1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
2 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
0 |
1 |
2 |
|
||||||||||||||||||||||
0.5 |
|
|
(a) |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(б) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
(в) |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
1 |
|
−π |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
−π |
0 |
|
|
π |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
(г) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(д) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(е) |
|
|
|
||||
Рис. 2.3. Пример масштабирующей функции: (а) φ(x); (б) φ0,1 (x); (в) φ1,0 (x);
(г) последовательность hn ; (д) H (ω ) ; (е) arg(H (ω ))
2.2.1. Представление функций при помощи вейвлетов
При рассмотрении рис.2.2 видно, что область L2 (R) построена из множе-
ства «колец», которые есть разность между двумя соседними пространствами. Эти разностные пространства обозначаются через Wm и определяются
как ортогональные дополнения областей Vm до Vm−1 :
|
Vm−1 = Vm Wm , |
Wm = {0}, |
|
|
= L2 (R). |
|
|
|
!Wm |
(2.29) |
|||
|
|
m Z |
|
m Z |
|
|
Пусть |
ψ (x) = ψ 0,0 (x) есть |
базисная |
функция |
W0 . |
Так как |
|
ψ 0,0 (x) W0 |
V−1 , можно записать |
|
|
|
|
|
|
ψ 0,0 (x) = 21/ 2 ∑ gnφ−1,n (x) |
|
(2.30) |
|||
|
|
n |
|
|
|
|
для некоторой последовательности gn . По аналогии с ранее рассмотренным множеством функций φm,n (x) определим семейство вейвлет-функций:
ψ m,n (x)= 2−m / 2ψ (2−m x − n). |
(2.31) |
36 |
|
Функции ψ m,n (x) идентичны полученным в разделе 2.1 после дискретизации (выражение (2.8)). Параметр a0 в (2.9) в данном случае равен 2. Эти функции образуют ортонормированный базис L2 (R) .
Существуют строгие зависимости между ψ (x),φ(x), gn ,hn . Вначале получим формулу, аналогичную (2.22). Перепишем (2.30) для частотной области:
ω |
ω |
|
|
(2.32) |
||
Ψ(ω )= G |
Φ |
2 |
, |
|
||
|
2 |
|
|
|
|
|
заменим Φ(ω ) бесконечным произведением (2.22) и получим |
|
|||||
ω |
∞ |
ω |
|
|||
Ψ(ω )= G |
∏H |
|
|
. |
(2.33) |
|
2 |
m |
|||||
2 |
m=2 |
|
|
|
|
|
Отметим, что |
Ψ(ω ) пропорционально |
бесконечному |
произведению |
||
H (2−m ω ), а не G(2−m ω ), так же, как и в (2.30), вейвлет ψ (x) |
был выражен в |
||||
виде линейной комбинации масштабирующих функций. |
|
gn и hn . |
|||
Теперь получим выражения, связывающие последовательности |
|||||
Так как Wm есть ортогональное дополнение |
Vm , функции ψ 0,0 (x) |
и φ0,0 (x) |
|||
должны быть ортогональны, и из (2.18) и (2.30) следует, что |
|
|
|||
0 = |
φ0,0 ,ψ 0,0 = 2∑∑hn g p φ−1,n ,φ−1, p = 2∑hn gn . |
(2.34) |
|||
|
n |
p |
n |
|
|
Легко увидеть, что выбор |
|
|
|
|
|
|
gn |
= (−1)n h−n+2t+1 |
|
(2.35) |
|
будет корректен для всех t Z . Эквивалент (2.35) в частотной области представляется в виде
G(ω ) = −H (− ω + π )e−iω (2t+1) . |
|
(2.36) |
||||||
С учетом этого из (2.32) получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ψ(ω ) = −e |
iω / 2 |
|
− |
ω |
|
ω |
|
(2.37) |
|
H |
2 |
+ π Φ |
, |
||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
37
где без потери общности выбрано t = 0 . |
(x) и последовательность |
gn имеют |
Наконец отметим, что и функция ψ |
||
нулевое среднее. Этот факт легко проверить, подставляя ω = 0 |
в (2.37) и |
|
(2.36) и используя свойство H (π )= 0 : |
|
|
∞ |
|
|
Ψ(0)= ∫ψ (x)dx = 0 |
(2.38) |
|
−∞ |
|
|
и |
|
|
G(0)= ∑ gn = 0 . |
(2.39) |
|
n |
|
|
Определение функций вейвлетов позволяет нам записать любую функцию f (x) L2 (R) в виде суммы проекций на Wj , j R :
∞ |
(x) , |
|
f (x) = ∑ej |
(2.40) |
|
j=−∞ |
|
|
где |
|
|
ej (x)= ∑ ψ j ,k (x), f (x) ψ j,k (x). |
(2.41) |
|
k
Если осуществлять анализ функции вплоть до некоторого масштаба m , то f (x) будет представлена суммой ее грубой аппроксимации fm (x) Vm и множества деталей ej (x) Wj :
|
m |
(x)= |
|
|
f (x)= f m (x)+ ∑ e j |
|
|
||
|
j =−∞ |
|
|
|
= ∑ |
|
|
m |
(x), f (x) ψ j ,k (x)= |
φm,n (x), f (x) φm,n (x)+ ∑ ∑ ψ j ,k |
||||
n |
|
|
j =−∞ k |
|
|
|
m |
(x). |
|
= ∑ cm,nφm,n (x)+ ∑ d j ,kψ j ,k |
(2.42) |
|||
n |
|
j =−∞ |
|
|
В качестве примера семейства вейвлет-функций, образующих ортонормальный базис пространства L2 (R) , на рис.2.4 показан вейвлет, соответст-
вующий масштабирующей функции рис.2.3. Это семейство вейвлетов называется вейвлетами Хаара.
38
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-1 |
|
-1 |
|
|
|
|
|
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
2 |
0 |
1 |
2 |
|
|
|
0 |
1 |
2 |
|
(a) |
|
|
(б) |
|
|
|
|
|
(в) |
|
0.5 |
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-0.5 |
|
|
|
|
|
|
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
−π |
|
0 |
|
|
π |
−π |
|
0 |
π |
|
(г) |
|
|
(д) |
|
|
|
|
(е) |
|
|
Рис. 2.4. Пример вейвлет-функции: (а) ψ (x); |
(б) ψ 0,1 (x); |
(в) ψ1,0 (x); |
|
||||||||
|
(г) последовательность |
gn ; |
(д) |
G(ω ) ; |
(е) |
arg(G(ω )) |
|
|
|||
Из теории известно, что в случае ортогональных вейвлетов последовательности hn и g n не могут быть симметричными, если длина каждой из них
превышает 2. Однако во многих приложениях свойство симметричности является важным. В этом случае отказываются от требования ортогональности и на вейвлет-функции налагают менее строгое требование биортогональности. Выражения для биортогонального кратномасштабного анализа аналогичны выписанным выше и здесь не приводятся.
2.3.Вейвлет-ряды дискретного времени
Вбольшинстве приложений мы имеем дело с дискретными сигналами. Поэтому с точки зрения практики представляют интерес дискретные аналоги CTWT и CTWS, которые преобразуют дискретный сигнал в непрерывный и дискретный сигналы, соответственно. К сожалению, формулы для вейвлетпреобразования и рядов вейвлетов дискретного времени (DTWT и DTWS) нельзя получить простой дискретизацией соответствующих формул для непрерывного времени. Также невозможно определить кратномасштабный анализ для дискретных сигналов, так как не существует базисных функций, масштабированные и смещенные версии которых давали бы нам базис про-
39
странства L2 (R), пространства квадратично суммируемых последовательно-
стей бесконечной длины.
Попробуем вывести формулы для DTWS из формул кратномасштабного анализа раздела 2.2. В приложении 1 обобщены все формулы для вейвлетпреобразований и рядов. Там же даны для сравнения аналогичные формулы преобразования и рядов Фурье.
Пусть имеется некоторая непрерывная функция f0 (x) V0 . Наш дискрет-
ный сигнал cn представим как последовательность коэффициентов при мас- |
|
штабирующих функциях, по которым раскладывается |
f0 (x): |
f0 (x) = ∑c0,nφ0,n (x), |
(2.43) |
n |
|
где c0,n = cn . Другими словами, мы интерпретируем наш сигнал как последо-
вательность коэффициентов разложения, полученную в ходе кратномасштабного анализа функции f0 (x). Тогда мы можем вычислить аппроксима-
ции этой функции, принадлежащие пространствам V1 ,V2 ,.... Пространства
V−1 ,V−2 ,... не имеют значения при данной интерпретации. |
f0 (x) деком- |
|
Согласно концепции кратномасштабного анализа функция |
||
позируется на две функции f1 (x) V1 и e1 (x) W1 : |
|
|
f0 (x) = f1 (x)+ e1 (x) = ∑c1,kφ1,k (x)+ ∑d1,kψ1,k (x). |
(2.44) |
|
k |
k |
|
Таким образом, получили две новые последовательности c1,n и d1,n . Этот процесс может быть продолжен по f1 (x), и функция f0 (x) (а также и последовательность cn ) будет представлена совокупностью коэффициентов
dm,n , m Z + ,n Z .
Итак, концепция DTWS определена. Однако вычисления пока зависят от непрерывных функций φ(x) и ψ (x). Поэтому покажем, как вычисления
DTWS могут быть выполнены с использованием операций только над дискретными сигналами.
С учетом того, что масштабирующая функция образует базис соответствующего пространства, из (2.20) можно получить
40
c1,k = φ1,k (x), f1 (x) = φ1,k , f 0 (x)− e1 (x) = φ1,k (x), ∑ c0,nφ0, n (x) =
= ∑ c0,n φ1,k (x),φ0,n (x) |
n |
|
= 21 / 2 ∑ c0,n hn +2k . |
(2.45) |
|
n Z |
n Z |
|
Так что оказывается возможным итеративное вычисление коэффициентов |
||
cj ,k и d j ,k без непосредственного использования функций φ(x) |
и ψ (x). По |
|
аналогии с (2.44) можно записать для произвольного j
c
d
j ,k |
= 21/ 2 ∑cj −1,n hn+2k , |
(2.46) |
|
n |
|
j ,k |
= 21/ 2 ∑c j−1,n gn+2k , |
(2.47) |
|
n |
|
получив, таким образом, полностью дискретный процесс декомпозиции. Последовательности hn и gn называются фильтрами. Отметим, что cj ,k и d j ,k
имеют «половинную» длину по сравнению с cj −1,k (хотя, конечно, на данном
этапе все последовательности бесконечны). Таким образом, не вводится избыточности.
Обратный процесс заключается в получении c j−1 из c j и d j :
c j −1,n = φ j −1,n , f j −1 (x) = φ j −1,n (x), f j (x)+ e j (x) = |
|
|
= φ j −1,n , ∑c j ,k φ j ,k (x) + φ j −1,n , ∑ d j ,kψ j ,k (x) = |
|
|
k |
k |
|
= ∑ c j ,k φ j −1,n ,φ j ,k (x) +∑ d j ,k φ j −1,n ,ψ j ,k (x) = |
|
|
k |
k |
|
= 21 / 2 ∑ c j ,k hn +2 k |
+ 21 / 2 ∑ d j ,k g n +2 k . |
(2.48) |
k |
k |
|
Отметим, что в данном случае суммирование производится по другим переменным по сравнению с формулами (2.45) и (2.46). Длина последовательности c j−1 вдвое больше длины последовательности c j или d j .
Подставляя (2.45) и (2.46) в (2.47), получаем следующие ограничения на фильтры hn и gn :
41