4. Повторні незалежні випробування. Схема Бернуллі.

1. Схема Бернуллі або схема повторних незалежних випробувань:

Розглянемо випадки, коли у дослідах одні і ті ж випробування повторюються декілька разів. (Наприклад: підкидання монети; схожість насіння; наявність бракованих виробів у партії і т.д.). Тоді в результаті кожного випробування може з’явитись або не з’явитись подія, яка нас цікавить. (Наприклад: поява герба або решки; проросло зерно чи не проросло; деталь бракована чи стандартна і т.д.). Але цікавим для нас є не результат окремого випробування у серії проведених дослідів, а ймовірність появи тієї чи іншої кількості подій у серії випробувань.

У схемі Якоба Бернуллі (1654-1705р.) розглядається серія з n повторних незалежних випробувань, кожне з яких має лише два наслідки: поява деякої події А (успіх) або поява протилежної події (невдача), причому ймовiрність успіху однакова в усіх випробуваннях і дорівнює р. Числа n і р називаються параметрами схеми Бернуллі. Тоді узагальнимо вище сказане у вигляді схеми:

1. Проводится n незалежних випробувань.

2. Ймовірність успіху стала і дорівнює p, де .

3. Ймовірність невдачі .

4. Кожне випробування має два наслідки: успіх або невдача.

2. 4.2. Формула Бернуллі.

Схожість зерна дорівнює . Знайти ймовірність, що зn посіяних зернин проросте k насінин.

Подія А-успіх полягає у тому, що зернина проросте.

Ймовірність того, що в n незалежних випробуваннях, у кожному з яких ймовірність появи події дорівнює p (), подія настане рівноk разів (без різниці, в якій послідовності), обчислюється за формулою Бернуллі: , де.

(Для прикладу з насінням, задача формулюється наступним чином: ймовірність того, що з насінин проросте рівно, якщо ймовірність проростання для кожної насінини дорівнює, обчислюємо за формулою Бернуллі).

Примітка: формула Бернуллі застосовується у випадку, коли кількість випробувань відносно невелика (як правило, при , дер не може бути набагато меншим 0,1, оскільки при піднесенні до степеня, результат прямуватиме до 0).

Приклад №1. У корзині 30 білих і 10 чорних куль. Взяли підряд п’ять куль, причому кожну взяту кулю повертають у корзину назад перед тим, як брати наступну. Яка ймовірність того, що з п’яти взятих куль три будуть білими?

Розв’язання. Ймовірність взяти білу кулю можна вважати однаковою (сталою в усіх п’яти випробуваннях і рівною: ), тоді ймовірність витягти чорну (не білу):, або. Скориставшись формулою Бернуллі, матимемо:

Відповідь: 26,4%.

Частіше на практиці цікавить ймовірність того, що у випробуваннях подія А з’явиться: а) менше k разів; б) більше k разів; в) не менше k разів; г) не більше k разів, тоді її визначають відповідно за формулою:

, або:

Приклад №2. Ймовірність того, що витрати води протягом дня не перевищуватимуть норму, дорівнює 0,8. Знайти ймовірність того, що витрати води будуть у нормі у найближчі шість днів протягом: 1) п’яти; 2) не менше чотирьох.

Розв’язання. Будемо вважати, що випробування – це перевірка норм витрат води. Кількість випробувань за умовою n = 6. Подія А – успіх витрати води в нормі, тоді , не відповідають нормам витрати води .

За формулою Бернуллі маємо:

Відповідь: 1) 39,3%; 2) 90,1%.

3. Локальна теорема Муавра-Лапласа

Для частинного випадку, а саме для асимптотична формула була знайдена у 1730 р. Муавром, у 1783 р. Лаплас узагальнив формулу Муавра для будь-якого, відмінного від 0 і 1.

Локальна теорема Лапласа. Ймовірність того, що в n незалежних випробуваннях, у кожному з яких ймовірність появи події дорівнює p (0<p<1), подія настане рівно k разів (без різниці, в якій послідовності ), наближено дорівнює:

, де та ,причому .

Властивості функції :

1. –парна; 2. якщо , то.

Таблиця значень функції для додатніх значеньх міститься в додатку 1 [1, с.461-462; 2, с.197].

Приклад №3. Серед виготовлених деталей в середньому 0,5% браку. Яка ймовірність, що в партії з 10000 деталей 40 бракованих?

Розв’язання. Випробування – перевірка якості деталей при кількості випробувань n=10000. Подія А – успіх – деталь бракована, тоді р=0,005, q=0,995, k=40, Застосуємо локальну формулу Лапласа:

.

Відповідь: ймовірність того, що в партії із 10000 деталей 40 бракованих – 2,06%.