4.6. Формула Пуассона

Ймовірність того, що в n незалежних випробуваннях, в кожному з яких ймовірність появи події дорівнює (), подія настане рівноk разів (без різниці, в якій послідовності), обчислюється: за наближеною формулою Пуассона:

, де k= 0; 1; 2; ...; n; – середня кількість успіхів (появи події А); –добуток середньої кількості появи подій на розмір області (одиниця області: площі, об’єму, часу).

Примітка: ймовірність р появи події А в одному випробуванні дуже мала (говорять, що подія А-рідкісна), кількість випробувань n „велика” і добуток np<10, тоді застосовуємо формулу Пуассона.

Приклад №1. Завод відправив на базу 4000 якісних виробів. Імовірність того, що в дорозі виріб пошкодиться, дорівнює 0,00025. Знайти ймовірність того, що на базу надійде: 1) 5 пошкоджених виробів; 2) принаймні один пошкоджений виріб; 3) не менше двох пошкоджених виробів; 4) не більше одного пошкодженого виробу.

Розв’язання. Випробування полягають у транспортуванні виробів на базу. Подія А – при транспортуванні виріб пошкодився. Оскільки добуток , то за формулою Пуассона маємо:

;

;

;

Відповідь: 1) 0,31%; 2) 63%; 3) 26,2%; 4) 74%.

4.7. Простий потік подій

Часто події, що розглядаються при розв’язуванні виробничих задач, настають у випадкові моменти часу. Тоді потоком (течією) подій називають послідовність таких подій, які наступають у випадкові моменти часу. Наприклад: заяви до диспетчерського пункту з викликом таксі; виклики на АТС пункту швидкої медичної допомоги; послідовність відмов елементів у електричному ланцюзі і т.д.

Потік називається простим пуассонівським, якщо виконуються умови:

• стаціонарний, тобто залежить від кількості появ події та часу(ймовірності появиподій за проміжок часурівні між собою) і не залежить від моменту свого початку;

• має властивість відсутності післядії, тобто ймовірність появи події не залежить від появи або не появи події раніше та не впливає на найближче майбутнє;

• ординарний, тобто ймовірність появи більше однієї події в малий проміжок часу є величина нескінченно мала у порівнянні з імовірністю появи події один раз у цей проміжок часу (за нескінченно малий проміжок часу може з’явитись не більше однієї події).

Середня кількість появ подійА в одиницю часу називається інтенсивністю потоку.

Твердження: якщо потік подій пуасонівський, то ймовірність появи події А разів за часобчислюється за формулою:, де– інтенсивність потоку. Цю формулу іноді називаютьматематичною моделлю простого потоку подій.

Приклад № 2. Всередньому на 1м² площі посіву зустрічається 0,5 стеблин бур’яну. Знайти ймовірність того, що на площі 4м² знайдеться: 1) 2 стеблини бур’янів; 2) не більше двох стеблин бур’янів; 3) принаймні одна стеблина бур’яну.

Розв’язання. Випробування полягають у дослідженні посівів на наявність бур’янів. Подія А – на площі посівів знайшлися стеблини бур’янів. Кожна стеблина бур’яну розглядається як точка, яка з’являється в заданій площі. Застосовуємо формулу Пуассона. За умовою , s=4м² (це середня кількість подій, у нашому випадку – стеблин бур’янів, які з’являються на одиниці площі). Параметр розподілу Пуассона =₁s=0,54=2. Шукану ймовірність знаходимо за формулою Пуассона:

;

;

.

Відповідь: 1) 27%; 2) 68,1%; 3) 86,4%.

Приклад № 3. Рукопис об’ємом 1000 сторінок друкованого тексту містить 1000 помилок, допущених при наборі (опечаток). Знайти ймовірність того, що навмання взята сторінка містить: 1) хоча б одну опечатку; 2) рівно 2 опечатки; 3) не менше двох опечаток; 4) не більше однієї опечатки. (Вважати, що кількість опечаток розподілена за законом Пуассона).

Розв’язання. Параметр розподілу Пуассона: .

Маємо простий потік подій із інтенсивністю , тоді за формулою:

;

;

;

Відповідь: 1) 63,2%; 2) 18,5%; 3) 26,2%; 4) 73,8%.

8. Найімовірніше число.

Розглянемо приклад: нехай підкинули монету 4 рази. Подія А полягає у появі герба. Складемо таблицю в якій у першому рядку фіксуватимемо кількість гербів при 4 підкиданнях (0 – ні разу не випав герб, 1 – один раз випав герб, і т.д.). Ймовірність появи герба при кожному підкиданні стала і рівна ½, тоді неуспіх – цифра – ½.

	0	1	2	3	4

Визначимо при якій кількості підкидань монетки герб з’являтиметься найчастіше?

У другому рядку таблиці запишемо обчислені ймовірності появи у кожному із 4 підкидань герба:

;

;

;

;

.

Заповнимо другий рядок таблиці:

	0	1	2	3	4
	0,0625	0,25	0,375	0,25	0,0625

Причому, звернемо увагу:

При фіксованому n = 4 імовірності спочатку зростають при збільшенні числаk від 0 до деякого числа (у даному випадку це 2), і починають спадати при подальшому збільшенні числаk. Кількість успіхів , якій відповідає найбільша ймовірність , називаютьнайбільш імовірною кількістю успіхів, або найімовірнішим числом, або модою. Її визначають із нерівності: , або

Якщо:

1. число – ціле, то існують дві моди, а самеі;

2. число – дробове, то існує одна мода, а саме;

3. якщо число – ціле, то мода визначається, як.

Обчислимо аналітично: n=4, р=0,2, тоді:

,

Ціле число (кількість підкидань), що міститься між даними і буде модою – 2.

Приклад № 3. Садівник зробив восени 6 прививок. Із досвіду минулих років відомо, що після зимування 7 із кожних 10 черенків залишаються життєздатними. Яка найбільш імовірна кількість життєздатних черенків?

Розв’язання. Випробування полягають у тому, що садівник восени висаджує черенки. Подія А – черенок перезимував і залишився життєздатним. За умовою – ймовірність життєздатності черенків.

За формулою: або, тобто.

Відповідь: найбільш імовірна кількість черенків, які „приживуться” рівна 4.

Приклад № 4. Скільки треба виконати незалежних випробувань із ймовірністю появи події у кожному виробуванні, рівною 0,4, щоб найімовірніше число появи події у цих випробуваннях було рівне 25?

Розв’язання. За умовою . Застосуємо формулу:, виконаємо спрощення:. Отримаємо результат:. Тобто шукана кількість випробувань повинна задовільняти подвійну нерівність:, це, зрозуміло, що.

Відповідь: 63.

Приклад № 5. Знайти ймовірність появи події у кожному із 49 незалежних випробувань, якщо найімовірніше число настання події у цих випробуваннях дорівнює 30.

Розв’язання. За умовою . Застосуємо формулу:та виконаємо спрощення:або. Таким чиномабо– нерівність задає проміжок, якому належить шукане значення ймовірності.

Відповідь: .

20