m08-15

JJG

xy

xy

xy

18. Найти div

F , если

F

= xf

i − 2 yf

j − zf

k

, где

i, j, k

– еди-

z

z

z

ничные орты, а f (u)

– непрерывно дифференцируемая функция.

19. Пусть u

– скалярное поле. Доказать, что div(uc) = cG

grad u ,

cG

– по-

стоянный вектор.

20. Найти работу поля

F = (xy, x + y) вдоль

кратчайшей дуги

эллипса

x = a cos t,

y = bsin t

от точки A = (a,0)

до точки B = (0,b) .

21. Найти поток векторного поля

F = 2xi − yj + zk

в направлении внеш-

ней нормали через поверхность S тела

x2

+ y2

+ z 2

≤ 4 , 3z ≤ x2

+ y2 .

Вариант № 6

D = {(x, y) :

(x 2

+ y 2 )2

≤ a 2 xy},

1.

В двойном интеграле

∫∫ f (x, y)dxdy ,

где

D

перейти

к

полярным

координатам

r и

ϕ , и, полагая x = r cos ϕ ,

ϕ

r

(ϕ)

y = r sin ϕ ,

записать интеграл в виде

∫2

dϕ

2

∫g(r,ϕ)dr .

ϕ1

r1 (ϕ)

2.

Вычислить ∫∫x 2 dxdy , где D = {(x, y) :

| x | + | y | ≤ 1}.

3.

D

Переходя к полярным координатам x = r cos ϕ ,

y = r sin ϕ

(или обоб-

щенным полярным координатам x = ar cosα ϕ ,

y = br sinα ϕ ),

вычис-

лить площадь области, ограниченной кривой x

2

2

x 2

y 2

3

+ y

=

2

+

2

.

4.

Найти объем тела 0 ≤ z ≤1− y 2 ,

0 ≤ x ≤ 2 − z .

a

b

+ y 2 )3

5.

Найти площадь поверхности x 2

+ y 2 = 2az , если (x 2

≤ a 2 (x 2

− y 2 ) ,

6.

x ≥ 0 .

Записать

∫∫∫ f (x, y, z)dxdydz

интеграл в виде одного из повторных в

D

D ={(x, y, z) : Rz ≤ x2 + y2 + z2

сферической системе координат, если

≤ 4Rz,

x 2 + y 2 ≤ z 2 3 }.

7.

Записать

∫∫∫ f (x, y, z)dxdydz в виде повторного интеграла, выбрав одну

D

из систем координат (декартову, цилиндрическую или сфериче-

скую), если D = {(x, y, z) : (x2

+ y 2 )2 ≤ a 2 (x2 − y 2 ), 0 ≤ az ≤ 4(x2 + y2 ),

x ≥ 0}.

8.

Найти объем тела, ограниченного поверхностью ((x2 +y2)2 +z4)2 =a3z(x2 +y2)2.

9.

Найти массу конуса

R2 (z −H )2

≥ (x2 + y2 )H 2 ,

0 ≤ z ≤ H ,

если

плот-

стей, найти массу кольца, если плотность на внутренней окружности

11.

равна единице.

Найти

момент

инерции

однородной

поверхности x2

+ y2 = 2ax ,

x2 ≥ y2

+ z 2 плотности ρ относительно оси OZ .

12.

Вычислить поверхностный интеграл ∫∫xzdS , где S – часть цилиндра

S

x2 + y2

= 2ax , лежащая между конусом

x2 + y2

= z

и параболоидом

z =

x2 + y2

.

2a

13.

Найти координаты центра масс дуги однородной кривой

L = {(r,ϕ) : r = a(1 + cosϕ), 0 ≤ ϕ ≤ 2π.

L = {(x, y) :

14.

Вычислить криволинейный интеграл первого рода

∫y2 ds ,

: y = max(2 x,2x 0 ≤ x ≤ 2)}.

L

15.

Вычислить криволинейный интеграл второго рода

∫(x + y)dx − xydy ,

L

где L

– дуга

кривой x14

+ y14 = a14 от

точки

A =

(0, a )

до точки

B = ( a ,0).

где L – кривая

L

x2 +y2

= 2x , x2 +y2

+ z 2

= 4z , положительно ориенти-

рованная на внешней стороне верхней

полусферы ( z ≥ 2 ).

17.

Вычислить

поверхностный

интеграл

второго

рода

∫ ∫ (xz2 + y2 )dydz + ( yx2

+ z2 )dzdx + (zy2 + x2 )dxdy, где S – часть внешней

S

стороны конуса 1 − z =

x2 + y2 , z ≥ 0 .

18.

JG

если F

= (x + z)i + ( y + z) j + (x2 + z)k ,

i, j, k – единичные

Найти rot F ,

20.

Найти работу поля F = ( y, a)

вдоль

кратчайшей

дуги

эллипса

x = a cos t,

y = bsin t от точки A = (a,0) до точки B = (0,b) .

21.

Найти поток векторного поля

F = −x3i + y3 j − z3k

в направлении

внешней

нормали через поверхность

S куба 0 ≤ x ≤ a,

0 ≤ y ≤ a ,

0 ≤ z ≤ a .

Вариант № 7

1.

В двойном интеграле ∫∫ f (x, y)dxdy , где D ={(x, y) : (x −1)2 + y2 ≤1,

y +x ≥0},

D

перейти к полярным координатам r и ϕ , полагая x = r cos ϕ ,

ϕ

r

(ϕ)

y = r sin ϕ , и записать интеграл в виде

∫2

dϕ

2

∫g(r,ϕ)dr .

ϕ1

r1 (ϕ)

2.

Вычислить ∫∫x3 y 5 dxdy , где D = {(x, y) :

| x | + | y |≤1}.

3.

D

Переходя к полярным координатам x = r cos ϕ ,

y = r sin ϕ

(или обоб-

щенным полярным координатам x = ar cosα ϕ ,

y = br sinα ϕ ),

вычис-

xy

2

y

2

3

лить площадь области, ограниченной кривой

x

=

+

.

2

2

2

4.

Найти объем тела (x −a)2 + y 2

−2ax .

c

a

b

≤ az ≤ 2a 2

5.

Найти площадь поверхности

x2 + y 2 = 2az ,

если

x 2

+ y 2

≤ a 2 ,

x ≥ 0 ,

y ≥ 0 , y ≤ x .

6.

Записать

∫∫∫ f (x, y, z)dxdydz интеграл в виде одного из повторных в

D

= {( x , y , z ) :

x

y

z

сферической системе координат, если

D

2

+

3

+

4

≤ 1,

x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0}.

7.

Записать

∫∫∫ f (x, y, z)dxdydz в виде повторного интеграла, выбрав одну

D

из систем координат (декартову, цилиндрическую или сфериче-

скую), если D = {(x, y, z) : x +4y + z ≤1, 0 ≤ z ≤ 4xy}.

8.

Найти объем тела, ограниченного поверхностью

((x2 + y 2 )3 + z6 )2 = a6 z(x2 + y 2 )3 .

лученной

при вращении

одной арки циклоиды

x = a(ϕ −sin ϕ) ,

y = a(1 − cos ϕ)

вокруг оси OX , относительно оси OX .

12.

Вычислить

поверхностный интеграл ∫∫(x + y + z)dS ,

где

S – часть

конуса x2 = y2

S

+ z 2 , z ≥ 0 , лежащая внутри цилиндра x2 + y2

= 2ax .

13.

Найти координаты центра масс дуги однородной кривой L = {(x, y, z) :

: x = et cos t,

y = et sin t, z = et ,

−∞ < t ≤ 0}.

L

контур сечения куба, построенного на положительных единичных

векторах осей координат, плоскостью, проходящей через точки P =

(1,0,0), Q = (0,1,0), R = (1,0,1), положительно ориентированный на

правой стороне плоскости.

17. Вычислить поверхностный интеграл второго рода

∫ ∫

x3 dydz + y3 dzdx + z3 dxdy,

S

где S

– верхняя сторона части параболоида x2

+ y2

= 2 − z ,

z ≥ 0 .

18.

Найти

JG

= (x2

+ y2 )i + ( y2

+ z 2 ) j + (x2 + z 2 )k ,

i,

j, k

– единич-

rot F , если F

19.

ные орты.

G

G

G

G

G

G

Доказать, что div [F × Φ] = Φrot F

− Frot Φ .

20. Найти работу поля

F = 2xyi + y2 j − x2 k

вдоль кривой

L = AB (часть

кривой

x2 + y2

− 2z2 = 2 ,

y = x

от

точки

A = (1,1,0)

до точки

B = ( 2,

2,1) ).

21. Найти поток векторного поля

F = x2 yi + xy2 j + xyzk

через поверх-

ность тела x2 + y2 + z 2 ≤ R2 ,

x ≥ 0, y ≥ 0,

z ≥ 0 в направлении внешней

нормали.

Вариант № 8

1.

В двойном интеграле

∫∫ f (x, y)dxdy , где D={(x, y): x2 +(y−1)2 ≤1, −1≤x ≤0},

D

перейти к полярным координатам r и ϕ , полагая x = r cos ϕ ,

ϕ2

r2

(ϕ)

y = r sin ϕ , и записать интеграл в виде ∫dϕ

∫g(r,ϕ)dr .

ϕ1

r1 (ϕ)

2.

Вычислить ∫1

dx

1−∫xxydy .

3.

0

x2 −1

Переходя к полярным координатам

x = r cos ϕ ,

y = r sin ϕ

(или обоб-

щенным полярным координатам x = ar cosα ϕ , y = br sinα ϕ ),

вычислить

площадь области, ограниченной кривыми x2

+ y 2

= ax ,

x2

+ y 2 = by , точ-

ка M (b / 2, a / 2) D .

4.

Найти объем тела 3x +4y ≤12a ,

0 ≤ az ≤ a 2 − y 2 ,

x ≥ 0,

y ≥ 0 .

5.

Найти площадь поверхности x 2 + y 2

= 2az , если x 2 + y 2

+ z 2 ≤ 2cz .

D

D = {(x, y, z) :| z |≤ 5 −

линдрической системе координат, если

3x 2

+3y 2 ,

7.

z 2 ≤ x 2 + y 2 +1}.

Выбрав одну из систем координат (декартову, цилиндрическую или

сферическую), записать

∫∫∫ f (x, y, z)dxdydz в виде повторного инте-

грала, если D = {(x, y, z) :

D

}.

x ≤ y, 0 ≤ z ≤ 3 −

x2 +2y 2

2

y

2

z

2 2

x

2

8.

Найти объем тела, ограниченного поверхностью

x

+

+

=

.

2

2

2

b

c

2

p

a

9.

Найти статический момент относительно плоскости XY однородного

тела плотностью ρ , ограниченного поверхностями

x2 + y2 + z2

= 2az ,

x2 + y2 = z2tg2α, x2 + y2 = z2tg2 β, (0 <α < β <π 2) .

плотности ρ , лежащей внутри сферы

x2

+ y2 + z2 = a2 относительно

плоскости XZ .

12.

Вычислить поверхностный интеграл ∫∫(xy + yz + xz)dS , где S – часть

S

конуса x2 + y2 = z2 , z ≥ 0 , лежащая внутри цилиндра x2 + y2 = 2ax .

13.

Найти координаты центра масс дуги однородной кривой L = {(x, y, z) :

: x = a cos t, y = a sin t, z = bt,

0 ≤ t ≤ 2π}.

14.

Вычислить криволинейный интеграл первого рода ∫yds , где L – ду-

L

га параболы y2 = 2x от точки A (2,–2) до точки B (8,4).

15.

Вычислить криволинейный интеграл второго рода ∫xydx − x2 dy , где

L

L ={(x, y) : x4 − 2x2 y2 + y3

= 0}

от точки

A

= (–1/4,–1/8) до точки

16.

B = (0,0).

Пользуясь формулой Стокса, вычислить ∫2xydx + z 2 dy + x2 dz , где L –

L

эллипс 2x2 +2 y2 = z 2 ,

x + z = a , положительно ориентированный на

S

где S – правая сторона части цилиндра x + y2 =1, 0 ≤ z ≤ 2 , x ≥ 0 .

18.

JJG

– единичные орты.

Найти rot F , если F = z3i + y3 j + x3 k , i, j, k

19.

Пусть u – скалярное поле. Доказать, что

G

G

div (uF) = udiv F

+ Fgrad u .

20. Найти работу поля

F = 2xyi + x2 j

вдоль кривой

L = AB (наименьшая

дуга окружности x2 + y2 =1 от точки A = (1,0)

до точки B = (0,1) ).

21. Найти

поток векторного

поля

F = x2i + y2 j + z 2 k

в

направлении

внешней нормали через нижнюю полусферу S :

x2 + y2

+ z 2 =1,

z ≤ 0 .

Вариант № 9

1.

В двойном

интеграле

∫∫ f (x, y)dxdy

перейти

к

полярным

коор-

D

динатам r и ϕ ,

полагая x = r cos ϕ ,

y = r sin ϕ , и записать интеграл в

ϕ

r

(ϕ)

D = {(x, y) :

≤1}.

виде ∫2

dϕ

2

∫g(r,ϕ)dr , где

x 2

+ y 2 ≤1, x 2

+(y −1)2

ϕ1

r1 (ϕ)

2.

1

1

xdy

Вычислить ∫dx∫

.

(1+ x

2

+ y

2

)

3 / 2

3.

0

0

Переходя к полярным координатам x = r cos ϕ , y = r sin ϕ

(или обоб-

щенным полярным координатам

x = ar cosα ϕ ,

y = br sinα ϕ ), вычис-

4.

лить площадь области, ограниченной кривой (x 2

+ y 2 )3 = 4a 2 x 2 y 2 .

Найти объем тела 0 ≤ z ≤ 4 − x2 ,

x2 − y 2

≥ 0 ,

x ≥ 0 .

5.

Найти площадь поверхности

x 2 + y 2 + z 2 = R 2 , если

x + y ≤ R ,

x ≥ 0 ,

y ≥ 0 .

6.

Записать

интеграл∫∫∫ f (x, y, z)dxdydz

в виде одного из повторных в ци-

D

D = {(x, y, z) :

линдрической системе координат, если

4x2 + 3y2 + z2 ≤ 48,

0 ≤ 2z ≤ 4x 2 +3y 2 }.

7.

Записать

∫∫∫ f (x, y, z)dxdydz в виде повторного интеграла, выбрав одну

D

из систем

координат (декартову, цилиндрическую

или сфериче-

скую), если

{

x2 + y2 ≤16

}

D =

(x, y, z) :

y2 ≤ z ≤ 4 .

тела

плотностью ρ , ограниченного плоскостями x + y + z =1, x = 0,

y = 0,

z = 0 .

11.

Найти

момент

инерции части

однородной верхней

полусферы

x2 + y2

+ z2 = a2 ,

z ≥ 0 плотности

ρ , лежащей

внутри

цилиндра

x2 + y2 = ax, относительно плоскости YZ .

12.

Вычислить поверхностный интеграл ∫∫xyzdS , где S – часть конуса

S

2xy = z 2 , z ≥ 0 , лежащая внутри цилиндра x2 + y2

= a2 .

13.

Найти координаты центра масс дуги однородной кривой L = {(x, y) :

x = a cos t, y = a sin t, 0 ≤ t ≤ β}

(0 < β < 2π) .

14.

Вычислить криволинейный

интеграл

первого рода

∫(x + y)ds ,

L = {(x, y) : x = a cos t, y = a sin t ,

}.

L

0 ≤ t ≤ π 2 }.

15.

Вычислить криволинейный интеграл второго рода ∫y3 dy − 2xy2 dx ,

L

где L – часть кривой x3 + 2x2 + y2 = 3 от точки A = (–1,

2 ) до точки

∫(z 2 − y2 )dx + (x2

− z 2 )dy + ( y2

− x2 + x)dz , где L – эллипс x2 +y2 = 8x ,

L

x + y + z = 0 , положительно ориентированный на верхней стороне

плоскости.

17. Вычислить поверхностный интеграл второго рода

∫∫ x2 + y2 dydz +

x2 + y2 dzdx +

zdxdy , где S

– правая сторона части по-

S

верхности тела

x2 + y2

≤ z2 ,

x2

+ y2 ≤ 2 − z ,

z ≥ 0 ( x ≥ 0 ).

JJG

y

z

x

18. Найти rot F , если F =

i +

j +

k , i, j, k

– единичные орты.

x

z

y

19. Пусть

u

–

скалярное поле. Доказать,

что

divgrad

u =+u

, где

u = ∂2u

+

∂2u

+

∂2u .

∂x2

∂y2

∂z 2

F = (3x −1)i + ( y − x + z) Gj + 4zk

20. Найти

циркуляцию

векторного поля

вдоль контура

L , где

L – контур треугольника,

ABCA,

A, B,C – точ-

ки пересечения плоскости

2x − y − 2z + 2 = 0

соответственно с осями

координат OX , OY, OZ .

21. Найти поток векторного поля F = yi + zj + xk

в направлении внешней

нормали

через

поверхность

S пирамиды

x + y + z ≤ a ,

x ≥ 0,

y ≥ 0,

z ≥ 0 .

2. Вычислить ∫2

dx∫1

x 2 dy

.

2

0

0

1+ y

3.

Переходя к полярным координатам x = r cos ϕ ,

y = r sin ϕ (или обоб-

щенным полярным координатам

x = ar cosα ϕ ,

y = br sinα ϕ ),

вычис-

4.

лить площадь области, ограниченной кривой (x 2

+ y 2 )3

= a 2 (x 4

+ y 4 ) .

Найти объем тела 0 ≤ z ≤ x 2 − y 2 ,

2x + y ≤1.

5.

Найти

площадь поверхности x2

+ y2 + z2 = R2 , если

x2 + y 2 ≤ z 2 tg 2α ,

z ≥ 0 .

6.

Записать интеграл∫∫∫ f (x, y, z)dxdydz в виде одного из повторных в

D

D = {(x, y, z) :

цилиндрической системе координат, если

x2 + y2 ≤ 2ax,

7.

x 2 + y 2 ≤ a 2 −az, z ≥ 0}.

Выбрав одну из систем координат (декартову, цилиндрическую или

сферическую), записать

∫∫∫ f (x, y, z)dxdydz

в виде повторного инте-

D

x ≥ 0 0 ≤ z ≤ x2 − y 2 }.

8.

грала, если D = {(x, y, z) : 2x −1 ≤ y,

Найти

объем тела, ограниченного поверхностями

(x + y + z)2 = ay ,

9.

x = 0 , y = 0 , z = 0 , ( x > 0, z > 0 ).

Найти момент инерции относительно осей координат

тела плотно-

стью

ρ , ограниченного

поверхностями

x = 0,

x = a ,

y = 0, y = b ,

z = 0,

z = c .

10.

Найти статический момент однородной пластины плотности ρ , зани-

мающей область, ограниченную одной аркой циклоиды

x = a(t −sin t) ,

11.

y = a(1 − cos t) и отрезком прямой y = 0 относительно оси

OX .

Найти момент инерции относительно плоскости XY части однород-

ного конуса x2

+ y2 = z2tg2

α ,

x2

+ y2

≤ R2

(0 <α < π / 2) , массой М.

12.

Вычислить

поверхностный

интеграл

∫∫ a2

+ y2 + z 2 dS ,

где S –

часть

параболоида

S

ax = yz ,

лежащая

внутри

цилиндра

( y2 + z2 )2 = 2b2 yz .

13.

Найти координаты центра масс дуги однородной кривой L = {(x, y) :

: x2 23 + y 23 = a 23 , x ≥ 0, y ≥ 0}.