Глава 8
МУЛЬТИВЕЙВЛЕТЫ
Как было показано в главе 2, вейвлеты тесно связаны со схемами субполосного кодирования. Свойства соответствующих фильтров хорошо изучены. В частности, известно, что невозможно построить ортогональный линейнофазовый блок КИХ фильтров. Следовательно, не существует ортогональных симметричных вейвлетов с компактной областью определения. Вместе с тем, во многих приложениях обработки сигналов наличие такого базиса было бы желательно.
Одной из причин интереса к мультивейвлетам является возможность получения симметричного ортогонального базиса. Мультивейвлеты получаются за счет отказа от времянезависимости характеристик фильтров. Как будет показано, такие конструкции приводят к матричным уравнениям масштабирования, аналогичным (2.18). Кроме того, мультивейвлеты обладают хорошими аппроксимационными свойствами, что важно во многих приложениях обработки сигналов.
В настоящей главе даны основы теории мультифильтров, итерирования мультифильтров, показана их связь с мультивейвлетами. Также рассмотрены основные проблемы практического применения мультивейвлетов при обработке сигналов и некоторые пути их разрешения.
8.1.Блоки мультифильтров
8.1.1.Основы теории блоков фильтров, изменяющихся во времени
Под изменяющимися во времени блоками фильтров понимаются такие блоки, в которых характеристика фильтра периодически изменяется во времени. Вначале рассмотрим блок фильтров синтеза, то есть интерполятор со следующим за ним фильтром. Для простоты предположим, что характеристика фильтра состоит всего из двух характеристик. Тогда во временной области результирующий оператор запишется в виде
116
|
|
|
|
|
|
c[0] d[0] |
|
|
|
|
|
|
||
|
c[1] |
d[1] |
|
|
|
c[2] |
d[2] |
|
|
T = |
, |
(8.1) |
||
|
c[3] d[3] |
|
|
|
|
|
|
||
|
c[4] d[4] c[0] |
d[0] |
|
|
|
c[5] d[5] c[1] |
|
|
|
|
d[1] |
|
||
где c[k] и d[k] - две импульсные характеристики фильтра-интерполятора. Ясно, что если такой фильтр применить к некоторому сигналу x[n], то чет-
ные и нечетные отсчеты будут как бы проходить через разные фильтры. То есть из одной последовательности получится две субпоследовательности. Запишем полифазное разложение для входного, выходного сигналов, а также для обеих субхарактеристик фильтра:
X (z)= X 0 (z 2 )+ z −1 X 1 (z 2 ), |
(8.2) |
||
Y (z)= Y |
0 |
(z 2 )+ z −1Y (z 2 ), |
(8.3) |
|
1 |
|
|
C(z)= C0 (z 2 )+ z −1C1 (z 2 ), |
(8.4) |
||
D(z)= D0 (z2 )+ z−1D1 (z2 ). |
(8.5) |
||
Теперь полифазные компоненты Y (z) могут быть выражены через полифаз-
ные компоненты X (z): |
|
|
|
|
Y0 |
(z) |
C |
0 (z) |
|
|
|
= |
|
(z) |
Y |
(z) |
C |
||
1 |
|
|
1 |
|
D0 |
(z) |
|
X 0 |
(z 2 ) |
(8.6) |
|
|
|
|
. |
|
D1 (z) |
|
X 1 (z 2 ) |
|
||
Обозначим вышеприведенную матрицу T(z). Ее размер зависит от количества различных импульсных характеристик или периода. В особом случае, когда фильтр является инвариантным во времени (то есть d[k]= c[k − 2]),
C |
(z) |
(1 z−1 ). |
(8.7) |
T(z)= 0 |
|
||
C |
(z) |
|
|
1 |
|
|
|
117
В целях упрощения записи объединим два НЧ фильтра c[n] и d[n] в единую матрицу коэффициентов мультифильтра:
c[2k] |
c[2k + 1] |
(8.8) |
M[k]= |
. |
|
d[2k] |
d[2k + 1] |
|
|
|
|
Тогда z -преобразование НЧ мультифильтра анализа можно представить в виде
H0 (z)= Tt (z)= ∑M[k]z−k . |
(8.9) |
k |
|
Аналогично выписываются выражения для H1 (z), G0 (z) и |
G1 (z), то есть, |
соответственно, для ВЧ мультифильтра анализа, НЧ и ВЧ мультифильтров синтеза. Далее, определив входной сигнал как X(z)= [X 0 (z), X1 (z)]t , получим известное равенство для выходного сигнала блока фильтров:
X(z)= 1 {[G 0 (z)H 0 (z)+ G1 (z)H1 (z)]X(z)+ |
|
||
2 |
(z)H 0 |
(− z)+ G1 (z)H1 (− z)]X(− z)}. |
|
+ [G 0 |
(8.10) |
||
Отметим, что в отличие от скалярного случая, порядок следования сомножителей является важным, так как матричное произведение не обладает свойством коммутативности.
Из верхней строки (8.10) получим условие полного восстановления
[G0 (z)H0 (z)+ G1 (z)H1 (z)]= 2I2 ,
а из нижней строки – условие отсутствия элайзинга:
[G0 (z)H0 (− z)+ G1 (z)H1 (− z)]= O2 .
Введем понятие модуляционной матрицы
Hm |
H0 (z) |
H0 |
(− z) |
|
(z)= |
(z) |
|
. |
|
|
H1 |
H1 (− z) |
||
Тогда появляется возможность объединить эти два условия в одно:
118
(8.11)
(8.12)
(8.13)
[G0 (z)G1 (z)]Hm (z) = 2[I2 ,O2 ]. |
(8.14) |
Может быть показано, что решением является: |
|
G0 (z) = 2U−1 (z), |
(8.15) |
G1 (z) = −2U−1 (z)H0 (− z)H1−1 (− z), |
(8.16) |
где |
|
U(z) = H0 (z)- H0 (− z)H1−1 (− z)H1 (z). |
(8.17) |
Свойство ортогональности блока фильтров означает, что оператор (8.1) должен быть унитарным, или Tt T = I . Отсюда следует, что
|
|
|
|
~ |
~ |
(8.18) |
|
|
|
|
|
Hm (z)Hm (z) = Hm (z)Hm (z) = I2 , |
|||
~ |
t |
(z |
−1 |
) называется парасопряженной матрицей для матрицы H(z). |
|||
где H(z) = H |
|
||||||
Тогда получаем уравнения: |
|
|
|
||||
|
|
|
|
~ |
~ |
(− z) = I2 , |
(8.19) |
|
|
|
|
H0 (z)H0 |
(z)+ H0 (− z)H0 |
||
|
|
|
|
~ |
~ |
|
(8.20) |
|
|
|
|
H1 (z)H1 (z)+ H1 (− z)H1 (− z) = I2 , |
|||
|
|
|
|
~ |
~ |
(− z) = O2 , |
(8.21) |
|
|
|
|
H0 (z)H1 |
(z)+ H0 (− z)H1 |
||
|
|
|
|
~ |
~ |
(− z) = O2 . |
(8.22) |
|
|
|
|
H1 (z)H0 |
(z)+ H1 (− z)H0 |
||
Отсюда можно получить условия для обеспечения полного восстановления и отсутствия элайзинга:
~ |
|
(z) , |
(8.23) |
G0 (z)= H0 |
|||
~ |
(z). |
(8.24) |
|
G1 (z) = H1 |
|||
119 |
|
|
|