Глава 4
СРАВНЕНИЕ ВЕЙВЛЕТ-ФИЛЬТРОВ С ФИЛЬТРАМИ, ПРИМЕНЯЕМЫМИ ПРИ СУБПОЛОСНОМ КОДИРОВАНИИ
Проводя в данной главе сравнение двух типов фильтров, мы ограничимся рассмотрением фильтров с конечной импульсной характеристикой, так как они наиболее часто применяются при кодировании изображений. В разделе 4.1 будут рассмотрены свойства идеального фильтра. Процедура построения реального фильтра заключается в минимизации отклонения заданного числа свойств от свойств идеального фильтра. При конструировании обычных и вейвлет-фильтров для этой минимизации используются различные критерии, как будет показано. Под обычными в этой главе понимаются фильтры, используемые в субполосном кодировании (см. главу 1).
В разделе 4.2 приведен пример расчета обычного фильтра. За основу взяты фильтры Джонстона, которые нашли применение во многих приложениях. Некоторые из этих фильтров дают низкое объективное качество кодирования изображений. Пример расчета вейвлет-фильтров приведен в разделе 4.3. Различия между обычными и вейвлет-фильтрами приведены в разделе 4.4.
4.1. Критерии для расчета фильтров
При субполосном кодировании применяемые фильтры должны строго разделить частотную область сигнала на непересекающиеся участки. Ампли- тудно-частотная характеристика (АЧХ) идеального фильтра низких частот для двухполосного банка фильтров приведена на рис.4.1(а). Такую прямоугольную характеристику может иметь фильтр бесконечной длины, что неприменимо. Существует несколько методов получения импульсной характеристики фильтра конечной длины, например применение окна. После такой операции АЧХ фильтра аппроксимирует идеальный прямоугольник (рис.4.1(б)).
Для оценки качества аппроксимации существует ряд критериев. Почти все они зависят от четырех параметров, показанных на рис.4.1(б):
δp - неравномерность в полосе пропускания;
δs - неравномерность в полосе задерживания;
ωp - граничная частота полосы пропускания;
ωs - граничная частота полосы задерживания.
61
|
|
1.25 |
|
|
H (ω ) |
|
1.00 |
|
|
|
|
0.75 |
|
|
|
|
0.50 |
|
|
|
|
0.25 |
|
|
|
|
0.00 |
|
|
|
|
0 |
π / 2 |
π |
|
|
|
(а) |
|
|
|
1.25 |
|
|
H (ω ) |
1.00 |
δ p |
|
|
|
|
0.75 |
|
|
|
|
0.50 |
|
|
|
|
0.25 |
|
|
|
|
|
δ s |
|
|
|
0.00 |
|
|
|
|
0 |
ω pωs |
π |
|
|
|
(б) |
|
|
Рис. 4.1. Амплитудно-частотная характеристика: (а) идеального фильтра; |
|||
|
|
(б) аппроксимация идеальной АЧХ реальным фильтром |
|
|
Малое значение δ p означает умножение гармоник сигнала на равные коэффициенты. Малое значение δ s предотвращает появление в фильтрованном
сигнале высокочастотных составляющих, которые могут появиться за счет элайзинга (см. главу 1). Элайзинг отрицательно влияет на визуальное качество изображения. Как отмечалось в главе 1, и в системах анализа-синтеза с подавлением элайзинга квантование коэффициентов может привести к его
62
появлению. Граничные частоты полосы пропускания должны быть как можно более близки к π / 2 .
При проектировании фильтров часто задаются тремя другими критериями, зависящими от вышеперечисленных. Это – затухание в полосе пропускания Ap = −20lg(1 − δ p ), минимальное ослабление сигнала в полосе задержи-
вания As = −20lgδ s и полоса перехода, определяемая как ω = ωs − ω p .
Какой критерий важнее в каждом конкретном случае, решается в зависимости от приложения.
При расчете вейвлет-фильтров не пытаются аппроксимировать прямоугольную характеристику. Для построения вейвлет-фильтра важным является степень плоскости характеристики около частоты ω = π , которая зависит от числа нулей низкочастотного фильтра на частоте ω = π . Как обсуждалось в разделе 2.5, число нулей связано со степенью гладкости соответствующих функций. На рис.4.2 показана типичная характеристика вейвлет-фильтра.
Наконец, имеются еще две характеристики фильтров, которые необходимо учитывать при построении фильтров обоих типов. Во-первых, сумма коэффициентов фильтра, которая должна быть равна 1:
∑hn = 1 . |
(4.1) |
n |
|
При расчете вейвлет-фильтров равенство (4.1) выполняется автоматически. Для обычных фильтров оно выполняется в общем случае лишь приближенно. Чем больше отличается сумма коэффициентов от 1, тем больше смещение функции передачи.
1.25
H(ω ) 1.00
0.75
0.50
0.25
0.00
0 |
π / 2 |
π |
Рис. 4.1 Типичная частотная характеристика вейвлет-фильтра
63
Вторым критерием является энергия коэффициентов, которая должна быть равна 0,5:
∑ hn2 = 0,5 . |
(4.2) |
n |
|
Если не выполняется этот критерий, субполосы содержат разное количество энергии сигнала. Следовательно, ошибки квантования в одной субполосе будут более значимыми, чем в другой.
На этом обсуждение свойств фильтров закончим. В следующих двух разделах приводятся два различных примера построения фильтров.
4.2. Построение обычных фильтров: фильтры Джонстона
Фильтры Джонстона популярны во многих областях обработки сигналов, в том числе и в кодировании изображений. Наиболее важным критерием построения этих фильтров является минимальная ширина полосы перехода.
Будем использовать те же обозначения, что и в разделе 3.2. Выход двухканальной схемы анализа-синтеза связан с входом равенством (3.4):
T (ω )= [H (ω )G(ω + π )− G(ω )H (ω +π )]e iω ( p +r ) , |
(4.3) |
где T(ω ) - функция передачи; p и r - смещения фильтров; H(ω ) и G(ω ) -
НЧ и ВЧ фильтры, соответственно. Однако Джонстоном были выбраны другие соотношения между этими фильтрами, чем в выражении (3.7). При его выборе теряется свойство полного восстановления, если длина фильтра превышает 2. ВЧ фильтр становится отражением НЧ фильтра относительно частоты, вчетверо меньшей частоты дискретизации, т.е.
G(ω ) = H(ω + π ). |
(4.4) |
Поэтому эти фильтры получили название квадратурно-зеркальных (КЗФ). Тогда функция передачи будет
T (ω )= [H (ω )H (ω )− H (ω + π )H (ω + π )]eiω ( p +r ) . |
(4.5) |
Если фильтры симметричные и имеют четную длину, то |
|
||||||||
T (ω )= [ |
|
H (ω ) |
|
2 + |
|
H (ω + π ) |
|
2 ]e iω (1− L + p + r ) , |
(4.6) |
|
|
|
|
||||||
64 |
|
|
|
||||||
где L - длина фильтра hn . Таким образом, все фильтры в блоке КЗФ зависят
от одного фильтра. Так как фильтры симметричные, то фазовые искажения отсутствуют, и фаза может быть равной нулю при соответствующем выборе смещений p и r .
Остаются только амплитудные искажения, которые должны быть минимизированы. Нулевые искажения возможны лишь в случае L = 2 . Джонстон наложил ограничение на полосу перехода. Тогда коэффициенты фильтра оптимизируются путем минимизации функции ошибки
π / |
2 |
π |
|
|
|
|
||
C = 2 ∫ |
(T (ω )−1)dω +α ∫ |
|
H 2 |
(ω ) |
|
dω , |
(4.7) |
|
|
|
|||||||
0 |
|
ω s |
|
|
|
|
||
где параметр α взвешивает ослабление в полосе задержки. Равенство (4.7) вычисляется в дискретном виде путем применения 512-точечного БПФ и замены интеграла суммой.
Джонстоном были разработаны фильтры различных длин. Однако для кодирования изображения длинные фильтры неприемлемы, так что мы рассмотрим только фильтры, длина которых не превышает 32.
Джонстон разработал фильтры для 5 полос перехода. Комбинации этих
полос с длинами фильтров показаны в табл.4.1, вместе с выбором параметра
α .
В зависимости от ширины полосы перехода различают пять классов фильтров, обозначаемых буквами A, B, C, D и E, как в таблице. Обычно фильтры Джонстона обозначаются следующим образом: ‘joh16C’ означает фильтр Джонстонa класса С длиной 16.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 4.1 |
|
|
|
|
Длина, полоса перехода и параметр α фильтров Джонстонa |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ω |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.14 |
0.10 |
|
0.0625 |
0.43 |
0.23 |
|
|
|
|
|
(A) |
(B) |
|
(C) |
(D) |
(E) |
|
|
|
|
8 |
α = 1 |
- |
|
- |
- |
- |
|
|
L |
|
12 |
α = 1 |
α = 1 |
|
- |
- |
- |
|
|
|
|
16 |
α = 1 |
α = 1 |
|
α = 1 |
- |
- |
|
|
|
|
24 |
- |
α = 1 |
|
α = 1 |
α = 1 |
- |
|
|
|
|
32 |
- |
- |
|
α = 2 |
α = 2 |
α = 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 Зак.105 |
|
|
|
65 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||