Мальханов - Общая Физика
.pdfM = r×F, dL/dt = M dL = M dt (∆L = M∆t), то есть направления M и ∆L совпадают. В результате вышло так, что L и ∆L имеют различные направления. Тогда
L′ = L + ∆L
L′ - результирующее направление момента импульса совпадает при этом с новым направлением оси гироскопа, а, таким образом, и с ω′, так как угол отклонения задан актуально маленьким.
Вывод: при попытке повернуть ось гироскопа вокруг оси О′О′ мы получаем приращение ∆L момента импульса перпендикулярное направлению приложенных сил
∆ω O ∆L ω′ω
L′L F1 O′′
M
O′ |
O′ |
O′′ F2
O
61
ГЛАВА 3 СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
§ 1 Постулаты специальной теории относительности
Ивпервые в статье А. Эйнштейна в 1905 г “К электродинамике движущихся тел”. СТО разработана для инерциальных систембыли изложеныдеи специальной теории относительности (СТО)
отсчета. Сформулируем два постулата, на которых основана специальная теория относительности:
1.Принцип относительности Законы природы одинаковы во всех инерциальных системах отсчета
(это приводит к тому, что эталоны длины одинаковы и отсутствует понятие одновременности событий - и то и другое относительно по отношению к данной инерциальной системе отсчета).
2.Факт предельной скорости распространения взаимодействий Существует предельная скорость распространения взаимодействий -
скорость света в пустоте (вакууме), и она не зависит от инерциальной системы отсчета, то есть одинакова во всех инерциальных системах отсчета
Овтором постулате
i.Существует максимально возможная в природе скорость.
ii.Это скорость света в вакууме с = 299792458,0 ± 1,2 м/с 3 108 м/с (по измерениям независимо длины волны λ и частоты ν в 1972г), ошибка 10- 5 нм, видимый свет λ ≈ 1 мкм = 1000 нм.
iii.Она, эта скорость, одинакова в любой инерциальной системе отсчета.
61
Впервые проблема возникла, когда Максвелл и Лоренц (датский) написали уравнения электродинамики, в которые вошла скорость электромагнитного взаимодействия (скорость света). Она не должна была быть равной бесконечности. В современной экспериментальной физике неизвестна скорость большая, чем скорость света в пустоте - предельная скорость взаимодействий.
Классическая механика основана на преобразованиях Галилея, в которых
v′ = v ± v.
Согласно же новым постулатам получается, что
с′ = с + v = с с′ = с (?).
Это утверждение нетривиально и требует основательного обоснования. Рассмотрим эксперимент Майкельсона - Морли. Схема опыта:
Зеркало С
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v З ем л и |
|
||
|
|
|
l |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
П олуп розрачн ая |
|
|
Зерк ало |
|||||||
И сточн и к |
|
|
|
|
|
|
п ласти н а |
|
|
Е |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
св ета |
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Здесь и н |
|
терф ерен ц и я |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
62
Вокруг установки находится “неподвижный эфир”, а установка движется вместе с Землей со скоростью v Земли. По тем временам поиски неподвижного эфира эквивалентны ныне поискам неподвижной системы отсчета.
Формулировка какого-либо закона, зависящего от скорости, не остается инвариантной по отношению к инерциальным системам координат. Тогда когда a и F , к примеру, - инвариантны, будучи выраженными в другой системе координат (по Галилею). В связи с этим основные законы электродинамики и, в частности, оптики перестают быть инвариантными по отношению к группе Галилеевых преобразований, так как эти законы зависят от скорости распространения света. Люди будучи идеалистами придумали эфир, как носитель света.
Итак, прибор вместе с Землей движется относительно неподвижного эфира. Ход лучей либо , либо || по отношению соответственно к зеркалам С и Е. Если разность фаз - го и || - го лучей в точке интерференции не измениться, то на интерферометре должно получиться усиление света.
К чему приведет расчет, если учитывать неподвижный эфир? Подсчитаем время прохождения через эфир лучей света
перпендикулярных (к зеркалу С) и параллельных (к зеркалу Е) направлению перемещения экспериментальной установки (Земли по отношению к эфиру) со скоростью с туда и обратно.
1. || (к зеркалу Е)
t1- время туда, t2 - время обратно v Земли ≡ v
63
сt1 = l + vt1 t1 = l/(c-v), ct2 = l - vt2 t2 = l/ (c+ v)
t1 + t2 = [l(c+ v) +l(c - v)]/(c2 - v2) = 2lc/(c2 - v2) = (2l/c)/(1 - v2/c2)
2. (к зеркалу С)
Можно было бы рассудить проще. t3 - время туда и обратно считать одинаковым, тогда
2t3 = 2l/c .
Если же учесть движение в эфире, то получим треугольник для хода лучей света до зеркала С и обратно
ct3
l
vt3
(ct3)2 = l2 + (vt3)2 t32(c2 - v2) = l2
t3 = l / (c2 - v2)1/2, 2t3 = (2l/c) / (1 - v2/c2).
То есть, времена t1 + t2 и 2t3 различаются, следовательно лучи не обязательно должны приходить в фазе в точку интерференции и давать усиление. Эксперименты при всех вариациях давали только усиление света. Следовательно, не было обнаружено преимущественной системы отсчета - неподвижного эфира, например, и следовательно соблюдается принцип относительности для скорости света - в разных инерциальных системах отсчета она одинакова и
с′ = с + v = с.
Назовем другие эксперименты, выполненные с той же целью.
64
1. Кеннеди, Торндайк 1932г.
На интерферометре Майкельсона проводились непрерывные измерения в течение полугода тогда, когда Земля переходила в диаметрально противоположную точку своей орбиты.
2. Бонч-бруевич, Молчанов 1956г.
Скорость света от левого и правого краев Солнца (V отн. = 2,3·2 = 4,6 км/с). Обе скорости совпали с точностью до 20%
3. Саде. Опыт на γ – квантах. Описан в статье Phys. Rev. Letters, 10, 271, 1963г
Движущийся изотоп С12 со скоростью 0,5с и неподвижный О16 излучают на наблюдателя. В обоих случаях скорость света с точностью до 10% оказалась одинаковой.
§ 2 Преобразования Лоренца (1904г)
Излагается по сборнику статей А. Эйнштейна "Физика и реальность". ““О специальной и общей теории относительности”, общедоступное изложение, приложение 1, простой вывод преобразований Лоренца”.
65
Дано:
с = cst + принцип относительности (в каждой системе отсчета все происходит одинаково).
Система К′ движется равномерно и Прямолинейно относительно К вдоль оси x со скоростью v . В начальный момент системы К и К′ совпадают.
Найти:
зависимости x′ (x, t) и t′ (x, t)
t =0, x = 0 |
y, y′ |
y |
y′ |
y =y′ |
|
||||
|
|
|
z = z′ |
|
x′ = 0 |
|
K |
|
|
|
|
|
K′ |
|
|
|
x, x′ |
|
x, x′ |
|
|
|
|
|
z, z′ |
|
z |
z′ |
|
|
|
|
Лучи света движутся слева направо и в обратном направлении относительно К и К′. Они пройдут в этих системах расстояния соответственно ct и ct′.
1. В положительном направлении оси x
x = сt, x – сt = 0 и x′ = сt′, x′ - сt′ = 0
осуществим связь систем через параметр
x′ - ct′ = λ (x - ct)
2. В отрицательном направлении оси x
-x = ct, x +ct = 0 и -x′ = ct′, x′ + ct′ = 0
также осуществим связь через параметр
66
x′ + ct′ = µ (x + ct)
Получили систему двух уравнений, выражающих штрихованные (искомые) координаты через не штрихованные координаты, которые даны по условию
x′ - ct′ = λ(x - ct)
x′ + ct = µ(x + ct).
Здесь предполагаем, что преобразования линейны, то есть коэффициенты λ и µ не являются какими-либо сложными функциями координат и времени (время можно считать одной из координат - четвертой для 3-х мерного пространства), так как пространство и время однородны, Решим систему относительно штрихованных координат. Для этого сложим и вычтем уравнения друг из друга. Вспомним, что наша цель - определить неизвестные коэффициенты как параметры, которые в дальнейшем позволят нам записать формулы преобразований координат.
Сложим ( + )
2x′ = λ(x - ct) + µ(x + ct) 2x′ = λx - λct + µx + µct 2x′ = x(λ + µ) – ct(λ - µ)
(λ +µ)/2 = a, (λ -µ)/2 =b
x′ = ax – bct.
Вычтем ( - )
- 2ct′ = λ(x - ct) - µ(x +ct ) -2ct′ = λx - λct - µx - µct 2ct′ = ct(λ + µ) - x(λ - µ)
ct′ = a ct - bx |
|
x′ = ax – b ct |
( 1 ) |
ct′ = a ct - bx |
( 2 ) |
С этого момента для определения параметров а и b используем следующие начальные и граничные условия:
67
1.Из ( 2 ) t′ = 0, act -bx = 0 t = bx/ac
2.Из ( 1 ) x′ = 0, ax – b ct = 0 x =bct/a = vt, здесь v= bс/a - скорость движения системы координат К′ относительно К
3.Из ( 1 ) t = 0, x′ = ax, x =x′/a
Рассмотрим уравнение (1), имеем:
x′ = ax – b ct = (используем начальное условие 1.) = ax – bc bx/ac =
(используем дважды начальное условие 2.)
=ax – v bx/c = ax – v (bx/c)(ca/ac) = ax – v (bc/a)(a/c2)x =
=ax - v2ax/c2 = ax(1 - v2/c2).
Получена связь штрихованной и не штрихованной координаты. В качестве второго уравнения берем начальное условие 3.
x′ = ax (1 - v2/c2)
x′ = ax
Получили систему, решение которой зависит от параметра а. Согласно принципа относительности, единица длины в обеих системах независима и равна, к примеру, 1 м, то есть с равным основанием
x′ = 1м и x = 1м x = x′ x = ax′
(подставим полученное выражение в первое уравнение системы), имеем
x′ = a2x′ (1 - v2/c2).
Отсюда и найдем коэффициент а, удовлетворяющий условию равноправия систем отсчета
68
a = 1/ (1 - v2/c2)1/2.
Чтобы найти b, вновь обратимся к граничному условию 2. v = bc/a b = v a/c
b = (v/c)/(1 - v2/c2)1/2 .
Подставим выражения, полученные для а и b в систему уравнений (1) , (2). Имеем
x′ = (x - vt)/(1 - v2/c2)1/2
t′ = (t - xv/c2)/(1 - v2/c2)1/2.
Получили преобразования Лоренца для координаты и времени.
Обратимся вновь к преобразованиям Галилея. Образуем интервал вида
s2 = (x2 - x1)2 + (y2 - y1)2 + (z2 - z1)2 - c2(t2 - t1)2
Теперь образуем такой же интервал в штрихованной системе координат. Учтем при этом преобразования по Галилею
x′ = x - vt, t′ = t, y′ = y, z′ = z s′2 = (x2 - vt - x1 + vt)2 + (y2 - y1)2 + (z2 -z1)2 - c2(t2 -t1)2 = s2
То есть преобразования Галилея инвариантны при условии равенства времен. Проверим преобразования Лоренца. Опустим y и z координаты, так как они
не преобразуются при замене координат
(x2′ - x1′)2 - c2(t2′ - t1′)2 = [(x2 - vt2 -x1 +vt1)2 - c2(t2 -x2v/c2 - t1 + + x1v/c2)2]/(1 - v2/c2) =
= [(x2 - x1)2 - 2(x2 - x1)(v t2 - vt1) + (vt2 - vt1)2 - c2(t2 - t1)2 + 2(t2 - t1)(x2v - x1v) 1/c2)(x2v
- x1v)2]/(1- v2/c2) = [(x2 - x1)2(1 - v2/c2) - (t2 - t1)2(c2 - v2)]/(1 - v2/c2) = (x2 - x1)2 - c2(t2 –
-t1)2.
69