m08-15

ϕ

r

(ϕ)

интеграл в виде ∫2

dϕ

2

∫g(r,ϕ)dr .

2.

Переходя к полярным координатам, вычислить интеграл

∫∫ cos (x2 + y2 )dxdy , где D = {(x, y) : x 2 + y 2 ≤ a 2 }.

D

3.

Переходя к полярным координатам

x = r cos ϕ ,

y = r sin ϕ

(или обоб-

щенным полярным координатам x = ar cosα ϕ ,

y = br sinα ϕ ),

вычис-

лить площадь области, ограниченной кривой

x6

+

y 6

=

x 4

+

y 4

.

a6

b6

h4

k 4

4.

Найти объем тела

x 2 ≤ ay ≤ bx ,

x 2 + y 2 ≤ hz ≤ 2x 2 +2y 2 .

5.

Найти площадь поверхности x 2

+ y 2 + z 2

= 2Rz , если

x 2

+

y 2

≤

z 2

.

a 2

b2

6.

c 2

Записать

интеграл∫∫∫ f (x, y, z)dxdydz

в виде одного из повторных в

D

D = {(x, y, z) : 0 ≤ x ≤1,

цилиндрической

системе

координат,

если

0 ≤ y ≤1, 0 ≤ z ≤1}.

7.

Записать

∫∫∫ f (x, y, z)dxdydz в виде повторного интеграла, выбрав одну

D

из систем координат (декартову, цилиндрическую или сфериче-

8.

скую), если D = {(x, y, z) : 3z 2

≤ x 2

+ y 2 ,

x 2 + y 2 − z 2

≤ 2 }.

Найти объем тела, ограниченного поверхностью (x2 + y2 )3 + z6

= 3a3 z3 .

9.

Найти момент инерции относительно осей координат тела плотно-

стью ρ , ограниченного поверхностью

x2

+

y2

+

z2

=1 .

a2

b2

c2

10. Вычислить момент инерции однородного круга массой M и радиу-

сом R относительно точки на его окружности.

1

11. Найти массу части однородного параболоида

z =

(x2 + y2 ), 0 ≤ z ≤1

15. Вычислить криволинейный интеграл второго рода

∫xdy − ydx , где

L

L – часть кривой x(x − y)2 + y = 0 от точки A =

(0,0) до точки

вую отрезком прямой)

∫x2 ydx − y2 xdy , где L – верхняя часть

( y ≥ 0)

L

правой петли

(x ≥ 0)

лемнискаты

(x2 +y2 )2

= a2 (x2 − y2 )

от

точки

A = (0,0) до точки B = (a, 0).

17. Вычислить поверхностный интеграл второго рода

∫∫xdydz + ydzdx + zdxdy , где S – внутренняя сторона поверхности тела

S

x + 2y +3z ≤1, x ≥ 0 , y ≥ 0 , z ≥ 0 .

G

G

18.

JG

JG

G

где

f (u)

– непрерывно

Найти rot F, если

F

= rf (r),

r = (x, y, z), r =| r |,

дифференцируемая функция.

19. Пусть u – скалярное поле. Доказать, что rot (uFG) =urot FG +[grad u ×FG].

G

G

вдоль

20. Найти циркуляцию векторного поля F = (x + z)i + (x − y) j

+ xk

контура L , положительно ориентированного на верхней

стороне

плоскости z = 5 , где L = (x, y, z) :

x2

+

y2

=1 .

a2

b2

21. Найти поток векторного поля

F = xi − xyj + zk

в направлении внеш-

ней

нормали

через

поверхность

S ,

где

S

– часть

цилиндра

x2

+ y2 = R2 ,

ограниченная плоскостями

z = 0 и x + z = R .

Вариант № 13

1.

В двойном интеграле

∫∫ f (x, y)dxdy , где

D – область, лежащая вне

D

окружности x2

+ y 2 = a 2

и внутри кривой r = 2a sin 3 ϕ ,

перейти к по-

лярным координатам r и ϕ , полагая x = r cosϕ , y = r sin ϕ ,

и записать

ϕ

r

(ϕ)

интеграл в виде ∫2

dϕ

2

∫g(r,ϕ)dr .

2.

ϕ1

r1 (ϕ)

Переходя

к

полярным

координатам,

вычислить

интеграл

∫∫ln(1+ x 2 + y 2 )dxdy , где

D = {(x, y) : x 2

+ y 2

≤ a 2 }.

D

x

y

2

x

y

3.

Вычислить площадь области, ограниченной кривыми

+

=

−

,

a

b

a

b

y = 0 , переходя к полярным координатам x = r cos ϕ ,

y = r sin ϕ

(или

обобщенным полярным координатам x = ar cosα ϕ ,

y = br sinα ϕ ).

4.

Найти объем тела

− x ≤ y ≤ x ,

x 2

+ y 2

≤ az ≤ 2x 2 +2 y 2 , z ≤ h .

5.

Найти площадь

поверхности

z 2 = x 2 +a 2 ,

если (2x 2

+a 2 ) y 2 ≤ x 2 a 2 ,

6.

0 ≤ z ≤ a .

Записать

интеграл∫∫∫ f (x, y, z)dxdydz

в виде одного из повторных в

D

D = {(x, y, z) : x 2 + y 2 ≤ z,

цилиндрической

системе координат, если

0 ≤ z ≤ H}.

7.

Записать

∫∫∫ f (x, y, z)dxdydz в виде повторного интеграла, выбрав одну

D

из систем координат (декартову, цилиндрическую или сфериче-

скую), если D = {(x, y, z) :

3x2

− y2

+3z2

≤ 0,

x2

+ y2 + z2 ≤ 2ay} .

8.

Найти объем тела, ограниченного поверхностью

9.

(x2 + y2 )2 + z4 = a3 ( y − x) .

Найти момент инерции относительно осей координат

тела плотно-

стью ρ , ограниченного поверхностями x2

+ y2 − ax = 0 ,

z2 = 2ax , z = 0

( z > 0 ).

10. Вычислить момент инерции

однородной пластины массой М, огра-

ниченной кривой x2 + y2

= R2 , относительно прямой, проходящей че-

рез центр круга и лежащей в его плоскости.

12.

Вычислить

поверхностный интеграл ∫∫(x2 + y2 )dS , где S – граница

S

тела {(x, y, z) :

x2 + y2 ≤ z ≤1}.

13.

Найти координаты центра масс дуги однородной кривой

L = {(x, y) : x = a(t −sin t), y = a(1−cos t), 0 ≤ t ≤ 2π}.

14.

Вычислить криволинейный интеграл первого рода ∫xyds ,

15.

Вычислить криволинейный интеграл второго рода

∫xdy − ydx , где

L

L – петля кривой x4 + y4 = a2 (x2

+ y2 ) с положительным направлени-

16.

ем обхода.

Пользуясь формулой Грина вычислить ∫y2 xdx + ( y2

− x2 )dy , где L –

L

17.

положительно ориентированная кривая r = a(1+cos ϕ) .

Вычислить

поверхностный

интеграл

второго

рода

∫∫x2 dydz + y2 dzdx + z 2 dxdy , где S –

внешняя сторона поверхности тела

S

18.

JG

G

– непре-

Найти rot F , если F =[cG× f (r)rG], где r = (x, y, z) ,

r = | r | , f (u)

рывно дифференцируемая функция, c – постоянный вектор.

19.

Найти div (gradf (r)) , где r = | rG

|, rG = (x, y, z) ,

f (r) – непрерывно диф-

ференцируемая функция.

Выяснить,

при

каких

условиях

на плоскости.

21. Найти

поток

векторного

поля

F = xzi + yzj + z2 k

в

направлении

внешней

нормали через поверхность

S ,

где

S

–

часть сферы

x2

+ y2

+ z2 = 9 , отсеченная плоскостью

z = 2 ,

z ≥ 2 .

Вариант № 14

1.

В двойном интеграле ∫∫ f (x, y)dxdy

перейти к полярным координатам

D

y = r sin ϕ , где

r и ϕ , полагая x = r cos ϕ ,

D – область, лежащая вне

окружности x 2

+ y 2 = a 2

и внутри кривой (x 2 + y 2 )2

= 2a 2 (x 2 − y 2 ), и

ϕ

r

(ϕ)

записать интеграл в виде ∫2

dϕ

2

∫g(r,ϕ)dr .

2.

ϕ1

r1 (ϕ)

Переходя

к

полярным

координатам,

вычислить

интеграл

∫∫

x2

dxdy , где D = {(x, y) : x 2

+ y 2

≤ ax}.

2

2

D x

+ y

3.

Переходя к полярным координатам

x = r cos ϕ ,

y = r sin ϕ

(или обоб-

щенным полярным координатам

x = ar cosα ϕ ,

y = br sinα ϕ ), вычис-

лить площадь области, ограниченной кривой

x

+

y

3

=

x2

.

b

h2

4.

a

Найти объем тела x 2 ≤ ay ≤ b2 ,

0 ≤ bz ≤ x 2

+ y 2 .

5.

Найти площадь поверхности z2

+ y2

= 2ax,

если y2

≤ ax ≤ a2 .

6.

Записать

интеграл∫∫∫ f (x, y, z)dxdydz

в виде одного из повторных в ци-

D

D = {(x, y, z) :

линдрической

системе

координат,

если

x/2 + y /3+ z / 4 ≤ 1,

x ≥ 0, y ≥ 0, x ≥ 0}.

7.

Записать

∫∫∫ f (x, y, z)dxdydz в виде повторного интеграла, выбрав одну

D

из систем координат (декартову, цилиндрическую или сфериче-

скую), если D = {(x, y, z) :

x2

+ y2

≤ a2 ,

x2 − y2

− z2 ≤ 2ax} .

раниченного поверхностями z =

1

(x2

+ y2 ) , z =1.

2

12.

Вычислить

поверхностный интеграл ∫∫(y + z)dS , где S – часть по-

S

верхности, лежащая в первом октанте (x ≥ 0 ,

y ≥ 0 ,

z ≥ 0) , получен-

ная

вращением

арки

циклоиды

x = a(t −cos t) ,

y = a(1 −cos t) ,

13.

0 ≤ t ≤ 2π , вокруг оси OX .

Найти координаты центра масс дуги однородной кривой

L = {(x, y) : x = a(t −sin t),

y = a(1−cos t) 0 ≤ t ≤ π}.

14.

Вычислить криволинейный интеграл первого рода

∫

ds

,

2

2

L = {(x, y) : y = cos t +sin t,

0 ≤ t ≤ 2π} .

L

x

+ y

x = sin t – tcos t,

15.

Вычислить криволинейный интеграл второго рода

∫xydx − x3 y3 dy ,

L

где L

– контур квадрата | x − y | + | x + y | =1

с отрицательным направ-

16.

лением обхода.

Пользуясь формулой Грина, вычислить

∫y 53 dx − x 53 )dy , где L – по-

L

17.

ложительно ориентированная кривая x2 3 + y 23 = a 23 .

Вычислить поверхностный интеграл второго рода

∫∫x2 dydz + y2 dzdx + z 2 dxdy , где S – часть

внешней стороны парабо-

S

лоида x + y2

= z , 0 ≤ z ≤ H .

18.

JG

,

если

F = (x + z)i + ( y + z) j

+ (x2 + z)k , i,

j, k

– единичные

Найти rot F

орты.

rG = (x, y, z) ,

19.

Найти div( f (r)cG) , где r = | rG |,

f (r)

– непрерывно диффе-

20.

ренцируемая функция,

c

– постоянный вектор.

G

Найти циркуляцию векторного поля

F = yi −

вдоль контура

2zj + xk

L ={(x, y, z) :

2x2 − y2

+ z 2

= a2 ,

x = y}, положительно ориентированного

на правой стороне плоскости.

21. Найти поток векторного поля

F = x3i + y3 j + z3k

в направлении внеш-

ней нормали через поверхность S , где

2

2

R2

2

S ={(x,y,z):

x

+ y

=

z

, 0 ≤ z ≤ H.

H 2

Вариант № 15

1.

В двойном интеграле

∫∫ f (x, y)dxdy , где D – область, лежащая вне

D

окружности x 2

+ y 2 =1

и вне кривой r = cos 3ϕ , перейти к полярным

координатам r и ϕ , полагая x = r cos ϕ , y = r sin ϕ , и записать инте-

ϕ2

r2

(ϕ)

грал в виде ∫dϕ

∫g(r,ϕ)dr .

ϕ1

r1 (ϕ)

2.

Переходя к полярным координатам, вычислить интеграл

∫∫ x 2 + y 2 dxdy , где D = {(x, y) :

x 2 + y 2 ≤ ay}.

D

3.

Вычислить площадь области, ограниченной кривыми

x

+

y 3

=

x

−

y

,

h

k

a

b

y = 0 , переходя к полярным координатам x = r cos ϕ ,

y = r sin ϕ

(или

4.

обобщенным полярным координатам x = ar cosα ϕ , y = br sinα ϕ ).

Найти объем тела 0 ≤ z ≤ x ,

x 2

+ y 2

≤ 2ax .

5.

Найти площадь поверхности x2

+ y2

+ z2 = a2 , если x 4 ≤ a 2 x 2

−b2 y 2 ,

D

D = {(x, y, z) : x 2 + y 2 ≤ R 2 , 0 ≤ z ≤ H , (H ≥ R)}.

7.

Записать

∫∫∫ f (x, y, z)dxdydz

в виде

повторного

интеграла, если

D = {(x, y, z) :

D

x2 + y2 }, }

4(x 2 + y 2 ) ≤ z 2 ,

0 ≤ z ≤ 1 +

выбрав одну из

систем координат (декартову, цилиндрическую или сферическую).

8.

Найти объем тела, ограниченного поверхностью

(x2 + y2 + z 2 )2

= a6 sin 2 (πz x2 + y2 + z 2 ).

ниченной кривой

x2

+

y2

=1, относительно большой и малой осей.

a2

b2

11. Найти массу части конуса x2 + y2

= z 2 ,

0 ≤ z ≤ 4 , если плотность в

каждой точке равна квадрату расстояния до вершины.

12. Вычислить поверхностный интеграл ∫∫

dS

2 , где S – поверх-

2 − y

2

− z

S

ность, полученная вращением линии

L = {(x, y) :

y = sin x, 0 ≤ x ≤ π} во-

круг оси OX .

13.

Найти координаты центра масс дуги однородной кривой L = {(x, y) :

: y =

1 y2 −

1 ln y, 1 ≤ y ≤ 2}.

14.

4

2

Вычислить криволинейный интеграл первого рода

∫xds , где L –

верхняя половина кривой r =1 + cosϕ, 0 ≤ϕ ≤ π .

L

15.

Вычислить

криволинейный

интеграл

второго

рода

∫xzdx + axdy − x2 dz ,

где

L

–

часть

кривой

x + y + z = a, az = xy

L

16.

x ≥ 0, y ≥ 0 от точки A = (0, a ,0) до точки B = ( a ,0,0).

Пользуясь формулой Грина, вычислить (замыкая, если нужно, кри-

вую отрезком прямой)

∫ (e−x cos y − y2 )dx +(e−x sin y − x2 )dy .

L

– правая

(x ≥ a) полуокружность

L

от точки

до точки

x2 +y2

= 2ax

A = (a, a)

17.

B = (a,−a) .

Вычислить

поверхностный

интеграл

второго

рода

∫∫xdydz + ydzdx + zdxdy , где S

–

внутренняя

сторона

эллипсоида

S

+ z 2 / c2 =1.

x2 / a2 + y2 / b2

18.

JG

, если F = r

, где r = (x, y, z) .

Найти div F

19.

Найти div ( f (r)rG)

где r =| r |, r = (x, y, z) , f (r) –

непрерывно диффе-

ренцируемая функция. Выяснить, когда div ( f (r)rG) = 0 .

20.

Найти циркуляцию векторного поля

G

вдоль контура

F = xi + xj + zk

L ={(x, y, z) :

x2 + y2 + z 2 = a2 ,

x + y + z = 0} , положительно

ориентиро-

21.

ванного на верхней стороне плоскости.

G

Найти поток векторного поля

в направле-

F = ( y − x)i + (x + y) j + yk

нии нормали верхней стороны треугольника АВС, где

A = (1,0,0),

В = (0,1,0), С = (0,0,1).

Вариант № 16

1.

В двойном интеграле ∫∫ f (x, y)dxdy , где

D = {(x, y) :

D

≥1}перейти к полярным координа-

(x −1)2 + y 2 ≤1,

x 2 + y 2

там r и ϕ , полагая x = r cos ϕ ,

y = r sin ϕ , и записать интеграл в виде

ϕ2

r2 (ϕ)

∫dϕ

∫g(r,ϕ)dr .

ϕ1

r1 (ϕ)

лить площадь области, ограниченной кривыми

x

y

5

x3

y3

,

+

=

−

h3

k 3

y = 0 .

a

b

4.

Найти объем тела x 2

+ y 2

≤ hz ≤ h2 .

5.

Найти площадь поверхности x2 + y2 + z2

= a2 , если y 2 ≥ a(a + x) .

6.

Расставить всеми возможными способами пределы интегрирования в

сферической системе координат в интеграле

∫∫∫ f (x, y, z)dxdydz , если

D = {(x, y, z) : x 2 + y 2 + z 2 ≤ R 2 , z ≥ R / 3}.

D

7.

Записать

∫∫∫ f (x, y, z)dxdydz

в

виде

повторного

интеграла,

если

D = {(x, y, z) :

D

≤ R 2 },

выбрав одну

из

систем

ко-

x 2 + y 2

≤ R 2 ,

x 2 + z 2

8.

ординат (декартову, цилиндрическую или сферическую).

Найти объем тела, ограниченного поверхностью

−

x2

+y2

x2 +y2 +z2 .