7.3. Изучение арифметических действий в начальной школе

Вопросы методики изучения арифметических действий разделим на две части. В данной части рассмотрим, как формировать у учащихся представления о сложении, вычитании, умножении, делении, понятии арифметического действия, их свойствах, а в следующей части главы – как формировать вычислительные умения и навыки.

7.3.1. Цели и результаты изучения арифметических действий. Арифметические действия – ключевые понятия теории чисел и важнейшая характеристика числовых множеств. Их изучение – неотъемлемая часть формирования понятия числа и вычислительных умений и навыков. В математике обобщение арифметических действий привело к понятию операции, а затем к таким понятиям как математическая структура, группа, кольцо, поле, играющим огромную роль в современной математике и в ее применении в разных сферах жизни. Изучение арифметических действий позволяет детям на интуитивном уровне соприкоснуться со многими математическими идеями, в частности, с идеями функциональности, математической структуры, математического моделирования, принципом двойственности. Арифметические действия обладают богатым потенциалом для развития мышления, речи, становления и развития универсальных учебных действий.

Арифметические действия в современных формах записи удобны для наблюдения и открытия закономерностей, построения числовых последовательностей. Они допускают изобретение способов выполнения действий и соответствующих алгоритмов, способов преобразования числовых выражений и потому могут служить средством развития самостоятельности мышления, творческих способностей. Не потеряла своего значения и задача обучения вычислениям, хотя в настоящее время роль вычислительных умений изменилась. Изменились также цели изучения арифметических действий, требования к результатам их изучения.

Цели изучения арифметических действий младшими школьниками – личностное и интеллектуальное развитие, развитие представлений о числе и арифметических действиях, формирование вычислительных умений и навыков, пропедевтическое знакомство с ключевыми идеями математики, достижение планируемых результатов.

Личностные и метапредметные результаты обеспечиваются а) характером представления учащимся арифметических действий, включая рассмотрение не только узко предметных, но и межпредметных, гуманитарных их аспектов; б) усилением внимания к смыслам арифметических действий, к логическим связям и выводам, к применению арифметических действий для описания окружающего мира; в) включением в процесс изучения имеющийся и рождающийся субъектный числовой опыт детей, опыт познания.

Личностные результаты изучения арифметических действий –формируемое отношение к миру, людям, к себе, к учению, к числам и арифметическим действиям. Метапредметные результаты, относящиеся к арифметическим действиям – это умение использовать их в качестве моделей предметных действий и средств получения новой информации в разных областях знания и повседневной жизни, это умение использовать рисунки, схемы, таблицы, как средства познания смыслов и свойств арифметических действий; владение общими арифметическими способами решения задач; моделирование ситуаций средствами арифметических действий. К метапредметным результатам изучения арифметических действий относятся также УУД, формируемые при изучении любого учебного материала.

Предметные результаты – это то, что будет знать каждый учащийся об арифметических действиях как о математических объектах, чему научится и получит возможность узнать и научиться. Обязанность учителя – обеспечить достижение всеми учащимися на выпуске из начальной школы планируемых результатов изучения арифметических действий в соответствии с требованиями ФГОС НОО. Вариант планируемых предметных результатов представлен ниже.

В результате изучения арифметических действий выпускник начальной школы научится: • использовать арифметические действия для описания и объяснения окружающих предметов, процессов, явлений, их количественных и пространственных отношений, для решения текстовых задач (в 2 – 3 действия); • выполнять устно сложение, вычитание, умножение и деление однозначных, двузначных и трёхзначных чисел в случаях, сводимых к действиям в пределах 100 (в том числе с нулём и числом 1); • выполнять с помощью алгоритмов письменных вычислений арифметические действия с многозначными числами (сложение, вычитание, умножение и деление на однозначное, двузначное числа в пределах 10 000), использовать калькулятор для проверки правильности устных и письменных вычислений; • выделять неизвестный компонент арифметического действия и находить его значение; • вычислять значение числового выражения, содержащего 2—3 арифметических действия, со скобками и без скобок.

Выпускник получит возможность научиться: • использовать свойства арифметических действий для упрощения и рационализации вычислений; • выполнять действия с значениями величин; • проводить проверку правильности вычислений, в том числе калькуляторных (с помощью обратного действия, прикидки и оценки результата действия).

Сформулировав планируемые результаты необходимо задать и средства диагностики, диагностические материалы, позволяющие выявить степень достижения выпускником начальной школы планируемых результатов. Ниже приведен один из возможных вариантов заданий для итоговой оценки предметных и метапредметных результатов.

А. Базовый уровень.

1. Часть стены модели дома выложена из 5-ти одинаковых деревянных брусков, имеющих форму параллелепипеда. (Размеры бруска 10 см × 2 см × 2 см. Бруски сложены в стопку на парте.) С помощью измерения длин сторон и действий сложения, вычитания, умножения и деления дайте характеристику этой части стены, ответив на вопросы: 1.1. Какова длина, толщина, высота данной части стены? 1.2. Какова площадь поверхности внутренней стороны стены? 1.3. Сравни длины сторон бруска по вопросам «Равны или не равны?», «На сколько сантиметров больше (меньше)?», «Во сколько раз больше (меньше)?».

2. На склад привезли 4560 кг рисовой крупы в мешках по 80 кг в каждом и 64 мешка гречневой крупы. Сколько всего мешков с крупами привезли на склад?

3. Найди значения выражений: (360 – 24 ∙ 5) : 40; 450 : 50; 78 : 4; 73 + 89; 0 ∙ 256; (36 : 9 – 3) ∙ 17; 32 ∙ (1462 + 748) : (7846 – 7781)

В. Повышенный уровень.

1. Часть стены модели дома выложена из 5-ти одинаковых деревянных брусков, имеющих форму параллелепипеда. (Размеры бруска 10 см × 2 см × 2 см. Бруски сложены в стопку на парте.)

С помощью измерения длин сторон и действий сложения, вычитания, умножения и деления, дайте характеристику этой части стены, ответив на вопросы: 1.1. Какова длина, ширина и толщина данной части стены? 1.2. Какова площадь поверхности внутренней стороны стены? 1.3. Каков объем бруска? объем стены? 1.4. Сравни длины сторон бруска по вопросам «На сколько сантиметров больше (меньше)?», «Во сколько раз больше (меньше)?». 1.5. Сравни объем части стены и объем бруска.

2. На складе 4560 кг рисовой крупы в мешках по 80 кг в каждом и 3840 кг гречневой крупы в 64 мешках. Мешок с какой крупой тяжелее и на сколько? С какой крупой мешков больше и на сколько?

3. Найдите значения числовых выражений используя устные вычислительные и свойства арифметических действий: (480 – 24 ∙ 6) : 16; 354 + 188; 162 : 4; 18 ∙ 4 – 1345∙0; 317 : 50; 45 : 45; (27 - 108 : 9) ∙ 17.

4. Найдите значения числовых выражений, используя алгоритмы письменных вычислений: 26 • (1672 + 1448) : (4825 – 4773)

«Проверяемое умение: умение выполнять арифметические действия с использованием изученных алгоритмов (сложение, вычитание, умножение и деление на однозначное, двузначное числа в пределах 10 000). Задание базового уровня. Вычисли: 2072 : 37. Задание повышенного уровня. Петя выполнил умножение и увидел, что в записи четыре раза повторяется одна и та же цифра. Он закрыл эту цифру карточками и предложил Мише угадать эту цифру. Какая это цифра?

_ □2□

× 3

1□ 7□

Отметь правильный ответ ✔. □ 0 □ 4 □ 5 □ 6.»

«Умение: понимать смысл деления с остатком, выделять неполное частное и остаток. Задание базового уровня. Для подарков купили конфеты. Всего 199 конфет. В каждый подарок нужно положить по 5 конфет. Сколько конфет останется? Для футбольной команды купили18 билетов в один купейный вагон. Номера билетов с 1-го по 18-й. В скольких купе разместятся футболисты, если в каждом купе могут ехать 4 человека?»

«Умение: осуществлять прикидку и проверку результата выполнения арифметического действия. Задание 31 базового уровня. Каким числом является результат действия 12064 : 4? Обведи номер ответа. 1) двузначным; 2) трехзначным; 3) четырехзначным; 4) пятизначным.

Задание 32 повышенного уровня. Хватит ли 1 000 р для покупки четырех книг по цене 199 р за одну книгу и календаря за 250 р? Запиши и объясни ответ. Ответ: …

Объяснение. Ответ: не хватит. Пример объяснения: после покупки четырех книг останется чуть больше двухсот рублей. Этих денег не хватит на покупку календаря за 250 рублей. …»¹⁸ Возможно объяснение: «Не хватит. В 1000 р. содержится 5 раз по 200 р. Платят 4 раза на 1 р. меньше 200, т.е. на 4 р. меньше чем 4 раза по 200 р. После оплаты четырех книг останется всего на 4 р. больше 200, что меньше 250.» Если дано пояснение «Не хватит, так как: 199 ∙ 4 = 796 (р.); 1000 – 796 = 204 (р.); 204 < 250», то оценить владение прикидкой и оценкой по этому ответу нельзя, так как в этом обосновании они не показаны.

7.3.2. Последовательность изучения арифметических действий в начальной школе. Традиционно арифметические действия изучаются в последовательности: сложение и вычитание, умножение, деление (нацело) и деление с остатком. Этот порядок прослеживается во многих учебниках математики для начальной школы. Однако существуют другие подходы к последовательности изучения действий.

В истории российского начального образования действия сложения и вычитания долгое время вводились и изучались последовательно, со значительным разрывом во времени. Затем стало признанным мнение, что длительная работа с одним арифметическим действием затрудняет усвоение обоих действий, так как у учащихся успевает выработаться определенный стереотип, который затем нужно разрушать. Одновременное или последовательное на следующих друг за другом уроках введение сложения и вычитания создает условия для сопоставления действий, что способствует лучшему усвоению смыслов. Поэтому с середины прошлого века действия сложения и вычитания в нашей школе рекомендовалось изучать одновременно и вводить на одном или на последовательно следующих друг за другом уроках.

Относительно последовательности введения умножения и деления разногласий нет. Умножение обычно вводится несколько раньше деления. Деление начинают изучать после того, как учащиеся усвоят смыслы умножения. Иногда после введения умножения изучают табличное умножение, и лишь потом деление. Но чаще табличное деление рассматривают одновременно с табличным умножением на одних и тех же или последовательных уроках после введения деления.

Разные точки зрения существуют относительно последовательности изучения деления нацело и деления с остатком. Согласно одной из них вначале вводится деление нацело, его смыслы, табличные случаи деления. После их усвоения вводится деление с остатком как особое действие, со своими смыслами, свойствами, алгоритмами на основе табличного деления нацело. Затем рассматриваются основные внетабличные приемы деления нацело и деления с остатком, и письменное деление как деление с остатком, частным случаем которого является деление нацело – с остатком 0.

Согласно другой точке зрения деление нацело и деление с остатком могут вводиться как обозначение деления группы предметов, предметов на равные по заданному основанию части (в соответствии с теоретико-множественными и величинными смыслами действия деления) одновременно или на серии последовательных уроков. Результатом такого введения будет способность учащихся обозначать предметные действия деления по содержанию и на равные части записями вида 12 : 3, 13 : 3, 12 : 3 = 4, 13 : 3 = 4 (ост. 1), и наоборот, по записи выполнять предметные действия или делать рисунки.

После освоения предметных смыслов деления, которые одинаковы для деления нацело и деления с остатком, переходят к обсуждению вопроса, как находить результаты деления без предметных действий. Ответ ищут, установив связь деления с умножением вначале для деления нацело и сосредоточив внимание на табличных случаях, свойствах деления нацело, свойствах таблицы умножения/деления. К случаям деления с остатком обращаются в этот период попутно, закрепляя его понимание, предоставляя учащимся возможность находить частное и остаток на основе интуитивного понимания связи деления нацело и деления с остатком. После освоения табличного умножения и деления рассматривают особенности, свойства, способы и алгоритмы деления с остатком.

Обоснованием последней точки зрения служит то, что наличие или отсутствие остатка не меняет ход практического деления. Например, разделим 12 и 13 кубиков на равные части по 3 кубика в каждой. Действуем в обоих случаях одинаково: берем 3 кубика и откладываем в сторону. Это действие повторяем, пока можно взять 3 кубика. Обозначается: 12 : 3 и 13 : 3. Как только кубиков не останется или останется меньше трех, считаем получившиеся части. Их число и будет частным. В обоих случаях образовалось 4 равных части по 3 кубика в каждой – частным будет число 4. В случае с 12 кубиками «неподеленных» кубиков не останется, а при делении 13 кубиков по 3 неподеленным останется 1 кубик. Получаем: 12 : 3 = 4, 13 : 3 = 4 (ост. 1).

Будем делить 12 и 13 кубиков на 3 равные части. Берем столько кубиков, сколько требуется равных частей, и раскладываем по одному. Затем вновь берем столько предметов, сколько частей и раскладываем по одному к уже разложенным. Действуем так, пока не останется ни одного кубика или останется меньше, чем требуемое число частей. В обоих случаях частное 4 (в каждой из трех равных частей по 4 кубика). При делении 12 : 3 остатка нет, при делении 13 : 3 остаток 1. Запись: 12 : 3 = 4 и 13 : 3 = 4 (ост. 1).

В предметной деятельности, начиная процесс деления, чаще всего не знают, будет ли остаток. В детском опыте ситуаций практического деления много. Дети делят игрушки, конфеты, делятся на команды в играх и многое другое. Деление нацело получается далеко не всегда. Вводя только деление нацело, приходится ограждать детей от ситуаций, когда нацело разделить невозможно. И если период встреч только с делением нацело длительный, то у детей вырабатывается стереотип: при делении чисел всегда получается одно число – частное. Это затрудняет понимание деления с остатком. Отчасти поэтому деление с остатком считается трудным действием, а текстовые задачи, при решении которых оно может быть использовано, либо не рассматриваются (за исключением простых задач при введении деления с остатком), либо их относят к задачам повышенной трудности.

Исходя из проведенных рассуждений, последовательность изучения умножения и деления может выглядеть так: • введение умножения освоение его смыслов; • введение деления нацело и с остатком, освоение смыслов деления; • табличное умножение и деление (нацело); • устные вычислительные алгоритмы деления с остатком, основанные на табличном делении; • алгоритмы внетабличного (устного) умножения и деления, в том числе деления с остатком; • алгоритмы письменного умножения; • алгоритмы письменного деления как алгоритмы деления с остатком, частным случаем которого является деление с нулевым остатком – деление нацело; умножение и деление с помощью калькулятора.

Изучение каждого арифметического действия можно представить по этапам: • подготовка к введению арифметического действия или действий; • введение действия (действий), мотивация к изучению, планирование работы по изучению арифметического действия (или действий), формирование смыслов изучаемого действия; • изучение свойств арифметических действий; • изучение алгоритмов выполнения действий и формирование вычислительных навыков.

Подготовка к введению арифметического действия или действий заключается в создании предметно-деятельностной основы арифметических действий, которая реализуется в действиях с группами предметов (теоретико-множественный подход) и с предметами по заданной величине (величинный подход), в «прошагивании» по ряду чисел, включающему число 0 и натуральный ряд (порядковый подход). Здесь необходимо уточнение, углубление представлений о числе, актуализация способов предметных действий, решение с их помощью текстовых задач, соответствующих арифметическому действию.

Основными задачами уроков введения арифметического действия (или действий) и формирования смыслов изучаемого действия являются: создание положительной мотивации к изучению действия, выделение, выполнение и обозначение новым действием предметных действий, лежащих в основе вводимого арифметического действия; овладение учащимися терминами и способами символьного обозначения и словесного описания действия; включение нового арифметического действия в систему имеющихся числовых представлений.

Положительные мотивы к изучению действия могут быть сформированы через эмоциональное проживание детьми арифметического действия как краткого и быстрого способа сохранения и передачи информации о действии с предметами, как средства обогащения письменной речи, как расширения возможностей общения, как средства моделирования задачных ситуаций, средства получения новой информации. Предметом интереса детей можно и должно сделать свойства действий, особенности поведения отдельных чисел по отношению к арифметическим действиям, необычные способы вычислений, числовые последовательности, построенные на закономерностях, выражаемых на языке арифметических действий. Это возможно через раскрытие смыслов арифметических действий, через возможность порождения собственных, личностных смыслов.

Напомним: арифметические действия - это математические операции на числовом множестве (в начальной школе на множестве целых неотрицательных чисел). Операция – соответствие между множеством пар чисел из числового множества и элементами этого же множества. Соответствие может быть задано перечислением и характеристическим свойством. Такие свойства закладываются в определение действия. В записи это обозначается знаком действия. В записях 3 + 4, 17 – 9, 25 ∙ 7, 12 : 6, 17 : 5 операции заданы, так как указаны конкретные пары чисел, а знак указывает на способ получения соответствующего числа. В равенствах 3 + 4 = 7, 17 – 9 = 8, 25 ∙ 7 = 175, 12 : 6 = 2, 17 : 5 = 3 (ост.2), соответствующее число или числа заданы не только характеристическим свойством, но и перечислением.

Заметим, что на начальном этапе освоения арифметического действия, а также при изучении свойств, при обобщении некоторых характеристик действия полезно использование придуманных детьми условных обозначений чисел, например: ⌂ + ○; ⌂ – ○ = ◊, ⌂ + ○ = ○ + ⌂ или ☼ +☺; ☼ +☺=☻. Такие записи позволяют рассматривать действие и его свойства тогда, когда дети еще не могут записать нужные числа, а также когда конкретная числовая характеристика групп предметов или предмета не может быть точно определена, когда нужно показать общий вид выражений и равенств. К тому же такие условные знаки несут в себе эмоциональную составляющую их авторов или «выборщиков».

Свойства арифметических действий могут быть открыты учащимися в процессе учебно-исследовательской деятельности, организованной учителем. Важно, чтобы каждое свойство явилось решением принятой учащимися проблемы, ответом на вопрос, который возник у них. Это может быть тогда, когда с первых дней обучения учим детей замечать и выявлять сходство и различия между любыми объектами, в том числе между действиями с предметами, между их записями.

Основные вопросы, которые приводят к открытию свойств арифметических действий, это вопросы о возможности замены одних выражений, а значит и последовательности арифметических действий, другими, содержащими те же числа и имеющими такое же числовое значение, что и исходное выражение, но другие действия или другую последовательность действий.

Перечень свойств арифметических действий (на множестве натуральных чисел и нуля), может быть таким:

• свойства связи отношений «(непосредственно) следовать за» и сложения и вычитания: a +1 = а′ и а′ – 1 = a (если к числу прибавить 1, то получится следующее за ним число, если вычесть 1, то получится предыдущее число); • переместительное свойство сложения, умножения 3 + 4 = 4 + 3, a + b = b + a, ab = ba; • сочетательное свойство сложения (a + b) + c = a + (b + c), умножения (ab)c = a(bc) или в форме правил прибавления числа к сумме и суммы к числу, умножения числа на произведение и произведения на число; • правила вычитания числа из суммы и суммы из числа: (7 + 9) – 5 = (7 – 5) + 9 = 7 + (9 – 5), 9 – (4 + 3) = 9 – 4 – 3; • правила деления произведения на число и числа на произведение: (12  8) : 4 = (12 : 4)  8 = 12  (8 ; 4), 24 : (3  4) = (24 : 3) : 4; • правило деления суммы на число: если ac и bc (- нацело делится), то (a + b) : c = a:c + b:c, (60 + 12) : 6 = 60 : 6 + 12 : 6; • распределительное свойство умножения относительно сложения (3 + 4)  5 = 3  5 + 4  5, 5  (3 + 4) = 5  3 + 5  4 или в форме правил умножения суммы на число и числа на сумму: (3 + 4)  5 = 3  5 + 4  5, 5  (3 + 4) = 5  3 + 5  4; • правило умножения разности на число: (13 – 5)  2 = 13  2 – 5  2; • свойства, отражающие связь сложения и вычитания, умножения и деления: a + b = c ↔ c – b = a и c – a = b; a : b = q ↔ a = bq и a : q = b, a : b = q (ост. r), r < b ↔ a = bq + r; • зависимости между изменением компонентов и результата действия: a + b = c (a ± d) + b = c ± d (если одно слагаемое увеличить (уменьшить) на какое-то число, то и сумма увеличится (уменьшится на это же число); a + b = c ↔ (a + d) + (b – d) = c (если одно слагаемое увеличить, а другое уменьшить на одно и то же число, то сумма не изменится); a – b = c ↔ (a ± d) – (b ± d) = c (если уменьшаемое и вычитаемое увеличить (уменьшить) на одно и то же число, то разность не изменится); ab = c ↔ (a:d)  b = c:d; ab = c ↔ (a:d)(bd) = (ad)(b:d) = c; a : b = q ↔ ad : b = cd; • свойства деления с остатком: деление с остатком выполнимо для любых чисел (кроме деления на нуль); остаток меньше делителя; делимое равно сумме произведения частного на делитель и остатка.

Если присмотреться к равенствам, выражающим свойства арифметических действий, то мы обнаружим, что есть много общего в свойствах сложения и умножения, деления и вычитания. Здесь проявляется «принцип двойственности¹⁹, …, заключающийся в том, что каждому верному утверждению этого раздела отвечает двойственное утверждение, которое может быть получено из первого путём замены входящих в него понятий на другие, т.н. двойственные им понятия».

Принцип двойственности одна из важных содержательных идей математики, которая значительно расширяет возможности познания. Идея двойственности обнаруживается детьми, если изучение нового действия, свойств этого действия учитель будет организовывать на основе уже изученных действий, побуждая детей к прогнозированию свойств, проверке прогнозов, например, с помощью простых вопросов и заданий о сходстве и различии: «Чем похоже вычитание на сложение? Чем отличается?», … «Чем похоже деление на другие арифметические действия, которые ты знаешь? Чем похоже деление на вычитание? Чем деление отличается от вычитания?», «Вы знаете, что сложение обладает переместительным и сочетательным свойствами. Сформулируйте такие же свойства для умножения. Проверьте их справедливость на нескольких примерах», «Сформулируйте переместительное и сочетательное свойства для деления. Проверьте их справедливость на нескольких примерах».

7.3.3. Изучение сложения и вычитания. Содержание изучения действий существенно зависит от подхода к понятию числа, которого придерживается учитель, от смыслов которые он вкладывает в это понятие. Будем следовать универсальному подходу, рассматривая с учащимися число во всех основных его смыслах.

Теоретико-множественный смысл действия сложения на доступном для учащихся языке может быть представлен через задачи, описывающие соответствующие предметные действия и рисунки к ним (рис. 7.7). • На одной тарелке 4 яблока, а на другой 3. Сколько яблок на двух тарелках? (Задача на нахождение суммы). • На одной тарелке 4 яблока, а на другой на 3 яблока больше. Сколько яблок на другой тарелке? На одной тарелке 4 яблока, что на 3 яблока меньше, чем на другой. Сколько яблок на другой тарелке? (Задачи с отношениями «больше (меньше) на», в которых неизвестно большее число.); • На одной тарелке 4 яблока, а на другой 3 яблока. Сколькими способами можно выбрать один фрукт? (Комбинаторные задачи, задающие правило суммы подсчета числа комбинаций).

Рис. 7.7.

Задачи раскрывающие теоретико-множественный смысл действия вычитания. а) На тарелке было 4 яблока, 3 яблока съели. Сколько яблок осталось? (Нахождение остатка (разности)); б) На одной тарелке 4 яблока, а на другой на 3 яблока меньше. Сколько яблок на другой тарелке? На одной тарелке 4 яблока, это на 3 яблока больше, чем на другой. Сколько яблок на другой тарелке? На одной тарелке 4 яблока, а на другой 3 яблока. На сколько яблок на первой тарелке больше, чем на второй? На сколько яблок на второй тарелке меньше, чем на первой? (Задачи с отношениями «больше (меньше) на») с неизвестным меньшим числом или на сколько одно число больше или меньше другого (на разностное сравнение. (Рис. 7.8 а, б).

Рис. 7.8

Смыслы сложения и вычитания, основанные на понятии величины, выражают операции объединения и удаления объектов, обладающих длиной, площадью, объемом, массой и других величин, что может быть показано практическим действием или рисунком (рис. 7.9)

Рис. 7.9

Порядковые смыслы сложения и вычитания проявляется в последовательном переходе от первого слагаемого к непосредственно следующему за ним числу, от него к следующему столько раз, каково второе слагаемое. Вычитание может быть задано как последовательный переход от уменьшаемого к предыдущему столько раз, каково вычитаемое. При введении сложения и вычитания этот смысл представляют правилом, которое формулируется в результате наблюдения за положением числа, к которому с помощью действий с предметами прибавляется единица (из которого вычитается единица) и результатом этих действий: «Если к числу прибавить единицу, то получится следующее число; если из числа вычесть единицу, то получится предыдущее число».

Подготовке к введению сложения и вычитания способствуют упражнения в действиях с предметами, соответствующих вводимым действиям, и сопровождающем эти действия счете предметов и мерок при измерении величин в простейших случаях. Например, счет шагов при ходьбе (измерение длины пути), счет одинаковых между собой треугольников, прямоугольников, из которых составлена фигура (измерение площади), счет стаканов воды, наливаемой в банку или выливаемой из нее, движений секундной стрелки на циферблате и т.п. Полезен счет двойками, тройками, четверками, пятерками.

Возможные виды предметных действий, соответствующих сложению и вычитанию могут быть такими.

• Положите слева 3 кубика. Положите ниже карточку с нужной цифрой. Положите справа 5 кубиков. Положите карточку с цифрой. Объедините кубики, придвинув их друг к другу. • Найдите полоску длиной в 3 единицы длины (3 мерки, состоящую из трех равных частей) и полоску в 5 таких же единиц длины. Составьте из этих двух полосок одну длинную. Что обозначают числа 3 и 5 для кубиков? … Для полосок? … Что сделали с кубиками? … Что сделали с полосками? …

• Сосчитайте все треугольники. (8) Сосчитайте все красные треугольники. (3) Уберите их в конверт. • В этой банке 8 стаканов воды. Выливаем 3 стакана воды. Обозначьте цифрами.

Ведение сложения и вычитания. Особенностью арифметических действий, в том числе сложения и вычитания, побуждающих детей к их изучению, является возможность во много крат сократить запись информации. Чтобы показать это учащимся, во время выполнения учащимися заданий, приведенных выше, на доске появляется текст: • Положили слева 3 кубика. Положили справа 5 кубиков. Объединили кубики. • Взяли полоску длиной в 3 единицы длины и полоску длиной в 5 таких же единиц длины. Составили из двух полосок одну длинную. (Если вычитание вводится одновременно со сложением, то в тексте будут также предложения вида: «Было 8 треугольников. 3 треугольника убрали», «Было 8 стаканов воды. Вылили 3 стакана»). Ниже записаны (или выложены карточками) цифры: 3 5 (8 3).

- На доске записано, что вы делали только что с кубиками, с полосками, (с треугольниками, с водой). Легко ли вам прочитать этот текст? (Нелегко.) – Но если использовать язык математики, то можно записать это гораздо короче. Может, кто уже знает, как принято обозначать наши действия в математике? Вместе с детьми конструируем образец записи (вначале только выражение): 3 + 5 (8 – 5).

- Эта запись заменяет весь этот текст. Сколько знаков в математической записи? (Всего 3. При одновременном введении и вычитания – 6.) - А в тексте сколько знаков?

Если запись сделана на интерактивной доске, то с помощью выделения текста легко определить число знаков: 163 (или с вычитанием 236!): 163! (или 236!) против 3-х (или 6-ти!) Более чем в 50 (почти в 40 раз) математическая запись короче! Это открытие может быть точкой удивления, которая придаст эмоциональную окраску изучаемому, усилит интерес к нему.

- Возможно, что кто-то из вас уже знает, как принято читать эту запись и что она означает? (Вначале говорят дети, а потом учитель.) – Запись 3 + 5 принято читать «к трем прибавить пять» (и «из восьми вычесть пять»). Прочитайте еще раз вместе со мной. … Означает эта запись, что было 3 предмета и 5 предметов, и их объединили (Было 8 предметов, 5 из них взяли, убрали). Или, что из двух полосок длиной в 3 и 5 единиц длины составили одну полоску, длиной 3 да 5 единиц длины. Говорят также, что 3 + 5 – это запись действия сложения (8 – 5 – это запись действия вычитания).

Далее организуется выполнение заданий трех видов на выработку умений переходить от предметных действий к действиям с числами и от действий с числами к предметным действиям: (1) демонстрируются предметные действия (педагогом, учащимися, на рисунках в учебнике или рабочей тетради, на интерактивной доске), а учащиеся обозначают их соответствующими числовыми выражениями, читают выражения; (2) называются или показываются числовые выражения (к четырем прибавить два, из четырех вычесть три, 4 + 2; 4 – 3), а учащиеся выполняют действия с предметами, рисуют или выбирают изображения предметных действий, которые могли бы быть обозначены сложением (вычитанием); (3) устанавливается соответствие между изображением предметных действий и числовыми выражениями (рисунки и выражения могут быть в пособиях, на отдельных листах, на доске, интерактивной или обычной; это могут быть два набора карточек – с рисунками предметных действий и с числовыми выражениями либо карточки по типу домино).

Обратим внимание на несколько важных моментов. Хотя знакомство со сложением и вычитанием происходит при изучении чисел первого десятка, полезно рассматривать ситуации, обозначаемые сложением и вычитанием, не только с числами первого десятка, но и с числами других числовых множеств. Например, учитель показывает одну шкатулку с 14 пуговицами, а другую с 26 такими же пуговицами. На каждой шкатулке крупно написано соответствующее число. Нужно выложить карточками с цифрами такие же числа у себя на партах. Затем пересыпает пуговицы из второй шкатулки в первую и просит учащихся положить карточку с соответствующим знаком между числами. Получилась запись: 14 + 26. С помощью учителя дети читают запись, говорят, что она обозначает.

На начало введения арифметического действия предметные действия обозначаем числовым выражением или числовым выражением и равенством. Равенство требует называния и записи конкретного числа, результата действия, тогда как способами его нахождения кроме предметных действий и счета, дети еще не владеют. Числовое выражение не называет число, результат действия, но задает знаком действия способ его получения. В этом случае мы получаем возможность рассматривать действие для любых чисел и действий с любыми предметными моделями действия. Это важно для формирования смыслов действия. Учащиеся получают также возможность определить границу применимости вычислений с помощью предметов, что мотивирует их на изобретение способов и алгоритмов без действий с предметами.

На первом этапе изучения действий необходимо сосредоточить внимание детей на вопросах «Что такое «сложение»?», «Что такое «вычитание?». Здесь предпочтительнее запись действия числовым выражением. Когда ответы на вопросы «Что …?» будут поняты и присвоены, можно переходить к вопросу «Как найти результат действия (значение суммы, разности)?». Теперь сложение и вычитание могут записываться и проговариваться как равенства.

Перед переходом к равенствам и нахождению результатов и записи равенствами подводим промежуточный итог, предоставляя учащимся возможность показать, как они понимают сложение (и вычитание, если действия вводятся на одном уроке).

- Итак, вы теперь знаете, как обозначать действия с предметами сложения чисел. Покажите, как вы умеете это делать. Прочитайте математические записи и скажите, что может означать каждая: 3 + 2, 1 + 3, 5 + 8, 10 + 4, 1000 + 5000, Ω + ☼ . (На доске соответствующие рисунки, например, к записи 1000 + 5000 рисунок двух денежных купюр, к записи «волшебными» цифрами – два контейнера с грузом на железнодорожной платформе, с указанием массы в тоннах Ω и ☼. ).

- Вы правильно говорили: что сложением обозначают ситуации, когда что что-то к чему-то добавили, объединили. А как обозначить, что получается в результате таких действий? - Наблюдайте за движением Димы, измеряйте вместе с ним длину каждой части пути, считая шаги. (Дима делает 4 шага от парты к доске, останавливается, затем делает еще 3 шага к окну). - Запишите действие. ( 4 + 3 ). – Дима, пройди еще раз, считая все шаги. Сколько шагов всего? ( 7 ) – Как это записать? Дополните запись того, что делали, результатом действия. (После предложений детей, записываем: 4 + 3 = 7. – Прочитайте это равенство. (С помощью учителя читают: «К четырем прибавили три и получили семь».)

Далее дети выполняют задания названных выше видов (1), (2) и (3). В случае, когда число предметов в объединении или количество мерок при измерении величины можно сосчитать, учащиеся записывают равенства, в иных случаях записывают только выражения.

В этот же период вводятся термины слагаемое, слагаемое, сумма; уменьшаемое, вычитаемое, разность. Введение терминов полезно предварить беседой об именах. Каждый из нас имеет множество имен, названий. Одна группа имен – это имена собственные: Таня, Лена, Валентина Сергеевна. Имена даются также по тому, что мы в делаем – велосипедист, пешеход, пассажир, прохожий, читатель; по роду занятий и профессии – педагог, учащийся, портной, токарь, пилот и многим другим основаниям – человек, служащий, друг, сестра, дочь, внук.

Если этот подход применить к числам, то имена собственные – это «один», «два», «триста семьдесят» и т.д. Участие чисел в арифметических действиях и выполнение ими определенных функций или ролей позволяет дать им названия в соответствии с этими функциями. Пусть вначале дети предложат свои названия, обоснуют их. Можно даже конкурс объявить! Только в контексте собственного словотворчества общепринятые термины будут для детей «живыми», запоминающимися, эмоционально окрашенными.

Когда учащиеся свободно будут переходить от предметных ситуаций к обозначению сложением и вычитанием и наоборот, актуальным станет вопрос «Как найти результат сложения, вычитания без рисунков, счета на пальцах, измерения?»

В этот же период уже нужно начинать включение детей в планирование своей учебной работы, побуждать к рефлексии учения, его результатов, т.е. формировать учебную деятельность, постепенно, по мере овладения соответствующими УУД, переводить от управляемой извне учебной деятельности к самостоятельной.

Например, после введения сложения и вычитания спрашиваем:

- Вы теперь знаете, что такое сложение, что такое вычитание? (Да.) – Все, все знаете о сложении? О вычитании? (Нет, не все.) – Как вы думаете, что еще надо бы знать об этих действиях? Что уметь? … - На какие вопросы о сложении и о вычитании вы хотели бы получить ответы? Чему научиться? …

На основе этого диалога, во время которого учитель записывает доске вопросы детей, их предложения, организует обмен мнениями, учащиеся с участием учителя как организатора и носителя знания о существующих договоренностях, выстраивают последовательность изучения сложения и вычитания.

Следующая педагогическая задача – формирование навыков табличных вычислений, а учебная задача учащихся – научиться находить результаты сложения и вычитания, сумму и разность (значение суммы и значение разности), объяснять вычисления, проверять себя, планировать дальнейшие действия.

Изучение свойств сложения и вычитания. Особенность изучения свойств сложения и вычитания заключается в том, что это первые арифметические действия, с которыми знакомятся дети. Свойства действий рассматриваются в период освоения предметного смысла действий и обосновываются этими предметными, интуитивно понятными свойствами действий. Все свойства могут быть открыты детьми в процессе организованных учителем учебных действий. Важно, чтобы формулировки свойств и записи не были громоздкими.

Многие вычисления в первом классе, особенно в первом полугодии, выполняются способами, в которых известные свойства проявляются на интуитивном уровне. Эти свойства представляются с участием детей в доступной для них форме. Например, способы сложения и вычитания единицы, по единице, по частям: 3 + 4 = 3 + 1 + 1 + 1 + 1 = 3 + 2 + 2; 7 – 4 = 7 – 2 – 2 = 7 – 1 – 3.

Первыми свойствами, доступными учащимся, могут быть свойства, связывающие понятия «следующий», «предыдущий» («непосредственно следующий за») с действиями сложения и вычитания. Это свойства натурального ряда, которые проявляют порядковый смысл числа в арифметических действиях, которое мы формулировали выше. Предшествует этому изобретение способов быстрого счета предметов в объединении двух групп предметов, например, присчитывание к известному числу предметов одной группы предметов другой: ⌂⌂⌂⌂⌂⌂ - 6 ⌂ 7⌂ 8 ⌂ 9. Предметов 9.

Следствием этого способа является нахождение результатов сложения и вычитания «прошагиванием» по натуральному ряду вначале единичными шагами, а затем шагами и иной длины (сложение, вычитание группами).

Обнаружить переместительное свойство сложения или перестановку слагаемы учащиеся могут в нескольких ситуациях.

1. Вычисляют с помощью предметных действий значения пар вида 4 + 3 и 3 + 4. Устанавливают сходство и различия. Высказывают предположения о значении других подобных сумм, проверяют предположение, вычисляя значения доступными способами.

2. В процессе выполнения предметных действий объединения двух групп предметов, двух предметов, веществ, устанавливается, что при изменении местоположения частей или порядка, в котором происходит объединение, количественная характеристика результата объединения не меняется. Обозначив предметные действия числовыми выражениями, получаем два выражения с разным порядком слагаемых и одинаковыми значениями.

3. Двое учащихся, находящиеся по разные стороны стола, обозначали сложением (суммой двух слагаемых) количество предметов находящихся на столе (Чекин А.Л. Математика, 1 кл. 2011) и получили два разных выражения: 3 + 4 и 4 + 3. Ставя себя в позицию каждого, дети убеждаются, что обе записи правильно обозначают одну и ту же ситуацию, количество одних и тех же предметов. На этом основании 3 + 4 = 4 + 3. Так как на стол можно положить любое другое количество предметов, например, Ω и ☼, то Ω + ☼.= ☼ + Ω, где Ω и ☼ - произвольные числа.

Важной характеристикой сложения и вычитания является то, что этими действиями выражаются отношения «больше (меньше) на». Любое из равенств вида a + b = c и m – n = k задает отношения, в которых участвуют три числа: большее, меньшее, и число, отвечающее на вопрос на сколько одно число больше (меньше) другого. Если задано равенство, например, 5 + 3 = 8, то числами, связанными отношением «больше (меньше) на» могут быть числа 5 и 8, а число 3 будет показывать, на сколько 5 меньше 8-ми, а 8 больше 5-ти, или 3 и 8, тогда 5 будет показывать, на сколько 3 меньше 8-ми, а 8 больше 3-х.

Другие свойства действий сложения и вычитания также могут быть открыты учащимися при соответствующей организации. Для обнаружения свойств большое значение имеет направленность заданий на сравнение, классификацию, наблюдение за изменениями. С введением действий умножения и деления изучаются правила порядка действий, распределительное свойство умножения относительно сложения, правило деления суммы, разности на число, произведения на число, числа на произведение и другие свойства, относящиеся к одному или нескольким свойствам.

Дальнейшее расширение и углубление знаний о сложении и вычитании связано с расширением числовых множеств и переносом на них ранее изученных приемов, алгоритмов, терминов, свойств, с изучением свойств и овладением вычислительными умениями, с обогащением терминологии названиями свойств (сочетательное свойство, распределительное свойство), названиями разрядов и классов, именами многозначных чисел, характеристиками чисел.

7.3.4. Изучение умножения и деления. Вначале напомним основные смыслы умножения и деления.

Теоретико-множественные смыслы действий умножения и деления представим текстовыми задачами и рисунками к ним. а) «На одной тарелке 4 яблока. Сколько яблок на 3-х таких тарелках?» (рис. 7.10 а); б) В шахматном турнире участвовало 3 команды, каждая из которых включала 4 шахматиста - кандидата в мастера спорта и шахматистов 1, 2 и 3 разрядов. Сколько всего шахматистов участвовало в турнире?»; в) «На одной тарелке 4 яблока, а на другой в 3 раза больше. Сколько яблок на другой тарелке?», «На одной тарелке 4 яблока, это в 3 раза меньше, чем на другой тарелке. Сколько яблок на другой тарелке?» (задачи с отношениями «больше (меньше) в … раз», в которых неизвестно большее число) (рис. 7.10, в); г) Сколькими способами можно составить пару «конверт, марка», если имеется 3 вида конвертов и 4 вида марок? (задачи на подсчет числа комбинаций, правило произведения) (рис. 7.10, г).

Рис. 7.10

Деление чисел в теоретико-множественном смысле возникло как обозначение двух видов практического деления группы предметов на равные по количеству предметов части, которые в методике обучения математике называют деление по содержанию и деление на равные части. Деление по содержанию: группу предметов делят на части по заданному одинаковому количеству предметов в каждой части и требуется узнать, сколько таких частей образуется. Деление на равные части: группу предметов делят на заданное число равных (по количеству предметов) частей и требуется узнать, по сколько предметов будет в каждой части.

Предметное действие деление по содержанию – это последовательное откладывание по заданному количеству предметов до тех пор, пока все предметы не окажутся разложенными или пока не останется предметов меньше, чем должно быть в одной части. Процедура откладывания соответствует предметному смыслу вычитания и может быть обозначена вычитанием. Деление выступает как более короткая запись

1 Микулина, Г. Г. Обобщение знаний по математике с помощью сказочных цифр / Г. Г. Микулина. – Начальная школа, 1986. - № 6 - С 25-29..

2Математика. Виленкин Н.Я., Пышкало А.М. и др. М., 1977.

3Ондар Ч. Этнокультурные аспекты в формировании числовых представлений // Начальная школа. 2010. № 11. – С.

4 Федеральные государственные требования к структуре основной общеобразовательной программы дошкольного образования. Приказ Минобрнауки РФ от 23 ноября 2009 г. № 655 http://www.rg.ru/2010/03/05/obr-dok.html Дата обращения 26.10.2011

5Пиаже Ж. Избранные психологические труды, М., 1994.

6 Менчинская Н.А. Психология обучения арифметике. – М., 1955. Менчинская Н. А. Психология усвоения знаний в школе. М., 1959. Менчинская Н. А., Моро. М. И. Вопросы методики и психологии обучения арифметике в начальных классах. – М., 1965.

7Костюк Г. С. Про генезис понятия числа у детей / Науковi записки, Т. 1. НИИ психологии, Киев, 1949

8Л. С. Цветкова. Нейропсихология счета, письма и чтения: нарушение и восстановление, М., 2000;

9Л.Ф. Магницкий. Арифметика. 1703 / http://www.math.ru/lib/176Дата обращения 29.09.2011

10 Галанин Д.Д. История методических идей по арифметике в России. Часть I. ХVIII век. М., 1915.

11Галанин Д.Д. Введение в методику арифметики Москва, 1911.

12Курганов С.Ю. Ребенок и взрослый в учебном диалоге. М., 1988; Берлянд И.Е. Загадки числа. М..1996

13Башмаков М.И., Нефедова М.Г. Математика. 1 класс. Ч. 1. М, 2006

14Чекин А.Л. Математика. 1 класс. Ч.1. М., 2010

15 Санитарно-эпидемиологические правила и нормативы СанПиН 2.4.2.2821-10. http://www.rg.ru/2011/03/16/sanpin-dok.htmlДата обращения 4.12.2011.

16См. Ондар Ч. Этнокультурные аспекты в формировании числовых представлений // Начальная школа, 2010. - № 11. – С. 104 – 107; Царева С.Е. Стихи, загадки, пословицы, поговорки, сказки в начальном обучении математике Новосибирск, 1998.

17Лысенкова С.Н. Когда легко учиться. – М.: 1985.

18Оценка достижения планируемых результатов в начальной школе. Система заданий. В 2 ч. Ч. 1/ [М. Ю. Демидова, С. В. Иванов и др.]; под ред. Г. С. Ковалевой, О. Б. Логиновой - М. 2011. С. 58

19 http://slovari.yandex.ru/~книги/БСЭ/Двойственности принцип/.