Мальханов - Общая Физика

1. Найдем первую производную от (*) по времени

m dR /dt = ∑mi dri/dt m V = ∑ m vi P = ∑pi (**)

Результат такой, что импульс центра инерции, P, равен сумме импульсов, pi, частиц, составляющих систему.

2. Теорема о движении центра масс.

Найдем вторую производную от последнего выражения (**).

n

dP/dt = ∑ dpi /dt ; dP/dt = F. i=1

Здесь F - суммарная сила, которую можно представить как сумму сил внутренних и внешних.

Переберем все пары сил Flk, чтобы найти сумму внутренних сил взаимодействия между частицами, составляющими тело. Тогда, поскольку согласно третьего закона Ньютона все Flk + Fkl = 0, то каждой силе найдется равная ей по величине и противоположная по направлению противодействующая сила для любой пары частиц. Внешняя же сила приложена к центру инерции тела, следовательно

∑ Fj = Fвнеш = m a ц. .и.

Вывод: (теорема о движении центра масс).

О центре масс можно говорить как о материальной точке, масса которой равна массе всего тела, и рассматривать движение этой материальной точки вместо движения всего тела в целом.

31

3. Закон сохранения импульса

Пусть сумма всех внешних сил равна нулю Fвнеш = 0

dp/dt =0 p = cst (t).

Если сумма внешних сил действующих на систему равна 0, то импульс центра инерции системы есть величина постоянная, не меняется со временем, то есть mv =cst, откуда следует, что и скорость центра инерции также является константой по времени.

Закон сохранения импульса в механике - важнейший закон физики в целом. Запишем для замкнутой системы частиц

∑ pi = cst

Для двух взаимодействующих частиц в любые моменты времени

p1 + p2 = p′1 + p′2 = p′′1 + p′′2 = ... = cst.

Отметим в заключение и забегая несколько вперед, что законы сохранения проистекают из:

Однородности времени - закон сохранения энергии. Однородности пространства - закон сохранения импульса. Изотропии пространства - закон сохранения момента импульса.

§ 5 Работа. Кинетическая энергия. Закон сохранения кинетической энергии. Мощность

Понятие работы максимально приближает нас к реальной практической жизни. В дальнейшем только через работу мы сможем понимать смысл многих физических величин и в частности энергии во всех ее проявлениях. По определению

32

r2

A = ∫ Fdr r1

A = Fs = Fs Cos(F^s) (при F = cst)

F

∆r

r1

r2

∆ r ∆s

∆A = F ∆r = F проекция(∆г) = ∆г проекция.∆r( F) = F ∆r Cos (F^∆r). В пределе dA = F dr, при этом полагаем ds≡dr.

Пусть F = cst A = F (r2 - r1) = F ∆r, [А] = Н м = Дж.

Пример: Работа упругой силы

F

1 2

2 2 2

A = ∫ F dx; F = -kx, [k] = Н/м2, A = -∫ kx dx = - kx2/2| = - kx22/2 + kx12/2

Выбором начала отсчета обнуляем одно слагаемое (x1 = 0), а тогда опускаем индекс

A = - kx2/2

О кинетической энергии

Заметим, что, так как v = dr/dt и F = dp/dt dr = vdt и dp = Fdt, то

dA = Fdr = F vdt = (dp)v = (mdv)v = d(mv2/2). T = mv2/2 называют кинетической энергией тела массы m, движущегося со скоростью v . Совершаемая работа здесь определяется изменением кинетической энергии тела. Если совершаемая работа равна нулю, то кинетическая энергия тела остается постоянной

dA = 0, d(mv2/2) = 0 mv2/2 = Т = cst

В этом смысле можно говорить о законе сохранения кинетической энергии.

О мощности

N = dA/dt, [N] = Дж/с = Вт. N = Fds/dt = Fv

Пусть масса является функцией времени (например, в смысле релятивизма). Вычислим при этом условии кинетическую энергию. Дифференциал импульса в этом случае имеет вид:

dp = d(mr v) = d[mv/(1-v2/c2)1/2] = mdv/(1-v2/c2) + mv d[(1-v2/c2)-1/2] = m dv/(1- v2/c2) – (Ѕ)m v(1-v2/c2)-3/2(-1/c2)dv2 = m dv(1-v2/c2)-1/2 + mvdv2/2c2(1-v2/c2)-3/2.

Vdp = mv dv/(1-v2/c2)1/2 + mv2dv2/2c2(1-v2/c2)3/2 = dv2/2(1-v2/c2)1/2 + v2dv2/2c2(1-

- v2/c2)1/2 (1-v2/c2) = [mdv2 (1-v2/c2) +(1/c2)mv2dv2]/2(1-v2/c2)3/2 = mdv2/2 (1-v2/c2)3/2.

34

Интегрирование проведено из состояния 1 в состояние 2. Таким образом, для релятивистской кинетической энергии получено выражение

2

A = ∫ v dp = ∫mdv2/2(1-v2/c2)3/2 = (-mc2/2)∫d(1-v2/c2)/1-v2/c2)3/2 =

1

= mc2/(1-v2/c2)1/2| = mrc2| = ∆(mrc2) = T2 - T1.

Tr = mrc2 = mc2/(1-v2/c2)1/2.

Заметим, что разложением в ряд Тейлора из этого выражения можно получить более привычное для нас нерелятивистское приближение. Предварительно вычтем из релятивистского значения кинетической энергии массу покоя частицы E = mc2, имеем

§ 6 Единицы измерения механических величин

[r, x, y, z, s] = м, [t] = c, [m] = кг, [v] = м/с, [a] = м/с, [p] = кг м/с, [F] = кг м/с2 = Н,

[A] = [T] = кг м2/с2 = Н м = Дж.

Приставки, которые чаще всего встречались автору в его работе:

§7 Консервативные и не консервативные силы

Вфизике (и в частности в механике) консервативными называют силы, работа которых по любому замкнутому контуру равна нулю.

Электрический

заряд

+++

ЗЕМЛЯ

РАКЕТА

°

°

Земля

Однородное электрическое поле

Е

36

Запишем аналитически определение консервативной силы

A = ∫ Fds = 0, где∫ - обозначение интеграла по замкнутому контуру

L L

Криволинейные интегралы вида: ∫ Fds, где F - произвольный вектор, L

а ds - элемент контура общей длины L, называют циркуляцией вектора F по замкнутому контуру L.

F

Следствие.

Работа консервативных сил по перемещению тела из произвольной (·) 1 в (·) 2 не зависит от формы траектории и определяется только начальным и конечным положением тела. К таким силам относятся, например, сила тяжести, сила Кулона, сила упругости. Силы, не имеющие обсуждаемого свойства, относятся к неконсервативным силам.

Пример 1: диссипативные силы - трения и сопротивления, как это происходит, если тянуть тело по поверхности

37

Здесь dA = Fds = Fds Cosπ = -Fds, то есть работа совершается против сил трения. Ракета, взлетающая с поверхности Земли находится как в поле консервативных так и в поле диссипативных сил (сил по преодолению сопротивления атмосферы).

О трении качения в сравнении с трением скольжения.

Атгезия - сцепление (склеивание, слипание) тел, обусловленное межмолекулярным и межатомным электромагнитным взаимодействием.

Пример 2. Гироскопические силы: центростремительная сила, магнитная составляющая силы Лоренца. Для них всегда F ds A = F ds Cosπ/2 = 0

FЛ = q v B Sin(B^v)

rr

r

38

dA = Fds = P dx = -mg dx. Знак минус появляется, так как работа совершается против сил поля, а ускорение свободного падения, g, и возрастание координаты, x, направлены навстречу друг другу. В этом случае

h

dU = -dA = m g dx U = ∫ m g dx = m g h 0

x

g

h

1. Энергия растянутой пружины F = - kx

dU = - dA = -Fdx = kx dx

x′ x′

U = ∫ kx dx = kx2/2| = kx′2/2 0 0

Если опустить штрих у x, имеем выражение в общем виде

U = kx2/2.

40