Мальханов - Общая Физика

График плотности распределения для скорости формируется из экспоненциального спада и квадратичной зависимости.

Найдем среднюю арифметическую скорость идеального газа по формуле

∞

<v> = ∫v ρ v dv 0

∞

<v> = 4π (m/2πkT)3/2 ∫exp(-mv2/2kT)v2vdv. 0

∞

При преобразованиях использованы: mv2/2kT = y, ∫e-y y dy = 1 0

<v> =4π (m/2πkT)3/2(1/2) (2kT/m)2 = (8kT/πm)1/2.

130

Найдем наиболее вероятную скорость (как экстремум функции)

d(ρv)/dv = d[4π(m/2πkT)3/2 v2 exp(-mv2/2kT)]/dv =

= 4π(m/2πkT)3/2[2v exp(-mv2/2kT) + v2(-mv/kT) exp(-mv2/2kT)] =0.

С этого момента v приобретает статус наиболее вероятной скорости -

vвер.

2 = vвер2m/kT vвер2 = 2kT/m

vвер = (2kT/m)1/2.

Выпишем, не вычисляя, среднеквадратичную скорость, <v2>

∞

<v2> = ∫ ρv v2dv 0

√<v2> = (3kT/m)1/2.

Замечание: при расчетах удобнее пользоваться отношением k/m = R/M, где k - постоянная Больцмана (рассчитанная на одну частицу), m - масса одной частицы (атома, молекулы), R - газовая постоянная (рассчитанная на один моль частиц), M - масса одного моля частиц.

График для энергии формируется из экспоненциального спада (без квадрата в экспоненте) и корневой зависимости от энергии

131

Найдем наиболее вероятную энергию

d(e -ε/kT√ε)/dε = e-ε/kT/2√ε - e -ε/kT√ε/kT = 0,

с этого момента ε приобретает статус наиболее вероятной энергии, εвер

1/(2√εвер) = √εвер/kT εвер= kT/2.

Замечание:

εвер′ = mvвер2/2 = (m/2)(2kT/m) = kT ≠ εвер.

Расчет средней энергии. Имеем

∞

<ε> = ∫(2 /√π)(kT) e -ε/kTε √ε dε. 0

∞

∫ e -ε /kT ε3/2 dε = (сделаем замену переменной ε = x2) = 0

∞

= 2 ∫exp(-x2/kT)x4dx. 0

Получился интеграл вида

∞

In = ∫ exp(-αx2) xn dx 0

О нем известно, что

I0 = (π/α)1/2/2, In = [(n-1)/2α] In-2, (рекурентное соотношение)

I4 = (3/2α) I2 = (3/2α)(1/2α) I0 = = (3/2α) (1/2α) [(π/α)1/2/2], α = 1/kT.

2I4 = (¾) (kT)5/2√π <ε> = (2/√π)(kT)-3/2 2I4 = (2/√π)(kT)-3/2 (¾) (kT)5/2√π

<ε> = 3kT/2.

132

§ 2 Распределение Больцмана

Рассмотрим вторую составляющую полной энергии в каноническом распределении Гиббса, содержащую потенциальную энергию. Для нее

dPq = b exp[-Wп (q) /kT]

Вспомним, что Wп (q) - энергия частиц находящихся во внешнем поле, а q - обобщенная координата.

Рассмотрим газ, находящийся во внешнем (гравитационном) поле. Потенциальная энергия такого, идеального, или близкого идеальному, газа есть функция только координат. Заменим обобщенную координату - на декартовы координаты

dq = dxdydz = dv.

Согласно частотному определению вероятности

dP = dN/N,

что хорошо выполняется при больших N, тогда

dN = N b exp(-Wп[(x,y,z)/kT] dv

Пусть dN/dv = n - концентрация молекул, Nb = n0 - некая исходная концентрация молекул, Wп ≡ U, тогда

n = n0 e -U(x,y,z) / kT.

Пример: молекулы в поле тяжести Земли

U = mgz, z - высота над поверхностью Земли

n(z) = n0 e – mgz /kT, z = 0 n = n0.

Часто распределения Максвелла-Больцмана не разъединяют, но пишут вместе

133

dN = N0 A exp(- U - mv2/2 ) dvxdvydvz dxdydz, A = (m/2πkT)3/2.

§ 3 Биномиальное распределение

Существует физически важная задача. Идеальная система состоит из N спинов и находится во внешнем магнитном поле. Такая задача может быть сведена к задачам типа: чет-нечет, верх-низ, белое - черное, 0 - 1, ...

и т.д.

Ставим нашу задачу. Пусть p - вероятность для спина быть направленным вверх, тогда q - вероятность для спина быть направленным вниз. Какова вероятность P(n) того, что n штук из общего числа N спинов направлены вверх. То есть, определим вероятность конфигурации спинов, в которой n из них направлено вверх, а N - n - вниз. Запишем

p...pq...q = pnqN-n

- один из способов, при котором спины располагаются в актуальном порядке. Достаточно любые два спина из числа n поменять местами, то появится (реализуется) еще один способ достичь того же состояния в смысле его вероятности. Полное число таких способов равно числу сочетаний из N по n , тогда

P(n) = CnN pnqN-n = [N!/n!(N-n)!] pnqN-n.

Полученное выражение называют биномиальным распределением.

134

О сочетаниях.

Число сочетаний CnN из N элементов по n в каждой группе означает возможность составить группы по n элементов в каждой, не обращая внимания на порядок элементов в группах CnN = N!/n!(N-n)!. Например:

C23: (1,2,3) 12,23,13 - три группы по два элемента в каждой

C23 = 3!/2!1! = 3

Cnn = n!/n!0! = 1, 0!≡1, используют также запись (Nn) ≡ CNn

Пример 1 p=q=1/2, N=4 P(n) = Cn4 (1/2) 4

n=0, P(0) = C04(1/2)4 = 4!/0!4!16 = 1/16 n=1, P(1) = C14(1/2)4 = 4!/1!3!16 = 4/16 n=2, P(2) = C24(1/2)4 = 4!/2!2!16 = 6/16 n=3, P(3) = C34(1/2)4 = 4!/3!1!16 = 4/16 n=4, P(3) = C44 (1/2)4 = 4!/4!0!16 = 1/16

0.5

0.4

dbinom ( n ,N,p )

0.2

0

Пример 2

p = 1/3, q = 2/3, N = 4

135

ются свойства P(n) при n актуально близких к n′. Вычислим логарифм от обеих частей (1)

lnP = lnN! - lnn! - ln(N-n)! + nlnp + (N-n)lnq (2)

n - квази непрерывны, используем условие максимума

dP/dn = 0 dlnP/dn = dP/Pdn = 0.

Используем одно из приближений формулы Стирлинга

ln[p(N - n)/nq] = 0 p (N – n )/nq = 1, p (N - n) = nq pN = n(p + q),

а так как p + q =1, а n обращает исследуемую функцию в 0 , то есть n = n′, то следовательно

n = n′ = pN (4)

Продолжая исследование биномиального распределения около n n′ и при N → ∞ , разложим lnP(n) в ряд Тейлора в точке n′, чтобы получить актуальное приближение

lnP(n) = lnP(n′) + (n - n′){d[lnP(n)]/dn}n=n′ +

+ [(n - n′)2/2!]{d2[lnP(n)]/dn2}n=n′ + ...

137

Второе слагаемое обращается в 0 по условию экстремума, а вторую производную второго порядка в третьем слагаемом раскроем с использованием уже имеющейся в (3) первой производной

d2[lnP(n)]/dn2 = d[-lnn + ln(N - n) + lnp - lnq]/dn = (-1/n) - 1/(N - n) =

= - N/n(N - n) = ( n = n′ = Np) = - 1/pqN

lnP(n) = lnP(n′) - (n - n′)2/2Npq

P(n) = P(n′) exp[-(n - n′)2/2Npq],

используем предельный переход и делаем замену P(n′) → P′

dP = P′ exp[-(n - n′)2/2Npq] dn ρn = P′ exp[-(n - n′)2/2Npq]

пусть n принадлежит множеству целых положительных и отрицательных чисел. Воспользуемся нормировкой на единицу для вычисления коэффициента P′

∞ ∞ ∞

∫ ρndn = P′∫ exp[-(n - n′)2/2Npq]dn = (I = ∫exp(-x2)dx) = √π) = -∞ -∞ -∞

= P′(π2Npq)1/2 = 1 P′ = (2πNpq)-1/2.

ρn = (2πNpq)-1/2 exp[-(n - n′)2/2Npq.

Можно показать путем интегрирования, что среднее значение <n> = (без вывода, так как это достаточно очевидно) = n′, при котором вероятность имеет максимум, что и было нами ранее показано (формула (4)). Точно также можно получить выражение для дисперсии методом нахождения среднего значения с помощью интегрирования (без вывода) D = <∆n2> = <(n - <n>)2> = Npq ∆n = (Npq)1/2.Если теперь перейти к обозначениям применяемым обычно в литературе по физической статистике <n> = <x>,

∆n = σ = (Npq)1/2, получим

ρx = [(2π)-1/2/σ] exp[-(x - <x>)2/2σ2].

138

§ 5 Распределение Стьюдента

Распределение Стьюдента описывает плотность вероятности значений средних арифметических, вычисленных по выборкам из n случайных отсчетов из нормально распределенной генеральной совокупности.

Генеральная совокупность - вся совокупность измеряемых случайных величин.

Выборка - совокупность части случайно отобранных из генеральной совокупности величин. Например, 50 промежутков времени по 5 секунд каждый, измеряемые грубым и точным прибором, из всех возможных получаемых значений, нормально распределенных промежутков времени - выборка.

Утверждается следующее:

Если при нормально распределенной генеральной совокупности распределение величины t равно

t = (<x> - mx)/(√D/√n), где

<x> и M x - среднее арифметическое и математическое ожидание случайной величины xi,

D =σ2 = < (xi - <x>)2> = [∑(xi - <x>)2]/(n -1),

то тогда t подчиняется распределению Стьюдента, плотность вероятности которого имеет вид:

ρ(n-1)(t) = Γ(n/2)/{Γ[(n-1)/2][π(n-1)]1/2[1 + t2/(n-1)]-n/2},

Γ(n) = ∫ un-1e-udu - гамма функция

139