для кусочно-регулярных сигналов, которые описываются пространствами Бесова.

9.2.2. Оптимальный относительный размер интервала квантования

Для оптимизации квантования необходимо выбрать размер интервала возле нуля [− T ,T ] относительно других интервалов квантования . Для ми-

нимизации искажения D необходимо найти θ = T , такое что для фиксиро-

Можно показать, что справедлива следующая теорема.

Теорема 2. Предположим, что x(z) удовлетворяет условиям (9.21)-(9.24)

M≤ ε и M ≥ 1 , то оптимальное отношение

Nε

9.2.3. Практическая проверка точности аналитических выражений

Известно, что вейвлет-базис эффективно аппроксимирует кусочнорегулярные функции малым числом ненулевых коэффициентов. Так как изображения часто имеют кусочно-регулярные структуры, вейвлетпреобразование с успехом применяется в вейвлет-кодеках изображения. Основным положением теоремы 1 является то, что сортированные коэффициенты разложения x(z) сигнала f в базис G имеют рациональный спад.

Известна модель изображения, основанная на пространствах Бесова.

регулярное изображение f, которое является регулярным внутри регионов {Ωi }1≤k ≤K , делящих [0, N ]2 . Это изображение имеет неоднородности вдоль

141

границ Ωi , которые имеют конечную длину. Можно доказать, что сортированные вейвлет-коэффициенты убывают как Ck −γ , с γ = 1 . Эта модель при-

менима к достаточно низкочастотным изображениям (типа всем известного изображения LENA), тогда как неоднородности высокочастотных изображений приводят к изменению экспоненты γ . Для изображений k ≤ N поэтому

возможна нормировка z = k и сравнение убывания x(z) с z −γ при увеличе-

N

нии z в диапазоне [0,1]. Условие (9.21) предполагает медленное изменение γ , как функции от log2 z .

Можно выполнить практическую проверку точности аналитической формулы, даваемой теоремой 1. Для проверки используется вейвлет-кодек с равномерным квантователем, интервал возле нуля [− T ,T ] которого вдвое боль-

ше остальных интервалов, то есть θ = T = 1 . Это является стандартным вы-

бором для большинства вейвлет-кодеков изображения. Карта значений сжи-

мается кодером длин серий. Отношение D1 было вычислено для кодирова-

D0

ния тестового изображения LENA. На рис.9.1 это значение сравнивается с

теоретической оценкой (9.26) без учета коэффициента ε : K = 2γ M − 1 . На-

12θ 2

клон γ M в (9.28) вычисляется из сортированных вейвлет-коэффициентов x(z) . Как видно из рис.9.1, K точно аппроксимирует истинное значение D1

На рис.9.2 показано значение R1 , вычисленное из энтропии квантован-

M

ных вейвлет-коэффициентов. Теоретическая оценка (9.27) также показана на рисунке. Кривые близки друг к другу, что подтверждает точность вычислений.

142