dzdx + (z 2

+ x2 )dxdy , где S – внутренняя сторо-

S

на поверхности тела x2

+ y2 + z

2

≤ a2 , x ≥ 0, y ≥ 0,

z ≥ 0 .

18.

JG

G

G

– непрерыв-

Найти rot F , если F = cf (r) , где r = (x, y, z) , r =

| r | , f (u)

19.

но дифференцируемая функция, c – постоянный векторG.

G

Пусть u – скалярное поле. Доказать, что div (uF) = udiv F + Fgrad u .

20.

Найти циркуляцию векторного поля F = (x +3y +2z)i +(2x + z) j +(x − y)k

вдоль контура L , где L – контур треугольника MNPM , M = (2,0,0),

N = (0,3,0), P = (0,0,1) .

21.

Найти поток векторного поля

F = x2 i − y2 j + z 2 k через поверхность

тела x2 + y2 + z 2 ≤ 3R2 ,

0 ≤ z ≤

x2 + y2 − R2 в направлении внешней

нормали.

Вариант № 25

1.

В

двойном интеграле

∫∫ f (x, y)dxdy

перейти

к полярным

коор-

D

динатам r и ϕ , полагая

x = r cos ϕ ,

y = r sin ϕ ,

и записать интеграл в

ϕ2

r2 (ϕ)

1

2

1

виде

2

2

2

∫dϕ ∫g(r,ϕ)dr , где D = (x, y) :

x

−

+ y

≥

,

x

+ y

≤1 .

2

4

ϕ1

r1 (ϕ)

2.

Вводя новые переменные u и v , вычислить интеграл ∫∫xydxdy , где

D = {(x, y) : ax 2 ≤ y3 ≤ bx2 , α x ≤ y ≤ βx}.

D

3.

Производя удобную замену переменных, найти площадь, ограничен-

ную кривыми

y

=

x5

,

y =

x5

,

x =

y 5

,

x

=

y 5

, 0 < c < d,

0 < a < b ,

c 4

d 4

y > 0 .

a 4

b4

4.

x > 0,

Найти объем тела

x + y + z − 4a ≥ 0, x 2

+ y 2 ≤ a 2 , z ≥ 0 .

5.

Найти площадь поверхности x2 / 3 + z2 / 3

= a2 / 3 , если x 2 / 3

+ y 2 / 3

≤ a 2 / 3 .

6.

Расставить всеми возможными способами пределы интегрирования в

декартовой

системе

координат

в

интеграле

∫R dx

2

2

R− R2 −z 2 −y2

R ∫−z

dy

∫ f (x, y, z)dz .

−R

− R2 −z 2

− R2 −z2 −y2

7.

Записать

∫∫∫ f (x, y, z)dxdydz в виде повторного интеграла, выбрав одну

D

из систем координат (декартову, цилиндрическую или сфериче-

скую), если D = {(x, y, z) :

x2 + y2

≤ a2 ,

x2

− y2

− z2

≤ 2ax}.

ла плотностью ρ , ограниченного поверхностью (x2

+ y2 + z 2 )2

= a2 xy ,

10.

x > 0, y > 0 .

Найти координаты центра масс однородной пластинки плотности ρ ,

ограниченной линиями

x2

+

y2

=1, x = 0 ,

y = 0 (x ≥ 0,

y ≥ 0) .

a2

b2

11.

Найти координаты центра масс однородной полусферы

x2 + y2 + z2 = R2 , z ≥ 0 .

12.

Вычислить поверхностный интеграл ∫∫xzdS , где S

– часть цилиндра

S

x2 + y2 = 2ax ,

лежащая между конусом

x2 + y2 = z

и параболоидом

z =

x2 + y2

.

2a

13.

Найти

момент

инерции

однородной

дуги

L = {(x, y) : x = a cos t, y = a sin t

0 ≤ t ≤α}

плотности

ρ относительно

14.

Вычислить криволинейный

интеграл

первого

рода

∫ye−x ds ,

где

L = {(x, y) :

0 ≤ t ≤1}.

L

x = ln (1 +t2 ),

y = 2arctgt −t +3,

15.

Вычислить криволинейный интеграл второго рода ∫xydx − x2 dy , где

L

L ={(x, y) : x4 − 2x2 y2 + y3

= 0} от точки A = (–1/4,–1/8) до точки B = (0,0).

16.

Пользуясь формулой Грина вычислить

∫y 53 dx − x 53 )dy , где L – поло-

L

17.

жительно ориентированная кривая x2 3 + y 23 = a 23 .

Вычислить поверхностный интеграл второго рода

∫∫(x + y2 )dydz + ( y + z 2 )dzdx + (z + x2 )dxdy , где S –

часть внешней сторо-

S

ны цилиндра x2 + y2 = a2 , 0 ≤ z ≤ H .

18.

Найти rot F , если F = rGf (r) , где r = (x, y, z) , r =| r | ,

f (u)

– непрерывно

19.

дифференцируемая функция.

Пусть

u

–

скалярное поле. Доказать,

что

divgrad u =

u ,

где

u = ∂2u

+

∂2u +

∂2u .

∂x2

∂y2

∂z 2

G

G

20.

вдоль

Найти циркуляцию векторного поля F = (x + z)i + (x − y) j

+ xk

контура L = (x, y, z) :

x2

+

y2

=1 ,

положительно ориентированного на

a2

b2

21.

верхней стороне плоскости z = 5 .

Найти поток векторного поля

F = xi − xyj + zk в направлении внеш-

ней

нормали

через поверхность S ,

где

S

– часть

цилиндра

x2

+ y2

= R2 , ограниченная плоскостями

z = 0 и x + z = R .