m08-15

21. Найти поток векторного поля

F = (x −3y + 6z)i

в направлении внеш-

ней нормали через поверхность S ,

где S

– поверхность пирамиды,

образуемой плоскостью

− x + y + 2z − 4 = 0

и координатными плоско-

стями.

Вариант № 18

1.

В двойном интеграле

∫∫ f (x, y)dxdy , где D ={(x, y) : (x −1)2 + y2

≤1, 0 ≤x ≤1}

D

r и

ϕ ,

полагая

x = r cos ϕ ,

перейти

к

полярным

координатам

ϕ

r

(ϕ)

y = r sin ϕ , и записать интеграл в виде

∫2

dϕ

2

∫g(r,ϕ)dr .

2.

ϕ1

r1 (ϕ)

Вводя

новые

переменные

u

и

v ,

вычислить

интеграл

∫∫(x 2 y 2

+ y 2 )dxdy , где

D = {(x, y) :

1/ x ≤ y ≤ 2 / x,

x ≤ y ≤ 3x}.

D

3.

Найти площадь петли кривой (x + y)4 = ax 2 y .

4.

Найти объем тела

0 ≤ bz ≤ x 2 y 2

ax ≤ x 2

+ y 2 ≤ 2ax .

5.

Найти площадь поверхности x2

+ y2

= 2ax,

если z 2

≤ x 2

+ y 2 .

6.

Расставить всеми возможными способами пределы интегрирования в

цилиндрической

системе

координат

в

интеграле ∫∫∫ f (x, y, z)dxdydz ,

если D = {(x, y, z) : x 2 + y 2 + z 2 ≤ 4R 2 ,

≤ 2Rx}.

D

x 2 + y 2

7.

Записать

∫∫∫ f (x, y, z)dxdydz в виде повторного интеграла, выбрав одну

D

из систем координат (декартову, цилиндрическую или сфериче-

8.

скую), если D = {(x, y, z) :

y 2

+ x + z ≤ a, x ≥ z ≥ 0}.

Найти объем тела, ограниченного поверхностью

9.

(x2 + y2 + z2 )3 = a3 z(x2 − y2 ) .

Найти момент инерции относительно оси ОZ

тела плотностью ρ ,

x 23

y 23

z

23

ограниченного поверхностью

+

+

=1.

a

b

c

10. Вычислить момент инерции

однородной пластины массой М, огра-

ниченной кривыми 2 py = x2 ,

y2 = 2 px относительно осей координат.

11. Найти момент инерции

однородной поверхности плотности ρ , по-

лученной

при

вращении

одной

арки

циклоиды

x = a(ϕ −sin ϕ) ,

y = a(1 −cos ϕ) вокруг оси OX ,

относительно оси OX .

12. Вычислить

поверхностный интеграл ∫∫(x2 + y2 + z)dS , где S – верх-

няя полусфера

= a2 ,

z ≥ 0 .

S

x2

+ y2

+ z 2

13. Найти координаты центра масс дуги однородной кривой

L = {(x, y) : y =

a

x

−x

a ) , − a ≤ x ≤ a}.

2

(e

a +e

14.

Вычислить криволинейный интеграл первого рода ∫| y | ds , где L –

кривая r = a(2 +cos ϕ) .

L

15.

Вычислить криволинейный интеграл второго рода

∫(2 − y)dx + xdy ,

взятый

вдоль

ориентированной

кривой

L

L ={(x, y) :

x = t −sin t,

y =1−cos t,

0 ≤ t ≤ 2π}, где кривая проходится по возрас-

16.

танию параметра.

Пользуясь формулой Грина, вычислить (замыкая, если нужно, кри-

вую отрезком прямой) ∫xdy + ydx , где L – часть кривой

L

x2 sin1/ x + 4 / π 2 , x ≠ 0

от точки A =(0, 4 / π 2 ) до точки

y =

2

x = 0

4 / π

,

где S – часть внешней стороны конуса

x2 + z 2 = y , 0 ≤ y ≤ b .

JG

xy

xy

xy

18.

Найти

div F, если F = xf

i −

2 yf

j

− zf

k , где i, j, k

– единич-

z

z

z

ные орты, а f (u) – непрерывно дифференцируемая функция.

19. Пусть u,v

– скалярные поля. Доказать, что div(u v) = u v + u G v .

20. Найти

циркуляцию

векторного поля

F = y2 i + xyj + (x2 + y2 )k

вдоль

контура

L ={(x, y, z) :

x2 + y2

= az,

x = 0,

y = 0,

z = a, x ≥ 0,

y ≥ 0}, по-

ложительно ориентированного на внешней стороне параболоида.

21. Найти поток векторного поля

F = 2xi − yj + zk

в направлении внеш-

ней нормали через поверхность S тела

x2 + y2

+ z 2 ≤ 4 , 3z ≤ x2 + y2 .

Вариант № 19

1.

В двойном интеграле

∫∫ f (x, y)dxdy

перейти к полярным

коор-

D

динатам r и ϕ , полагая

x = r cos ϕ ,

y = r sin ϕ ,

и записать интеграл в

ϕ

r

(ϕ)

D = {(x, y) :

(x −1)2 + y 2 ≤1, x 2 +(y −1)2 ≤1}.

виде ∫2

dϕ

2

∫g(r,ϕ)dr , где

ϕ1

r1 (ϕ)

2.

Вводя новые переменные u

и v , вычислить интеграл ∫∫

(x + y)2

dxdy ,

где D ={(x, y) : 1− x ≤ y ≤ 3 − x,

x / 2 ≤ y ≤ 2x}.

D

x

3.

Найти площадь петли кривой (x + y)3 = axy .

4.

Найти объем тела z ≥ 0 ,

x + z ≤1 , x ≥ y 2 .

5.

Найти площадь поверхности x2

+ y2

= 2ax, если 0 ≤ az ≤ x 2 + y 2 .

6.

Расставить всеми возможными способами пределы интегрирования в

цилиндрической

системе координат в интеграле

∫∫∫ f (x, y, z)dxdydz ,

если D = {(x, y, z) : x 2 + y 2 + z 2 ≤ 4R 2 ,

z ≥ R}.

D

7.

Записать ∫∫∫ f (x, y, z)dxdydz в виде повторного интеграла, выбрав одну

D

из систем координат (декартову, цилиндрическую или сфериче-

скую), если D = {(x, y, z) : x 2 + y 2 +ax − xz ≤ 0,

z ≥ 0} .

8.

Найти объем тела, ограниченного поверхностью

(x2 + y2 + z2 )3 = a3 (x3 + y3 ) .

9.

Найти момент инерции относительно оси ОZ тела плотностью

ρ ,

ограниченного

поверхностями

x2 + y2 + z 2

= R2 ,

x2 + y2 = z2tg2

α

плотности

ρ ,

лежащей внутри сферы x2 + y2

+ z 2 = a2 относительно

плоскости XZ .

12. Вычислить

поверхностный интеграл ∫∫(3x2 +5y2 +3z 2 − 2)dS , где S –

S

часть конуса

z = x2 + y2 , лежащая между

плоскостями y = 0 ,

L = {(x, y) : x2 + y2 = R2 , x ≥ 0, y ≥ 0}.

14.

Вычислить криволинейный интеграл первого рода

∫(x2 + y2 )ds ,

L = {(x, y) : (x2 + y2 )2 = 2a2 xy, x ≥ 0, y ≥ 0}.

L

15.

Вычислить криволинейный интеграл второго рода

∫

ydx + xdy

, где

1 + x

2

y

2

L

вую отрезком прямой)

∫(4xy −15x2 y)dx + (2x −52 x3 + 7)dy , где L – часть

L

кривой y = x3 −3x2 + 2 от точки A = (1–

3 ,0) до точки B = (1+ 3 ,0).

17.

Вычислить поверхностный интеграл второго рода ∫∫(x2 + z 2 )dydz , где

S

S – часть внешней стороны цилиндра

9 − y2 = x , 0 ≤ z ≤ 2 .

18.

JG

−ix + jy + kz , где i, j, k – единичные орты.

Найти div F , если F =

x2 + y2

G

вдоль контура

20. Найти циркуляцию векторного поля F = z3i + x3 j + y3 k

L ={(x, y, z) : 2x2 + z 2

− y2

= a2 ,

x + y = 0}, положительно ориентирован-

ного на правой стороне поверхности.

21. Найти поток векторного поля

F = −x3i + y3 j − z3k

в направлении

внешней нормали

через поверхность

S

куба

0 ≤ x ≤ a,

0 ≤ y ≤ a ,

0 ≤ z ≤ a .

Вариант № 20

1.

В двойном интеграле ∫∫ f (x, y)dxdy

перейти к полярным координатам

D

r и ϕ , полагая x = r cos ϕ , y = r sin ϕ , и записать интеграл в виде

ϕ2

r2 (ϕ)

1

∫dϕ ∫g(r,ϕ)dr , где

D =

x

2

+ y

2

≥1,

y–2x ≤

0,

y −

x ≥

0,

(x, y) :

x ≥ 0 .

ϕ1

r1 (ϕ)

2

2.

Вводя новые переменные u и v , вычислить интеграл ∫∫(x3 + y 3 )dxdy ,

где D = {(x, y) : 1/ x ≤ 2 y ≤ 3 / x,

≤ y ≤ 3x 2 }.

D

3.

x 2

Найти площадь петли кривой (x + y)5 = ax 2 y 2 .

4.

Найти объем тела

y2 ≤ 4x,

x 2

≤ 4y , 0 ≤ z ≤ y.

5.

Найти площадь поверхности x2 = y2 + z2 , если x 2

+ y 2

≤ a 2 .

6.

Расставить всеми возможными способами пределы интегрирования в

цилиндрической

системе координат

в

интеграле

∫∫∫ f (x, y, z)dxdydz ,

если D = {(x, y, z) : x 2 + y 2 + z 2

≤ z 2 }.

D

≤ 2az,

x 2

+ y 2

7.

Записать ∫∫∫ f (x, y, z)dxdydz в виде повторного интеграла, выбрав одну

D

из систем координат (декартову, цилиндрическую или сфериче-

8.

скую), если D ={(x, y, z) :

( y2 + x2 )2

≤ a2 (x2 − y2 ),

0 ≤ az ≤ 4(x2 + y2 ),

x ≥ 0}..

Найти объем тела, ограниченного поверхностью

(x2 + y2 + z2 )3 = a2 z2 y2 .

9.

Найти момент инерции относительно оси ОZ

тела плотностью ρ ,

ограниченного поверхностями x2 + y2

+ z 2

= 3 , x2

+ y2

= 2z ( z ≥ 0 ).

10. Вычислить момент инерции

однородной пластины массой М, огра-

ниченной кривой r 2 = a2 cos 2φ относительно полярной оси.

11. Найти

момент

инерции

части

однородной

верхней полусферы

x2

+ y2

+ z 2 = a2 ,

z ≥ 0

плотности

ρ , лежащей

внутри

цилиндра

x2

+ y2

= ax , относительно плоскости YZ .

12. Вычислить

поверхностный интеграл ∫∫

1 + x

2

+ y

2

– лежа-

2

2 dS , где S

S

p

q

щая внутри цилиндра

x

2

y2 2

2

x2

y

2

часть

параболоида

= a

2 +

2

2

−

p

q

p

q

2

z =

x2

−

y2

, x ≥ 0 .

2 p

2q

13.

Найти момент инерции витка конической винтовой линии

L плот-

ности ρ = kz

L = {(x, y, z) : x = at cosπt,

y = at sin πt,

z = bt

0 ≤ t ≤ 2π} отно-

сительно оси OZ .

14.

Вычислить криволинейный интеграл первого рода ∫(2x − yz2 )ds , где

L = {(x, y, z) : x = t 2 / 2, y = 2 2t 32 / 3, z = t,0 ≤ t ≤1}.

L

15.

Вычислить криволинейный интеграл второго рода

∫(−x2 ydx + xy2 dy) ,

L

где L ={(x, y) :

x2 + y2

= r 2 }

– окружность, которая обходится

в поло-

16.

жительном направлении.

Пользуясь формулой Грина вычислить (замыкая, если нужно, кри-

вую отрезком прямой)

∫x3 y3dx +(x − y)2 dy ,

где

L

–

ломаная

линия

L

17.

АВС, где A = (2,1), В = (0,3),

С = (–2,1).

Вычислить

поверхностный

интеграл

второго

рода

∫∫(a2 x +by2 + cz2 )dydz , где

S

–

правая

сторона цилиндра

y2 = 2 px ,

S

18.

x ≤ 2 p , 0 ≤ zJG≤ q .

+ z 2 ) j + (x2 + z 2 )k ,

i,

j, k

– единич-

Найти rot F , если F = (x2 + y2 )i + ( y2

19.

ные орты.

G

G

G

Доказать, что div (F +

+ div

Φ)

= div F

Φ .

20.

Найти

работу

поля

F = 2xyi + y2 j − x2 k

вдоль кривой

L = AB (часть

кривой

x2

+ y2

− 2z 2 = 2 ,

y = x

от

точки

A = (1,1,0)

до

точки

B = ( 2,

2,1) ).

21.

Найти поток векторного поля

F = x2 yi + xy2 j + xyzk

через поверх-

ность тела

x2 + y2 + z 2

≤ R2 ,

x ≥ 0,

y ≥ 0,

z ≥ 0 в направлении внешней

нормали.

Вариант № 21

1.

В двойном интеграле

∫∫ f (x, y)dxdy , где

D – квадрат с вершинами

D

перейти к полярным координатам r и ϕ ,

O (0,0), А(0,1), В(1,0), С(1,1),

полагая

x = r cosϕ ,

y = r sin ϕ ,

и

записать

интеграл в виде

ϕ2

r2 (ϕ)

∫dϕ

∫g(r,ϕ)dr .

ϕ1

r1 (ϕ)

2.

Вводя новые переменные u

и v , вычислить интеграл ∫∫xy(x + y)dxdy ,

где

D ={(x, y) : 1/ x ≤ y ≤ 2 / x,

−1 ≤ x − y ≤1}.

D

3.

Производя удобную замену переменных, найти площадь, ограничен-

ную кривыми xy = p,

xy = q,

y 2

= ax,

y 2 = bx, 0 < p < q, 0 < a < b .

4.

Найти объем тела

x2

+

y2

≤ 1,

x 2

+

z 2

≤1.

a2

b2

a 2

b2

5.

Найти площадь поверхности x2

= y2 + z2 , если x 2

− y 2 ≤ a 2 , | y |≤ b .

6.

Расставить всеми возможными способами пределы интегрирования в

цилиндрической системе координат

в интеграле ∫∫∫ f (x, y, z)dxdydz ,

если D = {(x, y, z) : x 2 + y 2 + z 2 ≤ 4R 2 ,

+ y 2 ≤ R 2 }.

D

x 2

7.

Записать

∫∫∫ f (x, y, z)dxdydz в виде повторного интеграла, выбрав одну

D

ниченной кривыми xy = 4 , xy = 8 ,

x = 2 y , x = y , ( y > 0 ) относительно

11.

оси OY .

Найти момент инерции относительно плоскости XY части однород-

ного конуса x2 + y2 = z 2tg 2α , x2

+ y2

≤ R2

(0 <α < π / 2) , массой М.

12.

Вычислить поверхностный

интеграл

∫∫

a2 + y2 + z 2 dS ,

где S –

часть

параболоида

S

ax = yz ,

лежащая

внутри

цилиндра

13.

( y2 + z 2 )2 = 2b2 yz .

Найти момент инерции однородной дуги плотности ρ

L = {(x, y, z) : x = a cos t, y = a sin t,

z =

ht

0 ≤ t ≤ 2π} относительно оси

2π

OX .

14.

Вычислить криволинейный интеграл первого рода ∫(x2 + y2 + z 2 )ds ,

где L = {(x, y, z) : x = cos t,

L

y = sin t,

z = t,

0 ≤ t ≤ 2π}.

15.

Вычислить криволинейный интеграл второго рода

∫ydx −( y + x2 )dy ,

L

16.

где L – дуга параболы y = 2x − x2 от точки A = (2,1) до точки B = (0,0).

Пользуясь формулой Грина вычислить (замыкая, если нужно, кри-

вую отрезком прямой) ∫(x − y)2 dx + (x + y)2 dy , где L – ломаная

линия

L

17.

АВС, где A = (0,0) до точки B = (2,2), С= (0,1).

Вычислить

поверхностный

интеграл

второго

рода

∫∫(x2 − 2 y2 + 6z)dxdy , где

S – часть

нижней

стороны

цилиндра

S

y2 = 6z , z ≤ 6 , 0 ≤ x ≤ 3 .

18.

JJG

,

i, j, k

– единичные орты.

Найти rot F , если F = z3i + y3 j + x3 k

19.

Пусть u – скалярное поле. Доказать, что

G

G

G

div (uc)

= cgrad u ,

c – посто-

20.

янный вектор.

Найти работу поля F = 2xyi + x2 j

вдоль кривой L = AB (наименьшая

дуга окружности x2 + y2

=1 от точки A = (1,0) до точки B = (0,1) ).

21.

Найти

поток

векторного

поля

F = x2 i + y2 j + z 2 k

в

направлении

внешней нормали через нижнюю полусферу S :

x2 + y2

+ z 2

=1,

z ≤ 0 .

Вариант № 22

1.

В двойном интеграле

∫∫ f (x, y)dxdy , где D – треугольник с вершина-

D

ми O (0,0), А(1,0), В(1,1),

перейти к полярным координатам r и ϕ , по-

лагая

x = r cos ϕ ,

y = r sin ϕ ,

и

записать

интеграл

в

виде

ϕ2

r2 (ϕ)

∫dϕ

∫g(r,ϕ)dr .

ϕ1

r1 (ϕ)

2.

Вводя новые переменные u и v ,

вычислить интеграл ∫∫x 2 dxdy , где

D = {(x, y) : x3 ≤ y ≤ 2x3 ,

x ≤ 2 y ≤ 6x}.

D

3.

Производя удобную замену переменных, найти площадь, ограничен-

ную кривыми xy = p,

xy = q,

y = ax,

y = bx, 0 < p < q,

0 < a < b .

4.

Найти объем тела (x 2

+ y 2 )2

≤ a 2 (x 2 − y 2 )

0 ≤ bz ≤ x 2 + y 2 .

11.

ограниченной линиями y =

2x − x2 ,

y = 0 .

Найти

момент

инерции

однородной

поверхности

x = (b + a cos ψ )cos ϕ , x = (b + a cosψ)sinϕ ,

z = a sinψ

(b > a)

плотности ρ

12.

относительно оси OX .

Вычислить

поверхностный интеграл ∫∫xyzdS , где S

– часть конуса

S

2xy = z 2 ,

z ≥ 0 , лежащая внутри цилиндра

x2 + y2 = a2 .

13.

Найти

момент инерции

однородной

дуги

L = {(x, y) :

x 23

+ y 2 3

= a 2 3 ,

x ≥ 0 , y ≥ 0} плотности ρ относительно оси OY .

14.

Вычислить криволинейный интеграл первого рода

∫

z 2 ds

, где

x

2

+ y

2

L = {(x, y, z) :

0 ≤ t ≤ 2π}.

L

x = a cos t,

y = a sin t, z = at,

15.

Вычислить криволинейный интеграл второго рода

∫ydx −( y + x2 )dy ,

L

где L –

контур, составленный линиями

y = 0,

y = x, y =