Мальханов - Общая Физика
.pdf°F |
|
|
|
°C |
|
|
|
100°C |
||
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
36,6°C |
|
|
212°F |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
96°F |
|
|
|
тело чело- |
|
:100 |
||||
|
|
|
|
|
века |
|
|
|
||
: 96 |
|
|
|
|
-17,8°C |
|
|
|
||
0°F |
|
|
|
лед+соль |
|
|
|
0°C 32°F |
||
|
|
|
|
|
с нашатырем |
|
|
|
5∆t°F = 9∆t°C
t°F = 1,8 t°C + 32°F
°C |
-30 |
-25 |
-20 |
-15 |
-10 |
-5 |
0 |
10 |
15 |
20 |
25 |
30 |
35 |
°F |
-22 |
-13 |
-4 |
5 |
14 |
23 |
32 |
50 |
59 |
68 |
77 |
86 |
95 |
§ 3 Давление
Давление механически определяется как отношение величины силы к величине площадки, на которую действует эта сила.
P = dF/dS
Dr F
dS Вообще говоря, в данном случае приходится часто говорить о средней силе, хотя ее довольно трудно точно определить.
Используем выражение, связывающее силу и потенциальную энергию. Отметим, что изменение потенциальной энергии ∆U эквивалентно, а точнее говоря равно с противоположным знаком работе, а с силой связано через градиент, тогда
F = -∂U/∂r P = F/S = (-∂U/∂r)/S = - (∂U/∂V)S.
150
Произошло такое изменение формы тела, при котором S осталось постоянной. Изменение формы тела можно представить как перестановку отдельных его частей.
1 атм = 760 мм. рт. ст. = 1,05 105 Па.
§ 4. Первый закон термодинамики
Рассмотрим первый закон термодинамики как полный дифференциал энергии. Используем то обстоятельство, что внутренняя энергия есть функция энтропии и объема в общем случае U (S,V), тогда ее полный дифференциал равен
dU = (∂U/∂S)dS + (∂U/∂V)dV, где
(∂U/∂S)V = T, (∂U/∂V)S = - P
dU = TdS - PdV
dU - Внутренняя энергия системы, центр масс которой покоится TdS = δQ - Теплота
PdV - Механическая работа (за счет изменения объема).
Определим теплоту как
δQ = TdS dS = δQ/T, S = k lnρ TdS = kT d lnρ
Обычно пишут
δQ = dU + δA, либо в конечных приращениях Q = ∆U + A. (*)
Заметим, что соответствующее элементарному процессу приращение какой-либо физической величины f → ∆f можно рассматривать как бесконечно малое приращение в пределе только в том случае, если ∑ ∆f ( или ∫ df ), соответствующие переходу из одного состояния (1) в другое
(2) не зависит от пути (иначе говоря - способа), по которыму совершается этот переход ( как это происходит при механическом перемещении в случае консервативных сил). Это значит, что не всегда верно
151
2 |
|
|
∫ df = f2 - f1, |
2 |
2 |
1 |
||
а в нашем случае ∫ dQ ≠ Q2 - Q1 |
∫ dA ≠ A2 - A1, а вот для |
|
|
1 |
1 |
внутренней энергии это верно всегда
2
∫ dU = U2 - U1. 1
В этом случае говорят, что U является функцией состояния, тогда как теплота Q и работа A не являются функциями состояния. Следовательно dU является полным дифференциалом, а δQ и δA - нет, и этот факт обозначают на письме как это сделано здесь круглыми буквами дельта. Мы, однако, понимая сказанное, будем писать, иногда с оговорками, и, всегда подразумевая данный факт: dQ и dA.
Сформулируем первый закон термодинамики (*).
Теплота, сообщаемая системе расходуется на приращение внутренней энергии этой системы и совершение системой работы над внешними телами.
§ 5 Макроскопические параметры состояния газа. Процессы
Имеем термодинамические параметры газа (вообще говоря, их можно отнести и к твердым телам и к жидкостям)
Объем |
Масса |
Энтропия Давление Теплота |
Работа |
||
V |
m |
S |
P |
Q |
A |
Внутренняя |
Плотность |
Концентрация |
Температура Хим. сос- |
||
энергия |
|
|
|
|
тав и др. |
U |
ρ |
|
n |
T |
|
В опыте, то есть физическом или ином эксперименте, (и в обыденной жизни) мы имеем дело с объемом газа, состоящим из громадного числа частиц: атомов, молекул, ионов, электронов,... квазичастиц: дырок, вакансий, экситонов, поляронов, более сложных образований, но также
152
микроскопических, размеры которых << всего объема газа. Когда некоторым прибором измеряют величину того или иного параметра, то эта величина суть результат усреднения от действия всех частиц, составляющих тело.
Если число столкновений одной молекулы с остальными может составлять 1010 ст/с, то число столкновений между всеми молекулами при тех же условиях составляет 1020ст/с.
Пример: измерение давления
P |
При быстродействии осциллографа 0,1нс = |
|
10-10с он будет регистрировать 10-101020 = |
|
1010 столкновений одновременно, поэтому и |
|
можно говорить, что наши приборы измеряют |
|
усредненные значения параметров. |
|
Замечание. |
1 c |
t Замечательные свойства осциллографов по- |
|
зволяют наблюдать формы сигналов. В нем |
создается так называемая развертка по времени: линейно нарастающее с заданной скоростью напряжение позволяет переместить лучик на экране с одного края на другой. По вертикали при этом подается напряжение исследуемой формы пропорциональное величине данного параметра.
U
= U
t t
Любая физическая величина преобразуется в эквивалентное ей электрическое напряжение и далее ее можно измерять преобразовывать и т.д..
Состояние и процесс.
Предположим, что мы наблюдаем за некоторым набором параметров. Если параметры не меняются, то можно говорить о равновесном состоянии. Если некоторые из них меняются, то говорят что идет процесс (процесс изменения этих параметров). Процесс идет до тех пор, пока система не перейдет в новое равновесное состояние
153
P1 |
V1 |
T1... |
Во время |
|
|
|
|
|
процесса |
|
|
|
|
меняются все |
P2 |
V2 |
T2 ... |
параметры или |
|
|
|
|
|
хотя бы один |
из них.
Практически можно говорить о квази равновесных состояниях вместо равновесных, которые являются удобной идеализацией. Если один параметр меняется быстрее другого, к примеру, в 10 раз, то можно говорить о квази равновесии или о равновесии в отношение медленно меряющегося параметра в сравнении с другим. Например, вода в чайнике нагревается, а ее объем в процессе нагрева условно остается постоянным.
§ 6 Расчет работы и внутренней энергии в термодинамике
Fср
6.1 Работа
∆h
∆S
δA = Fср∆h, P = Fср/∆S
δA = P∆S∆h = P∆V. Пусть
δA dA dA = PdV
2
A = ∫ PdV 1
6.2 Внутренняя энергия
Рассчитаем среднюю кинетическую энергию, приходящуюся на одну частицу и на одну координату. Используем каноническое распределение Гиббса.
154
< εi > = [∫ exp(-βεi) εi dpi]/ [∫ exp(-βεi) dpi].
-∂[exp(-βεi)]∂β = εi exp(-βεi), εi = pi2/2m, β = 1/kT, i-я координата.
∞∞
<εi > ={ -∂[∫ exp(-βεi) dpi]/∂β}/[∫ exp(-βεi) dpi] =
-∞ |
-∞ |
∞
=-∂ln[∫exp(-βpi2/2m) dpi]/∂β = - ∂[ln(2mπ/β)1/2]/∂β = -∞
=1/2β = kT/2.
∞
В расчете использован интеграл вида ∫exp(-x2) dx = √π
-∞
<εi > = kT/2 i =1
<εi > = i kT/2 - формула для произвольного числа степеней свободы частицы (например, молекулы).
Теорема о равнораспределении кинетической энергии по степеням свободы:
на каждую степень свободы частицы, то есть на каждую координату или ось вращения, к примеру, приходится в среднем одинаковая кинетическая энергия равная ε =kT/2.
Найдем внутреннюю энергию произвольного количества вещества
εi = i kT/2 |·NA UM = i RT/2 (UM=εiNA, R=kNA) | ·ν U=iνRT/2
i = 3 Z
i = 3 + 3 = 6
i = 3 +2 = 5
Y
i = 3 + 2 + 2 = 7
X
155
Точке может соответствовать три поступательных степени свободы по числу трех декартовых координат (He, H+, ...).
Для двухатомных молекул в модели жесткой нерастяжимой связи между ними прибавляется еще две оси вращения - вдоль линии их соединяющей и перпендикулярно ее середине (N2, H2, O2,...).
Для трех- и более молекул реализуются все три взаимно перпендикулярные оси вращения (CO2, H2O, ...).
В модели упругой (не жесткой) связи, кроме указанных степеней свободы, прибавляются еще колебательные степени свободы.
§ 7 Теплоемкость
7.1 Расчет теплоемкости при постоянном объеме и давлении. Закон Майера
Теплоемкостью тела, C, называется отношение бесконечно малого количества теплоты, полученного этим телом к соответствующему приращению его температуры.
C = δQ/dT.
Часто пишут, и мы будем придерживаться записи C = dQ/dT
C = (dU + PdV)/dT = (dU/dT) + PdV/dT.
Используем тот факт, что и внутренняя энергия представляется полным дифференциалом U (V,T) запишем
dU = (∂U/∂T)V dT + (∂U/∂V)T dV
C = (∂U/∂T)V + (∂U/∂V)T (dV/dT) + PdV/dT = (второе слагаемое равно
нулю при T = cst) = (∂U/∂T)V + PdV/dT.
1. V = cst dV/dT = 0
CV = (∂U/∂T)V = ∂(νi RT/2)/∂T = νi R/2, ν = 1 CV = (i/2)R . 2. P = cst
156
CP = CV + PdV/dT.
Используем уравнение Менделеева - Клапейрона
PV = νRT PdV = νRdT dV/dT = νR/P
CP = CV +νR = ν(i/2) R+ νR = [(i + 2)/2] νR.
ν = 1 CPµ = CVµ + R.
Полученное выражение называют уравнением Майера (Майер Юлиус Роберт
1814-1878).
Для различных процессов можно рассчитать теплоту, внутреннюю энергию и работу.
1.T = cst – изотермический dU = 0 δQ = δA.
2.P = cst - изобарический
δQ = dU + δA
3. V = cst - изохорический
δA = 0 δQ = dU
4.Q = cst (δQ = 0) - адиабатический
dU = - δA
5. C = cst - политропический
δQ/dT = cst.
7.2 Виды теплоемкости
Полная теплоемкость, C , [Дж/K]
C = dQ/dT
157
теплота, которую необходимо передать телу, чтобы изменить его температуру на 1 градус.
Удельная теплоемкость, Cуд , [Дж/K кг]
Cуд = dQ/m dT
теплоемкость, приведенная к единичной массе.
Молярная теплоемкость, Cµ, [Дж/K моль]
C µ = dQ/νdT
теплоемкость, приведенная к одному молю.
§ 8 Уравнение Пуассона для адиабатического процесса
dQ = dU + dA, dQ = 0 dU = νCV dT, ν = 1 dU = CV dT,
dA = PdV
CV dT + PdV = 0 |· R CV R dT + RP dV = 0, но
из PV = RT PdV + V dP = R dT (исключим температуру)
CV (PdV + V dP) + R PdV = 0, R=CP - CV
CV PdV + CV V dP + (CP - CV ) PdV = 0 |: CV , (γ = Cp/CV = cst)
PdV + V dP + (γ - 1)PdV=0, γPdV + V dP = 0.
γdV/V + dP/P = 0 | ∫
γ lnV + lnP = cst ln (Vγ P) = cst P Vγ = cst, P1V1γ = P2V2γ = ... .
158
§ 9 Политропический процесс
C = cst, C = dQ/dT dQ = C dT. dQ = dU + dA, ν = 1
C dT = CV dT + PdV | ·R
CR dT - CV R dT = RP dV, (C - CV )R dT = RP dV,
PV = RT, R dT = PdV + V dP(исключим температуру)
(C - CV)(PdV + V dP) = R PdV (C - CV) PdV = (R+CV - C) PdV (используем уравнение Майера) CP = R+CV
(C - CV) VdP = (Cp - C) PdV |
| : PV |
(C - CV)dP/P = (CP - C)dV/V |
| ∫ |
(C - CV)lnP = (CP - C)lnV + cst |
| : (C - CV) |
[(C- CP)/(C - CV)]lnV + lnP = cst, nlnV + lnP = cst, P V n = cst, n = (C- CP)/(C - CV).
§ 10 Применение первого начала термодинамики к тепловым процессам
Первоначально термодинамика возникла как наука о превращении теплоты в работу. При этом не было надобности в исследовании микроскопической картины явлений, а исследователи опирались на так называемые основные начала термодинамики, полученные опытным путем. Мы, нендолго, будем действовать в рамках этих представлений по-своему довольно плодотворных.
Рассмотрим некий объем газа, способный совершить работу (или над которым совершается работа внешними силами, что в известном смысле все равно и одинаково с точностью до знака). Построим для такой системы несколько диаграмм в координатах
P-V, подразумевая, что эти замкнутые циклы многократно повторяются. Нам необходимо, чтобы за один полный цикл совершалась положительная работа.
159