Иногда дискретизированное преобразование называется вейвлетпреобразованием. Однако нам кажется более правильным ввести по аналогии с терминологией преобразований Фурье название рядов вейвлетов непрерывного времени (CTWS), так как мы имеем дело с дискретным представлением непрерывного сигнала. CTWS определяется путем дискретизации
CTWT:
(CTWS )
f m,n
∞ |
|
= d m,n = ∫ a0−m / 2ψ (a0−m x − n)f (x)dx . |
(2.10) |
−∞
Восстановление f (x) из последовательности возможно в том случае, если существуют числа A > 0 и B < ∞ , такие что
A |
|
|
|
f (x) |
|
|
|
2 ≤ ∑∑ |
|
dm,n |
|
2 ≤ B |
|
|
|
f (x) |
|
|
|
2 |
(2.11) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
m Z n Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
для всех f (x) в L2 (R). Это означает, что хотя реконструкция |
f (x) из ее |
||||||||||||||||||||
вейвлет-коэффициентов может не совпадать точно с f (x), она будет близка
к ней в среднеквадратическом смысле. Если A = B = 1 и a0 = 2 , то возможно |
|
полное восстановление, и семейство базисных функций ψ a,b (x) |
образует ор- |
тогональный базис. Тогда |
|
f (x)= Cψ ∑∑dm,n a0−m / 2ψ (a0−m x − n). |
(2.12) |
m Z n Z |
|
Если базисные функции нормализованы, то Cψ = 1.
Итак, мы дали определения вейвлет-преобразования и ряда вейвлетов для функций непрерывного времени по аналогии с соответствующими формулами для преобразования и ряда Фурье. Прежде чем перейти к рассмотрению дискретного вейвлет-преобразования, введем концепцию кратномасштабного анализа, которая является краеугольным камнем в теории вейвлетпреобразования.
2.2. Кратномасштабное представление функций
При анализе сигналов часто полезно представить сигнал в виде совокупности его последовательных приближений. Например, при передаче изображения можно сначала передать грубую его версию, а затем последовательно ее уточнять. Такая стратегия передачи имеет выгоды, например при осуществлении выбора изображений из некоторой базы данных, когда необходимо
31
быстро просмотреть большое количество картинок. Другим примером может являться телевизионный приемник, на экране которого одновременно отображены несколько программ. Разрешение и размеры выбранной программы должны затем кратномасштабно увеличиться.
Теория кратномасштабного анализа базируется на теории функциональных пространств.
Под кратномасштабным анализом понимается описание пространства L2 (R) через иерархические вложенные подпространства Vm, которые не пе-
ресекаются и объединение которых дает нам в пределе L2 (R), то есть
... V2 V1 |
V0 V−1 |
V−2 ..., |
|
||
!Vm = {0}, |
|
|
|
= L2 (R). |
(2.13) |
|
Vm |
||||
m Z |
|
m Z |
|
|
|
Далее, эти пространства имеют следующее свойство: для любой функции |
|
f (x) Vm ее сжатая версия будет принадлежать пространству Vm−1 , |
|
f (x) Vm f (2x) Vm−1 . |
(2.14) |
И, наконец, последнее свойство кратномасштабного анализа: существует такая функция φ(x) V0 , что ее сдвиги φ0,n (x) = φ(x − n), n Z образуют ор-
тонормированный базис пространства V0 . На рис. 2.2 схематично показаны |
|
данные вложенные пространства. |
|
Так как функции φ0,n (x) образуют ортонормированный базис пространст- |
|
ва V0 , то функции |
|
φm,n (x) = 2−m / 2 φ(2−m x − n) |
(2.15) |
образуют ортонормированный базис пространства Vm . Эти базисные функции называются масштабирующими, так как они создают масштабированные версии функций в L2 (R). Из кратномасштабного анализа, определенного выше, следует, что функция f (x) в L2 (R) может быть представлена множе-
ством последовательных ее приближений |
f m (x) в |
Vm . Другими словами, |
функция f (x) есть предел аппроксимаций |
f m (x) Vm |
при m стремящемся к |
минус бесконечности: |
|
|
f (x)= lim |
f m (x), |
(2.16) |
m→−∞ |
|
|
32
Отсюда появляется возможность анализа функции или сигнала на различных уровнях разрешения, или масштаба. Переменная m называется масштабным коэффициентом, или уровнем анализа. Если значение m велико, то функция в Vm есть грубая аппроксимация f (x), и детали отсутствуют. При малых
значениях m имеет место точная аппроксимация. Из определения кратномасштабного анализа следует, что все функции в Vm могут быть представлены как линейная комбинация масштабирующих функций. В действительности, fm (x) есть ортогональная проекция f (x) на Vm ,
fm (x) = ∑ φm,n (x), |
f (x) φm,n (x) = ∑cm,nφm,n (x). |
(2.17) |
n |
n |
|
Так как φ(x) = φ0,0 (x) V0 V−1 , можно записать |
|
|
φ0,0 (x) = 21/ 2 ∑hnφ−1,n (x) = 2∑hnφ(2x − n), |
(2 .18) |
|
n |
n |
|
где hn - некоторая последовательность. Равенство (2.18) является одним из
основных в теории вейвлет-анализа и имеет различные названия в литературе. Мы будем называть его далее масштабирующим уравнением.
L2 (R)
Vm −2
{0}
Vm−1
Рис. 2.2. Кратномасштабное представление L2 (R)
Функция φ(x) и последовательность hn тесно связаны между собой. Выведем соответствующие отношения. Из (2.18) можно получить
33
φm+1,k (x) = 21/ 2 ∑hpφm, p−2k (x) = 2(−m+1)/ 2 ∑hpφ(2−m x − (p − 2k )). |
(2.19) |
|
p |
p |
|
Выполним операцию скалярного произведения φm,n−2k равенства (2.19):
(x) с обеих сторон
φm+1,k (x),φm,n−2k (x) = 21/ 2 ∑hpφm, p−2k (x),φm,n−2k (x) =
p |
|
= 21/ 2 ∑hp φm, p−2k (x),φm.n−2k (x) = 21/ 2 hn . |
(2.20) |
p |
|
Отметим, что это равенство выполняется для любого m . Далее, если пе-
реписать (2.18) в частотной области, можно получить |
|
|||||
ω |
|
|
ω |
(2.21) |
||
Φ(ω )= H |
Φ |
|
. |
|||
2 |
|
|
|
2 |
|
|
При рекурсивном повторении формулы (2.21) получается выражение |
||||||
∞ |
ω |
|
||||
Φ(ω )= ∏H |
|
|
|
. |
(2.22) |
|
2 |
m |
|
||||
m=1 |
|
|
|
|
|
|
Итак, последовательность hn тесно связана с масштабирующей функци-
ей. Кроме того, из концепции кратномасштабного анализа вытекают следующие свойства.
Во-первых, интегрируя (2.18) по всей числовой оси x , можно получить
∑hn = 1 , |
(2.23) |
n |
|
так как для построения кратномасштабного анализа среднее значение функции φ(x) не должно быть равно нулю. Во-вторых, в силу ортонормальности базисных функций
δ 0,k = φ0,0 (x),φ0,k (x) = 2∑hn hn+2k . |
(2.24) |
n |
|
34
Третье свойство последовательности hn сформулируем в спектральной области. Из записи условия ортонормальности функций φm,n (x) в области спектра
|
∑ |
|
Φ(ω + 2kπ ) |
|
2 = 1 |
(2.25) |
||||||
|
|
|||||||||||
|
k |
|
||||||||||
можно получить следующее выражение: |
|
|||||||||||
|
H (ω ) |
|
2 + |
|
H (ω +π ) |
|
2 = 1 . |
(2.26) |
||||
|
|
|
|
|||||||||
Равенство (2.23) эквивалентно тому, что H (0)= 1 . Тогда из (2.26) следует, что H (π )= 0 .
Эти свойства последовательности hn будут использованы позднее. А пока оставим на время теорию и перейдем к простейшему примеру множества масштабирующих функций, образующих L2 (R).
Рассмотрим множество сдвигов и растяжений единичной функции на
единичном интервале: |
|
|
|
|
φ(x) = 1, |
0 ≤ x < 1, |
(2.27) |
||
|
0, |
в остальных случаях. |
|
|
Так, базисные функции с коэффициентом масштаба –1 имеют вид |
|
|||
φ−1,n |
|
|
n / 2 ≤ x < (n +1)/ 2, |
|
(x) = |
2, |
(2.28) |
||
|
|
0, |
в других случаях. |
|
|
|
|
||
Базисная функция и соответствующая последовательность изображены на рис. 2.3.
35