4.4. Інтегральна формула Муавра-Лапласа

Якщо ймовірність появи події А у кожному випробуванні постійна і відмінна від 0 і 1, то ймовірністьтого, що подія А з’явиться ввипробуваннях віддоразів, наближено дорівнює:

де ,, тобто :.

Властивості функції :

1. –непарна; 2. якщо , то.

Таблиця значень функціїї Лапласа для додатніх значень міститься у додатку 2[1, с.462-463; 2, с.198-199].

Приклад №4. Серед виготовлених деталей всередньому 0,5% браку. Яка ймовірність, що в партії з 10000 деталей не більше 40 бракованих?

Розв’язання. Випробування – перевірка якості деталей при кількості випробувань . Подія А – успіх – деталь бракована. За умовою задачі , тоді обчислимо:, за інтегральною формулою Лапласа:.

Відповідь: ймовірність того, що в партії з 10000 деталей не більше 40 бракованих – 8%.

4.5. Ймовірність відхилення відносної частоти успіху.

Пригадаємо статистичне означення ймовірності: відношення випробувань, у яких подіяА мала місце до загальної кількості фактично проведених випробувань , де– відносна частота появи подіїА. Нехай проведено n випробувань за схемою Бернуллі (тобто в кожному з них ймовірність появи події стала і дорівнює (). Обчислимо ймовірність, що відхилення відносної частотивід постійної ймовірностіза абсолютною величиною не перевищує заданого числа. Або знайдемо ймовірність виконання нерівності:, тоді за інтегральною формулою Муавра-Лапласа маємо:.

Або ймовірність того, що в незалежних випробуваннях, у кожному з яких ймовірність появи події дорівнює(), абсолютна величина відхилення відносної частоти появи події від ймовірності появи події не перевищує додатнього числанаближено дорівнює подвоєній функції Лапласапри.

Приклад №5. Ймовірність того, що деталь нестандартна, . Знайти ймовірність того, що серед навмання відібраних 400 деталей відносна частота появи нестандартних деталей відхилиться від ймовірностіза абсолютною величиною не більше ніж на 0,03.

Розв’язання. За умовою, .Необхідно знайти ймовірність або.

За таблицею додатку 2 [1, с. 462-463] знаходимо . Тобто,або.

Отже, шукана ймовірність наближено дорівнює 0,9544.

Зміст отриманого результату: якщо взяти достатньо велику кількість проб по 400 деталей у кожній, то приблизно у 95,44% цих проб відхилення відносної частоти від постійної ймовірності за абсолютною величиною не перевищить 0,03.

Відповідь: 95,44%.

Приклад №6. Ймовірність того, що деталь не стандартна, . Знайти, скільки деталей необхідно відібрати, щоб з ймовірністю 0,9544, можна було стверджувати, що відносна частота появи нестандартних деталей (серед відібраних) відхилиться від постійної ймовірностіза абсолютною величиною не більше ніж на 0,03.

Розв’язання. За умовою, . Необхідно знайти .

Застосуємо формулу: , тоді.

За даними умови задачі: .

Тобто, .

За таблицею додаток 2 [1, с. 462-463] знаходимо .

Для відшукання числа отримуємо рівняння. Звідси шукана кількість деталей.

Зміст отриманого результату наступний: якщо взяти достатньо велику кількість проб по 400 деталей, то у 95,44% цих проб відносна частота появи нестандартних деталей буде відрізнятися від постійної ймовірності за абсолютною величиною не більше ніж на 0,03, тобто значення відносної частоти міститься у межах. Виконаємо перетворення:або. Отримаємо остаточний результат:або. Іншими слова кількість нестандартних деталей у 95,44% проб буде міститися між.

Якщо взяти лише одну пробу із 400 деталей, то з більшою впевненістю можна очікувати, що у цій пробі буде нестандартних деталей не меньше 28 і не більше 52. Можливо, хоча і мало ймовірно, що нестандартних деталей виявиться меньше 28 або більше 52.

Примітка: самостійно знайти на наступну лекцію ймовірності появи у кожному із 4 підкидань монети герба (герб випаде 0 разів, 2 рази і т.д. – обчислити за формулою Бернуллі).