Мальханов - Общая Физика

§ 3 Математический и физический маятники (в модели свободного гармонического осциллятора)

Вколебательной системе всегда надо определиться с внутренними силами.

Вмеханике под маятником понимают тело (как правило твердое) совершающее под действием силы тяжести (или за счет упругих сил) колебания около положения равновесия. Рассмотрим модель математического маятника. Определение.

Система, состоящая из невесомой, нерастяжимой нити с точечной массой на конце.

При отклонении маятника от положения равновесия (внешнем воздействии) по отношению к нему возникает вращательный момент (момент силы).

z

R = l Sinϕ

l ϕ

m g

x

M = r×F, L = r×p

Маятник колеблется в плоскости xy . На массу m в направлении - z действует сила тяжести mg. Момент этой силы относительно оси х равен mg R = mgl Sin ϕ. Момент этой силы имеет такое направление, что стремиться вернуть маятник в положение равновесия, поэтому моменту и угловому смещению надо приписывать противоположные знаки (также как квазиупругой силе и смещению). Распишем момент импульса относительно оси х

L x = p l, p = mv = m l dϕ/dt L x = - ml2dϕ/dt

90

Распишем момент силы относительно оси х

Mx = mgl Sinϕ - по определению, с другой стороны

Mx = dL x /dt = - ml2d2ϕ/dt2

Приравняем эти моменты

Вообще говоря, уравнение получилось трансцендентное, но для малых колебаний можно полагать ϕ Sinϕ

gϕ = - ld2ϕ/dt2 d2ϕ/dt2 + ϕg/l = 0, g/l = ω02

Таким образом, уравнение свелось уже к решенному нами ранее уравнению. Здесь период

T = 2π/ω0 = 2π(l/g)1/2.

Рассмотрим модель физического маятника

Вернемся еще раз к уравнению (*). В нем колеблющееся тело представлялось материальной точкой. Если же колеблющееся тело нельзя представить как материальную точку, то необходимо учитывать момент инерции тела. Это будет момент инерции относительно оси, проходящей через точку подвеса этого тела ml2 = I

mg l Sinϕ = - I d2ϕ/dt2 (также для малых колебаний) d2ϕ/dt2 + ϕmgl /I = 0

ω02 = mg l/I, T = 2π(I/mg l)1/2

91

На оси ОО′ есть точка ( С ) по другую сторону центра масс, при подвешении за которую колебания данного тела будут точно такими же как и в точке А. АС называют приведенной длиной.

О

А

ϕ

С

О′

Замечания:

1.Во всех формулах , полученных в данной главе ω0 не зависит от амплитуды - это важнейшее свойство гармонического осциллятора

2.Для нескольких возбуждающих сил по отношению к данной колебательной системе справедлив принцип суперпозиции.

§ 4 Затухающие колебания (затухающий гармонический осциллятор)

Введем для колебательной системы силу сопротивления. Теперь речь пойдет о свободных затухающих колебаниях, где затухание обусловлено силами сопротивления. Пусть

Fx = - r dx/dt = -r v,

то есть сила сопротивления прямо пропорциональна скорости в первой степени. Сила и скорость противоположны по направлению и

[r] = [F/v] = H /v/c = кг м с/с2 м = кг/с

92

Заметим, что линейная зависимость сил сопротивления от скорости часто реализуется на практике. Пример

··

движется в газе перпендикулярно своей плоскости при относительно низком давлении (когда можно не учитывать столкновение молекул между собой) действует сила F ~ v . Рассчитаем скорость движения молекул при комнатной температуре

v = (RT/M)1/2. Считаем для азота: M = 28 г/моль, R = 8,3 Дж/К моль, Т = 300°К

v ≈ 300м/с ≈ 1000 км/час

Такой скорости достигают самолеты, летающие в верхних слоях атмосферы. Итак, уравнение имеет вид

md2x/dt2 = - kx – r dx/dt md2x/dt2 + r dx/dt + kx = 0.

Это - однородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами, преобразуем

d2x/dt2 + 2βdx/dt + ω02x = 0 (2β = r/m, [β] = 1/ с)

двойка использована для того, чтобы короче в дальнейшем записать решение этого уравнения. Для решения используем уже известный прием.

x = e λ t, dx/dt = λ e λ t, d 2x/dt2 = λ2 e λ t,

подставим в уравнение

λ2e λ t + 2βλe λ t + ω02e λ t = 0, λ2 + 2βλ + ω02 = 0,

93

94

§ 5 Вынужденные колебания гармонического осциллятора

(с учетом сил сопротивления)

Пусть вынуждающая сила также изменяется по гармоническому закону

F = F0 Cos(ωt)

это не одноразовый импульс, а постоянно действующая во времени сила. Уравнение имеет вид

m d2x/dt2 = -kx – r dx/dt + F0 Cos(ωt), ω02 = k/m, r/m = 2β, F0/m = f0

d2x/dt2 + ω02x + 2βdx/dt = f0 Cos(ωt) (*)

Получили (*) - линейное, неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. Его решение ищется следующим образом: мы имеем общее решение однородного уравнения, построенного для данного без правой части.

x однородное = a e-βt Cos(ωt + α) (1).

Чтобы найти общее решение неоднородного уравнения, необходимо к (1) прибавить любое частное решение неоднородного уравнения (*). Пусть

x ч.н. = B eiωt.

Определим параметр B используя подстановку х ч н. в (*) dx/dt = B i ω eiωt, d2x/dt2 = -B ω2 eiωt

- Bω2eiωt + ω02 B eiωt + 2β B i ω eiωt = f0 eiωt B = f0/(ω02 - ω2 + 2iβω) x ч .н. = f0 eiωt/(ω02 - ω2 + 2iβω) (2).

95

Отступление (о комплексных числах)

y

x

ρy

α

x

z = x + i y, i 2 = - 1, Re z = x, Im z = y, |z| = (x2 + y2)1/2

В полярных координатах

ρ2 = x2 + y2, x = ρ Cosα, y = ρ Sinα, z = ρ(Cosα + i Sinα), tgα = y/x.

Справедливость формулы Эйлера -

e± iα = Cos α ± i Sin α

может быть доказана разложением в ряд, составляющих формулу функций

Sin α = α - α3/3! + α5/5! - α7/7! + ...

Cos α = 1 - α2/2! + α4/4! - α6/6! + ...

eiα = 1 + iα + (iα)2/2! + (iα)3/3! + ... .

например

(iα)3 = -i α3, (iα)6 = - α6, ..., Im z = Sin α, Re z = Cos α

96

Представим комплексный знаменатель частного решения (2) неоднородного уравнения через тригонометрические функции

x = ω02 - ω2, y = 2βω tgϕ = y/x = 2βω/(ω02 - ω2), ϕ = arc tg [2βω/(ω02 - ω2)],

ρ= (x2 + y2)1/2 = [(ω02 + ω2)2 + 4β2ω2]1/2

xч.н. = f0 eiωt/ρeiϕ = f0ei(ωt - ϕ)/ρ.

Составим общее решение неоднородного уравнения

x о..н. = x однород. + х ч. н. = a e-βt Cos(ωt + α) + [f0 ei(ωt - ϕ)/ρ].

Будем рассматривать решения в моменты времени, достаточно удаленные от момента t = 0, тогда с достаточной степенью точности

x о.н. f0 ei(ωt - ϕ)/ρ

x = Re (x о..н.) = Re{f0 [Cos(ωt - ϕ) + i Sin(ωt - ϕ)]/ρ } = f0 Cos(ωt - ϕ)/ρ.

Выпишем окончательное решение

x = f0 Cos{ωt – arc tg[2βω/(ω02 - ω2)]}/[(ω02 - ω2)2 + 4β2ω2]1/2.

Роль амплитуды в решении выполняет часть выражения не являющаяся периодической функцией, то есть

a = f0/ [(ω02 - ω2)2 + 4β2ω2]1/2. (3)

Найдем резонанс амплитуды. Для этой цели вычислим максимумы знаменателя в выражении (3), а точнее выражения под корнем как функции частоты ω

[(ω02 - ω2)2 + 4β2ω2]′ω = 0, 2(ω02 - ω2)( - 2ω) + 8β2ω = 0

1.ω = 0 - физически не интересное решение

2.-(ω02 - ωр2) + 2β2 = 0 ωр2 = ω02 - β2

97

x2 = a2 Cos (ω0t + α2)

Найти:

x = x1 + x2 с помощью векторной диаграммы, то есть выразить а и α через а1,

а2, α1 и α2.

x

а можно найти, используя теорему косинусов

a2 = a12 + a22 + a1a2 Cos (α2 - α1).

Найдем начальную фазу результирующего колебания

99