7.2. Формирование понятия числа у младших школьников

7.2.1. Становление и развитие числовых представлений дошкольников. Говоря о формировании понятия числа младших школьников, мы имеем в виду начальный период этого процесса, в котором происходит уточнение, обогащение и развитие дошкольных представлений о числе, а сами представления рассматриваются как необходимая начальная форма понятия числа в сознании человека.

Чтобы учитель мог эффективно развивать формировать понятие числа у младших школьников, ему необходимо знать, какие числовые представления и как могут формироваться у дошкольников в повседневной жизни и при реализации основной образовательной программы дошкольного образовательного учреждения в соответствии с Федеральными государственными требованиями (ФГТ) к структуре основной общеобразовательной программы дошкольного образования.⁴Учет содержания и уровня числовых представлений, полученных в дошкольном возрасте, опора на субъектный опыт детей особенно важны в первом классе, где закладывается фундамент понимания числа, отношение к числам и математике в целом. Включение субъектного дошкольного опыта познания чисел в процесс изучения чисел первоклассниками – необходимое условие поддержания интереса к познанию и формирования умения учиться.

У современного ребенка числовые представления складываются задолго до поступления в школу. Современная жизнь такова, что каждый день в обычных повседневных делах, в организации деятельности и окружающего пространства мы обращаемся к числам в самых разных смыслах и формах. Это обращение к числам проявляется и в общении с детьми. Используя числа, взрослые разговаривают с ребенком о возрасте («Тебе уже 1 годик, 2 года, 3 года. …»), о времени начала чего-либо и временной длительности («Мультики начнутся в 9 часов, через 5 минут», «Гулять будем 1 час»), о количестве продуктов или других товаров при посещении магазина (2 плитки шоколада, 200 г конфет, 2 килограмма яблок, набор из 5 машинок), о цене и общей стоимости покупок, о количестве детей в группе детского сада, о количестве друзей, гостей и т.д. и т.п.

В разговорах взрослых между собой в присутствии детей числа также употребляются часто. Произведения детской литературы изобилуют числами. Например, в сказках есть «исполню три желания», «три девицы под окном пряли поздно вечерком», «три сына», «Змей Горыныч о семи головах», «тридцать три богатыря» и т.п. Кроме того, издается множество учебно-познавательной литературы для формирования числовых представлений у дошкольников.

Формирование числовых представлений дошкольников можно рассматривать с позиций развития речи и с позиций логического развития детей. С позиций развития речи можно утверждать, что овладение детьми родным языком является в то же время и процессом овладения числовыми представлениями. Русский язык, как и другие языки, содержит огромное количество слов и грамматических средств выражения количественных и порядковых отношений, обозначением которых являются и числа. Основные группы слов – это числительные и слова, которые не являются числительными, но лексическое значение которых содержит степень количества или порядковый смысл. Слова этих групп входят в состав всех языков, в том числе в русский язык. Обогащение словаря детей словами и группами слов много, мало, сколько, столько же, несколько, толще–тоньше, громче-тише, глубже-мельче, волчище, зайчонок, зайчик; ребенок, взрослый, старик; плестись, идти, бежать, мчаться; говорить, кричать, орать; далеко, близко; высоко, низко; около, вдали формирует у детей представления об общих характеристиках количества и количественных отношений, обозначениями которых выступает число.

Включение в пассивную, а затем и в активную лексику слов и словосочетаний следующий, предыдущий, стоять (идти) за (кем-то, чем-то), слева, справа, дальше- ближе, выше-ниже, левее-правее необходимое условие формирования порядковых смыслов числа. Правильное использование ребенком в речи числительных один, два, двенадцать, сто и т.п., а так же первый, второй т.д., два шага, тысяча рублей, пять килограммов и т.п. говорит уже о наличии определенных представлений о числе как о способе конкретизации количественных и порядковых характеристик объектов окружающего мира. В старшем дошкольном возрасте, особенно в предшкольном, числа уже могут выступать как самостоятельный объект познания, как элемент формальной логической структуры с определенными правилами. В этот период уже могут быть рассмотрены простейшие числовые ряды, установлены простейшие закономерности, на числовом материале могут строиться логические задачи.

Вопрос о том, как возникают и развиваются числовые представления у детей, интересовал многих ученых, прежде всего психологов. Самое масштабное исследование было проведено под руководством Ж. Пиаже (1896 – 1980). Его результаты представлены в известной работе «Генезис числа у ребенка».⁵Искала ответ на тот же вопрос и Н.А. Менчинская (1905 – 1984), опубликовавшая результаты этих поисков в ряде своих работ⁶.

Экспериментальное исследование становления числовых представлений у детей провел Г. С. Костюк⁷. Свое понимание процесса формирования числовых представлений у детей высказывали в своих работах П. Я. Гальперин, В. В. Давыдов и др. Обзор взглядов на происхождение понятия числа у детей и собственная точка зрения по этому вопросу представлены в работе Л. С. Цветковой⁸. Кратко резюмируя материалы этих исследований можно сказать следующее.

Возникновение и развитие числовых представлений у дошкольников тесно связано с развитием интеллекта и в целом с развитием психики. В раннем детстве развитие понятия числа у ребенка повторяет определенные этапы развития этого понятия в истории человечества, но на этот процесс накладывает отпечаток тот факт, что в социуме числа активно используются, в том числе как элемент языка для коммуникаций и познания. Первоначально число представляется детям как некоторая характеристика объектов, неотделимая от них. И потому в раннем и младшем дошкольном возрасте словосочетания «два глаза», «два уха», «две руки», «две игрушки» воспринимаются как неделимые. С накоплением речевого опыта и обогащением лексики число отделяется от конкретных предметов и начинает выполнять свои основные функции – функции обозначения количественных и порядковых характеристик предметов и групп предметов. До пяти предметов дети обозначают числом без счета.

П.Я. Гальперин и В.В. Давыдов придавали большое значение связи числа с измерением величин и потому полагали, что целенаправленное формирование числовых представлений, в том числе и у дошкольников, должно исходить из «величиной» природы числа, из понятия величины и измерения. При этом счет предметов рассматривается как измерение количества, где меркой является отдельный предмет или группа предметов (счет двойками, тройками, десятками, …).

В настоящее время все программы дошкольного образования предусматривают овладение дошкольниками измерением в некоторых простейших практических ситуациях с помощью произвольной мерки. Дети измеряют длину пройденного пути шагами («5 шагов от стола до окна»), объем жидкости и сыпучих веществ стаканами («налил в банку 4 стакана воды»), ложками («в чай положила 2 чайных ложки сахара») и т.п.

Важную роль при формировании числовых представлений у дошкольников и младших школьников исследователи, в частности Л.С. Цветкова, Л.В. Занков, отводят смыслам числа, задаваемым позиционной десятичной системой счисления. Как известно, для того чтобы назвать какое-либо число достаточно знать названия чисел от 1 до 9 (один, два, …), названия разрядных единиц десять, сорок, девяносто, сто, тысяча и др., способы образования названий чисел второго десятка один-на-дцать, две-на-дцать, …, названий круглых чисел два-дцать, три-дцать, …, две-сти, три-ста, …, девят-сот, составных числительных двадцать один, срок пять, сто тридцать семь, …. В указанных способах проявляется аддитивно-мультипликативный способ образования чисел, на котором строится десятичная система счисления. Так как формирование представлений о числе неизбежно связано с овладением способами обозначения чисел в устной речи и на письме, то освоение дошкольниками числительных, включение их в активный словарь, соотнесение с соответствующими действиями с предметами создает базу для развития числовых представлений и начала формирования понятия числа у учащихся начальной школы.

Каждый ребенок до школы проходит свой собственный путь освоения и присвоения понятия числа в результате естественной самостоятельной познавательной активности и через взаимодействие с взрослыми, с социумом. Этот путь у разных детей имеет как различия, так и общие характеристики. В первый класс дети приходят уже с определенным, часто достаточно богатым запасом числовых представлений. Существующие программы математического развития дошкольников, реализуемые в дошкольных образовательных учреждениях, предусматривают значительный объем работы с числом.

Если ребенок посещал детский сад, то, скорее всего, он умеет называть числа по порядку, как минимум, в пределах десяти, знает все цифры, умеет вести счет предметов, для некоторых или для всех пар чисел первого десятка знает, какое из двух данных чисел больше, а какое меньше, умеет в устной речи и цифрами на карточках правильно обозначать числами первого десятка количество предметов в группе, результат измерения длины, объема сыпучих и жидких веществ, использует в речи числовые значения длины, массы, времени, скорости в знакомых ситуациях. Во многих дошкольных образовательных учреждениях формируют первоначальные представления о сложении и вычитании на основе соответствующих действий с предметами.

Большинство современных детей 6 – 7 лет активно используют в своей речи как количественные, так и порядковые числительные, причем не только обозначающие числа первого десятка, но и другие, которые слышат в речи взрослых. Так дети могут называть возраст родителей (26 лет, 35 лет), стоимость игрушечного и настоящего автомобиля (250 рублей, 850 тысяч рублей), стоимость других товаров (велосипед стоит 2 тысячи рублей), скорость автомобиля (60, 100 километров в час) и многое другое. Они пользуются числами и для повышения убедительности: «Тысячу раз уже видела», «Мой папа в сто раз сильнее твоего» и т.д. Очень широко используются числа в тематических сюжетно-ролевых играх детей: «Магазин», «Больница», «Школа» и т.п.

В центрах развития и подготовки детей к школе также много внимания уделяют формированию числовых представлений. С некоторыми детьми математикой занимаются родители, бабушки и дедушки и познания таких детей могут охватывать значительную часть содержания учебного материала первого класса. Если работа ведется профессионально, а дети обладают достаточным уровнем соответствующих способностей, то еще до поступления в школу они без труда могут научиться складывать и вычитать, и даже умножать и делить числа в простых случаях на интуитивном уровне. Некоторые из детей понимают дроби, отрицательные числа. Однако, в первый класс приходят также и дети, которые не прошли дошкольный этап образования ни в детском саду, ни дома. При поступлении в первый класс такие дети не всегда могут назвать числа по порядку даже в пределах пяти, хотя и используют некоторые числа в речи в известных им ситуациях.

Таким образом, объем, уровень и качество числовых представлений детей, поступающих в первый класс, может иметь значительные различия. Именно поэтому учитель всегда испытывает трудности в обеспечении такого содержания и организации изучения чисел, которые смогли бы обеспечить развитие числовых представлений у всех первоклассников и при этом выстроить изучаемый учебный материал в определенной логической последовательности.

7.2.2. Обзор существующих подходов к формированию понятия числа у младших школьников. Споры относительного того как строить изучение чисел в период начала систематического обучения ведутся на протяжении всего периода существования в России математического образования и методики обучения математике как особой области знания. Истоки современных взглядов на изучение чисел можно увидеть в нескольких подходах из истории начального обучения математике.

Один из таких подходов был реализован в первом российском школьном учебнике математики – в знаменитой «Арифметике» 1703 года Л.Ф. Магницкого⁹, в которой впервые в российской математической литературе использовалась позиционная десятичная система счисления. Сведения о числах в «Арифметике» сообщались без пояснений и обоснований. Определенной наглядной основой было обращение к пальцам рук. Вначале были даны названия чисел от 1 до 9 и числа 0 («персты») и обозначения цифрами десятичной системы, затем названия и обозначения чисел 10, 20, 30 и т.д. до 200 («составы»), затем 11, 13, 14. … ( «сочинения из перстов и составов» ), 1, 10, 100, 1000, 10000 и т. д. до единицы с 25 нулями, после чего были показаны примеры записи и чтения чисел из разных классов.

Арифметические действия в «Арифметике» вводились последовательно: сложение, вычитание, умножение, деление. Для каждого действия давалось формальное описание действия (например, «сложение есть два или многие числа в одно собранные … »), приводилась таблица (сложения и умножения), которую нужно было выучить наизусть («… ко умножению потребно есть последующую таблицу толь твердо в па­мяти имети, яко да коеждо число, с коимждо умножив, без всякого медления речию сказати, или написати»). После табличных случаев описывались способы выполнения действия «в столбик», примеры сюжетных текстовых задач и их арифметических решений.

Значимая и сейчас позиция по представлению чисел содержалась в учебном пособии академика, математика и механика С.Е. Гурьева (1766 – 1813). Начальные сведения о числах и арифметических действиях он представил на отрезках¹⁰, что способствовало лучшему пониманию действий учащимися. Развивая этот подход уже в начале ХХ века, Д.Д. Галанин писал, что «понятие числа получается в результате измерения и тесно связано с понятием отношения»¹¹.

Особенно остро вопрос о представлении чисел перед учащимися, начинающими изучение математики, дискутировался в ХІХ веке. Обсуждались различные варианты показа смыслов числа – на пальцах, точками, геометрическими фигурами, предметами, измерением величин. Спорили по поводу места и роли арифметических действий в формировании представлений о числе. Основные подходы: «монографический метод изучения чисел» и «метод изучения действий».

Монографический метод изучения чисел называли также методом Грубе, немецкого методиста, популяризованный в работах российского методиста В. А. Евтушевского (1836 – 1888). Согласно этому методу каждое число от 1 до 100 изучалось по одной схеме. Оно должно быть представлено на пальцах, палочках, черточками на доске и в тетради. Затем для каждого числа устанавливалось разностное и кратное отношение со всеми предыдущими числами, его получение из других чисел. Предполагалось, что рассмотрение различных способов получения каждого изучаемого числа достаточно для того, чтобы дети наизусть запомнили результаты четырех арифметических действий в пределах ста, что позволит им в потом свободно выполнять вычисления с любыми числами. Однако практика показала, что так построенное изучение чисел однообразно, оторвано от практики, вызывает, как писали критики метода, отвращение к занятиям математикой.

Основоположником метода изучения действий считают П.С.Гурьева . (1807-1884). Развитие метод получил в работах А. И. Гольденберга (1837 – 1902) и В.А. Латышева (1880—1911). Суть метода заключается в том, что изучение чисел строится по концентрам: числа первого десятка, числа второго десятка, двузначные, трехзначные и многозначные числа. В пределах каждого концентра сначала рассматривают смыслы чисел, названия и цифровые обозначения чисел – устная и письменная нумерация, отношения между числами, арифметические действия. Этот подход стал основным в российской методике. Он сохранен и в совремнных учебниках. Различия внутри подхода заключаются в выделении концентров, в наполнении понятий числа, арифметических действий, отношений между числами.

Современные подходы к формированию понятия числа у младших школьников можно характеризовать по отношению к а) роли теории числа в изучении чисел; б) выбору последовательности изучения числовых множеств; в) особенностям изучения каждого числового множества.

По характеру отношения к теории числа можно выделить несколько наиболее представленных точек зрения.

Первая. Изучение чисел с самого начала должно строиться в строгом соответствии с определенной теорией числа на доступном детям языке. Вторая. Число с самого начала изучения нужно рассматривать во всем многообразии смыслов (теоретико-множественные, порядковые, «величинные», операторные и др.), что соответствует использованию чисел в повседневной жизни и числовым представлениям, полученным детьми в дошкольном возрасте. Третья. Основные смыслы числа – это «количественные» (формализованные в теоретико-множественной теории числа) и порядковые (формализованные в аксиомах Пеано, но вполне понятные на интуитивном уровне). Поэтому именно эти смыслы должны быть положены в основу изучения.

Признание теории в качестве основы представления чисел не означает, что необходимо оперировать ее формальными теоретическими положениями. Следование теории, научность представления учебного материала нужно понимать как непротиворечивость, грамотность языка описания, обоснованность утверждений, которая в начальной школе может осуществляться не только с помощью теоретических положений, но и средствами предметных и графических моделей.

Первый подход сформировался в середине прошлого века. Тогда в отечественной методике обучения математике велись споры относительно теории числа, которая может быть положена в основу изучения чисел в начальной школе. Предполагалось: если сведения о числах будут представать перед учащимися строго в соответствии с одной математической теорией, то они будут легче осваиваться. Такими теориями признавались теоретико-множественная и на основе теории величин. Построение учебного материала на теоретико-множественной основе с явным использованием языка теории множеств было реализовано в экспериментальных учебниках под редакцией А. И. Маркушевича (М., 1968, 1970). Широкого распространения они не получили.

Представление чисел в соответствии с «величиной» теорией числа было реализовано в 70-ые годы ХХ века в рамках эксперимента по развивающему обучению под руководством В.В. Давыдова в Москве (школа 91), а затем в Харькове, Красноярске. Свое развитие это направление получило в комплектах по математике системы Д.Б. Эльконина – В.В. Давыдова трех авторов и авторских коллективов: Э.И. Александрова; авторские коллективы В.В. Давыдов, С.Ф. Горбов, Г.Г. Микулина и др.; А.М. Захарова, Т.И. Фещенко. Учебники некоторых из этих авторских коллективов, сохранившие приоритет понимания числа на основе понятии величины, но значительно измененные, в том числе и по отношению представлению чисел, используются и сейчас. В целом же подход, где изучение чисел в начальной школе строится в строгом соответствии с одной теорией числа признан ошибочным.

Второй подход представлен в практике работы учителей, в учебниках и учебных материалах, выстраивающих деятельность учащихся по изучению чисел на основе имеющегося у детей субъектного опыта познания числа. Этот опыт, чаще всего отражает самые разные смыслы числа, которые обусловлены широким применением чисел в повседневной жизни, использованием числительных в речи, индивидуальными особенностями ребенка и особенностями образовательной и социальной среды, в которой он рос и развивался. Используются все теории числа, число выступает перед детьми в единстве теоретико-множественного, порядкового, величинного и операторного смыслов. Внимание уделяется и субъективным смыслам числа.

Третий подход. При введении чисел приоритет отдают теоретико-множественному подходу без явного использования теории множеств, параллельно рассматривая и порядковые свойства числа и числового множества. При рассмотрении вопросов измерения длины, а затем массы, вместимости сосудов и объемов жидкостей, при проведении параллелей между разрядными единицами и единицами измерения длины, массы числа приобретают и величинный смысл. При обосновании утверждений о числах в этом подходе прибегают как к теоретико-множественному (на уровне предметных и условно-предметных моделей), так и к порядковому смыслу числа. Здесь нет жесткой привязанности к одной теории числа, и потому есть возможность расширения до многогранного рассмотрения понятия числа, его понимания с широких общекультурных позиций второго подхода,

По логике и последовательности рассмотрения чисел в процессе обучения математике учащихся начальной школы также существует несколько позиций: «частное – частное», «частное – общее – частное – общее - …», «общее – частное – общее – частное - …». Современными являются две последние позиции.

7.2.3. Характеристики качеств и показателей сформированности понятия числа у младших школьников. В любом понятии, и в понятии числа тоже, можно выделить четыре стороны: смысловую, информативную, языковую и деятельностную. Они отражают четыре характеристики качества владения понятием числа: • понимание смыслов числа; • знание информации о числах;• владение языковыми средствами выражения информации о числах, отношениях и действиях с ними в устной и письменной речи, в том числе математической; • владение способами действий с числами.

Понимание смыслов числа проявляется при: а) обозначении числом групп предметов, знаков, звуков, изображений, длин, площадей, объемов, масс и т.д., места предмета или иного объекта в ряду других; б) показе на множествах, величинах, элементах ряда, что может обозначать произвольно названное число, отношение между двумя числами; в) самостоятельном использовании чисел, отношений и операций с ними для выражения информации о каких-либо объектах; г) владении разными средствами и способами представления чисел, отношений и действий с ними, умении переходить от одних средств и способов к другим.

Приведем примеры заданий, при выполнении которых проявляется (и формируется) характер и уровень понимания учащимися понятия числа по каждой из названных выше четырех позиций.

• Обозначьте числом: количество предметов, находящихся у вас на парте (на этой полке, у меня в руках, изображенных на предметных картинках, в учебнике, на доске); расстояние (в шагах) пройденное Мишей, Машей (дети у доски или на видео делают несколько шагов), длину ленточки на рисунке в данных мерках (на рисунке вдоль ленточки уложены несколько полосок-мерок); вместимость этой банки в стаканах (учитель заполняет банку, выливая в нее последовательно несколько стаканов воды); массу в килограммах пакета с крупой на левой чашке весов (на правой чашке изображены две гири по 1 кг, весы в равновесии), массу котенка в яблоках (на левой чашке весов изображен котенок, а на правой 7 одинаковых по форме и размеру яблок); место предмета в ряду слева - направо (справа-налево, сверху-вниз, снизу-вверх), номер спортсмена.

• Покажите рисунками на карточках, рисунками в тетради, что могут обозначать названные и написанные на доске числа: 4, 1, 10, 7, 50, … • Задумайте число. Назовите его. Придумайте и расскажите друг другу историю «О чем может рассказать это число». А потом составьте общий рассказ. Если рассказ вам понравился, то расскажите его дома. (Несколько рассказов детей заслушивают на уроке.)

• Запишите числа, числовые равенства и неравенства, числовые выражения, предающие информацию о нашей классной комнате. Рядом с каждым числом запишите пояснения. • Сообщите как можно больше информации о классной комнате, используя числа, отношения между ними (больше – меньше – равно, «больше (меньше) на (в … раз)», следовать за - предшествовать - стоять между), арифметические действия. • Как по-разному можно представить число 6 (5, 8, 12, …)? Покажите как можно больше вариантов. Выскажите свое мнение, в каких ситуациях какая форма представления числа более удобна.

Характер, глубина, уровень понимания зависят как от индивидуальных психологических особенностей и прежнего субъектного опыта познания учащегося, так и от методической системы обучения математике, реализованной учителем. Особенно сильное воздействие на понимание оказывают методические подходы в первом – втором классах, когда закладываются основные смысловые установки. Только через работу со смыслами можно реализовать требования ФГОС НОО о достижении при изучении чисел не только предметных, но и личностных и метапредметных результатов.

Вторая характеристика – знание информации о числах. Для того, чтобы информация могла служить основой применения чисел в учебной, познавательной и иной деятельности, ее необходимо структурировать. Для этой цели полезно задать некоторую структуру представления информации о числе и множестве чисел. Возможный ее вариант может быть выражен последовательностью вопросов.

• Как называется (число записано цифрами), как записывается (число задано устно или письменно словесно) это число? • Что может обозначать это число? (Какую информацию и о чем оно может передать?) • Сколько цифр в записи числа? Сколько разных цифр. • Сколько в числе всего единиц? Сколько в разряде единиц? Сколько десятков всего? В разряде десятков? И т.д. • Какое место занимает это число в натуральном ряду: какое число следующее (непосредственно следующее), какое предыдущее, между какими числами стоит данное число? • Как представить данное число в виде суммы разрядных слагаемых? В виде других сумм? 7. На какие числа делится данное число? Делится ли оно на 2 (четное или нечетное), на 3, на 5, 10? • Как можно представить данное число в виде произведения? разности? Частного? • Чем оно интересно для меня?

Числовые множества и соответствующие им понятия, которые выделяются при изучении чисел в начальной школе: однозначные, двузначные, трехзначные, …, многозначные числа (в десятичной системе), круглые числа, четные и нечетные числа. Информация о них может содержать сведения: отличия и сходство чисел рассматриваемого числового множества от чисел других числовых множеств; количество чисел в множестве; наличие наименьшего и наибольшего числа; отношения и арифметические действия, их особенности на каждом из изучаемых числовых множеств. Ниже приведены возможные задания.

• Чем похожи и чем отличаются однозначные и двузначные числа, двузначные и трехзначные? • Сколько всего однозначных, двузначных, …. Сколько круглых двузначных, трехзначных, … чисел (записанных в десятичной системе)? Как расположить все двузначные (трехзначные, четырехзначные …) числа, чтобы было удобно сосчитать их количество? • Назовите и запишите наименьшее и наибольшее однозначное (двузначное, трехзначное, …) числа. На сколько наименьшее двузначное (трехзначное, четырехзначное, …) число меньше наибольшего? На сколько наибольшее двузначное (трехзначное, четырехзначное, …) число больше наименьшего?

• Назовите и запишите последовательно все двузначные числа, записанные двумя одинаковыми цифрами; установите закономерность, которой связаны числа этой последовательности; назовите и запишите наименьшее и наибольшее из них; проверьте, сумма, разность, произведение или частное каких двух чисел из этой последовательности является числом этой же последовательности. Запишите соответствующие равенства. Составьте подобные последовательности для трехзначных чисел. Выполните для них те же задания, что и для двузначных чисел. На основе выполненных заданий дайте характеристику рассмотренным множествам. • Выпишите однозначные числа, нацело делящиеся на 3 (на 4, на 5, на 7 …). Обнаружьте и сформулируйте закономерности полученной последовательности, основанные на расположении чисел последовательности в натуральном ряду. • Сформулируйте правило выбора в натуральном ряду, дополненном нулем чисел, делящихся нацело на 3, без проверки делимости. Дополните последовательность несколькими двузначными числами. (Правило: 0n (0 делится нацело на любое натуральное число n). Далее каждое третье число после нуля.)

Третья характеристика качества - владение способами действий с числами, в том числе умение использовать информацию о числах, отношениях, арифметических действиях с числами для решения задач в разных сферах жизни. Основные действия, которыми нужно овладеть учащимся в процессе изучения чисел в соответствии с требованиями ФГОС НОО к планируемым предметным результатам – это называние (чтение), запись, сравнение чисел, выполнение арифметических действий, выбор действий в решении текстовых сюжетных задач, обозначение числами и последовательностями цифр информации для ее хранения, упорядочивания и получения новой.

Ниже приведены задания и вопросы, которые могут быть использованы как для определения уровня владения названными способами действий с числами, так и для обучения.

• Назови (прочитай) числа, записанные цифрами десятичной системы. (Первый класс: 12, 19, 20, 30, 40, 50, …. Второй класс: 27, 45, 58, …, 99. Третий класс: 100, 200, …, 900, 137. 206. …. Четвертый класс: 1000, 2000, …10000, 20000. 23006, 104800, …, 999999, 1000 000.) • Запиши цифрами числа двести сорок три, сто пять, тысяча двадцать, сто тысяч восемьдесят семь, … . • Вырази в указанных единицах: 308 = … дес. … ед.; 70 405 = … д. т. … ед.; 5 дес.т. 7 ед. = … ед. • Сравни числа и поставь знак < , > или = так, чтобы равенства или неравенства были верными: 32 … 302, ϓ47 …ϓ07, … , ΩϓΛ … Ϫ☼ , …. • Выполни действия, применив алгоритмы устных вычислений, алгоритмы письменных вычислений: … . Перед выполнением письменных вычислений дайте приближенную оценку каждого результата, после вычислений проверьте, насколько точна была оценка.

• Для каждой из данных текстовых задач укажите знаком или последовательностью знаков арифметических действий (последовательностями для разных способов решения) или числовые выражения, с помощью которых она может быть решена арифметически.

Все характеристики владения понятием числа тесно связаны друг с другом, взаимно дополняют и усиливают друг друга. Понимание обеспечивает более прочное и уверенное владение информацией о числах, более свободное владение умением действовать с числами. Знание некоторых фактов, свойств, версий происхождения способствует более глубокому пониманию и служит основой соответствующих действий. Умение действовать с числами создает основу для наблюдений и выводов, обеспечивающих понимание и знание.

Современные и эффективные подходы к формированию понятия числа у младших школьников предписывают идти от имеющихся у детей числовых представлений и опыта предметной деятельности, представлять число в единстве своих свойств и характеристик.

7.2.4. Содержание и организация формированию понятия числа у младших школьников. Содержание и способы организации процесса формирования понятия числа у младших школьников задает учитель, опираясь на свои личностные позиции, педагогические компетенции, собственные знания и представления о числе и числовых множествах, возможных методических подходах, требуемых ФГОС НОО результатах изучения. Влияют на то, что и как рассматривается при изучении чисел в конкретном классе и у конкретного учителя материалы используемых учебников и учебно-методических пособий.

Содержание изучения чисел можно условно разделить, по крайней мере, по двум основаниям: по этапам изучения и по осваиваемым учащимися приоритетным характеристикам числа.

По этапам изучения: • подготовка к изучению чисел; • введение понятий числа, отношений между числами, арифметических действий, формирование смыслов числа, отношений между числами, арифметических действий сложения и вычитания; • изучение чисел от 1 до 9 и числа 0 (от 1 до 10 и числа 0), включая отношения между изучаемыми числами и арифметические действия с ними; • изучение чисел от 10 (11) до 20 (или круглых чисел 10, 20, …, 90, 100 и чисел от 10 (11) до 20) , отношений, арифметических действий с числами от 0 до 20; • изучение чисел от 20 до 100, отношений, арифметических действий с числами от 0 до 100; изучение чисел до 1000, отношений, арифметических действий с ними; • изучение чисел до 1000 000, отношений, арифметических действий с числами ними, введение понятия дроби и изучение дробей; • обобщение и систематизация изученного по теме «Числа».

По осваиваемым учащимися характеристикам числа можно выделить следующее содержание: смыслы и свойства чисел, отношений между числами, арифметических действий; запись и чтение чисел, отношений и операций с числами; способы сравнения чисел и числовых выражений; способы и алгоритмы выполнения арифметических действий; применение чисел, отношений между числами, арифметических действий для решения практических задач, для обозначения, хранения и анализа информации; числовые множества и числовые последовательности.

На каждом этапе изучения чисел рассматриваются все или значительная часть характеристик числа. Для каждого этапа можно выделить приоритетные характеристики числа, которые осваиваются именно на этом этапе, при изучении этого числового множества. Прохождение учащимися каждого этапа завершается освоением учащимися определенных, приоритетных для этого этапа характеристик числа – достижением соответствующих планируемых результатов.

Первый этап – подготовка учащихся к систематическому изучению чисел. Основные педагогические цели: актуализировать и систематизировать имеющиеся, сформировать недостающие содержательно-предметные, организационные, мотивационные и эмоциональные основания систематического изучения чисел первоклассниками.

Изучение на этом этапе необходимо организовать так, чтобы в результате каждый первоклассник был способен: сравнить количество предметов двух групп с помощью составления пар, сравнить два предмета по длине наложением (приложением), по массе «на руку» и на чашечных весах, два предмета одинаковой формы по объему («на глаз», помещением одного предмета внутрь другого), комментировать свои действия, свободно переходить от отношения «больше» к отношениям «меньше», «столько же да еще …», «столько же без …»; назвать числительные от 1 до 10, считать предметы и мерки.

Как известно, можно говорить о двух видах сравнения. Сравнение как выявление общих, одинаковых или сходных качеств: один и тот же цвет или разного цвета, одинаковой или разной формы, один предмет круглый как бревно, а другой плоский как лист бумаги, оба предмета имеют массу, и т.п. Сравнение как выявление количественных отношений, устанавливаемых по общему для сравниваемых предметов качеству.

Первый вид сравнения – сравнение по вопросам: • Что общего? Что различного? • Чем похожи? Чем отличаются? Второй вид сравнения – сравнение по вопросам: • Что (кто) больше (меньше), выше (ниже), глубже (мельче), тяжелее (легче), красивее (менее красивый), добрее (менее добрый), успешнее (неуспешнее), экономичнее (затратнее)? • Равны или не равны по длине, количеству частей, росту, возрасту, цене, стоимости, значимости …?

Необходимо, чтобы у каждого первоклассника была возможность проявить свои представления о способах количественного сравнения двух групп предметов и двух предметов по разным основаниям (количеству «штук» предметов, по массе, по длине и т.п.), о числах. Важным результатом должен быть позитивный настрой детей на изучение чисел, который может быть достигнут созданием «точек удивления»¹², «заходами» в незнаемое, репликами и вопросами учителя в процессе обмена учащимися собственными знаниями и мнениями о числах. Показателем такого настроя является интерес к числам, проявляющийся в вопросах, в рассказах детей о числах, в открытии особенностей чисел, закономерностей числовых рядов, в составлении рядов чисел, изобретении способов арифметических действий.

Возможные вопросы и задания.

• «1. Посмотри, какие красивые животные! (На рисунке изображены две бабочки, тигр, лев, жираф и слон). • Какая бабочка красивее? • Кто сильнее: лев или тигр? Кто больше: жираф или слон? • Как ты думаешь, как можно сравнить этих животных? … 2. Чем похожи цветы на каждом рисунке? Чем они отличаются? (На рисунках изображены пары цветов, одинаковых по форме, цвету и размеру; одинаковых по форме и цвету, но разных по размеру; одинаковых по цвету, но разных по форме и размеру). Кто выше: мальчик или девочка? Кто ниже? Какой флажок шире? Какой уже? Кто длиннее: крокодил или питон? Кто короче?»¹³• «Чем похожи и чем отличаются нарисованные мячи? Поставь красную фишку на тот мячик, который МЕНЬШЕ. Чем похожи и чем отличаются нарисованные матрешки? Поставь синюю фишку на ту матрешку, которая БОЛЬШЕ»¹⁴. • На парте в произвольном порядке лежат карточки с напечатанными на них заглавными и строчными буквами русского алфавита, например: А, у, Б, а, Ф, Т, ж, з, в, С, Ц, и, б, К. Разделите буквы на группы по какому-либо признаку. Определите, поровну ли букв в группах, если нет, то в какой больше, а в какой меньше. (Заглавные (большие) и строчные (маленькие); изображаются только прямыми линиями, округлыми и прямыми, только округлыми; буквы, которые я знаю, не знаю.)

• На каждом из 3-х рисунков на интерактивной доске изображены две группы предметов, например, по 9 чайных чашек и по 10 чайных ложек. На первом рисунке все ложки помещены в одну чашку, на втором – некоторые ложки находятся в чашках по одной и по две, а часть ложек на столе. На третьем рисунке возле каждой чашки лежит ложка и еще одна – поодаль без чашки. Изображения выполнены так, что можно перемещать каждую чашку и каждую ложку.

- По какому рисунку легче всего ответить на вопросы: Ложек столько же, сколько чашек? Ложек больше чем чашек? Ложек меньше чем чашек? - Предложите несколько способов удобного расположения чашек и ложек для сравнения их количеств. (Ложки кладут по одной в (на) каждую чашку.) - Кто знает способ сравнения, не зависящий от взаимного расположения сравниваемых групп предметов, в нашем случае – чашек и ложек? (Счет и сравнение чисел.)

- Чем хорош и чем плох способ сравнения составлением пар? (Хорош тем, что можно узнать чего больше, чего меньше даже не умея считать; тем, что он простой и можно еще и поиграть с предметами, которые сравниваешь. Это способ для маленьких. Плох способ тем, что не все так можно сравнить, например, когда предметов очень много, нужно будет очень долго составлять пары. Иногда пары составить невозможно, например, при сравнении, чего больше, столов или шкафов, домов на одной стороне улицы или на другой.)

- Чем хорош, чем плох способ сравнения с помощью счета и сравнения чисел? (Хорош тем, что можно сравнить любые группы предметов, любые предметы,. Плох тем, что, если не умеешь считать и не знаешь, какое число какого больше, то сравнить не сможешь. А когда выучишь, то все сможешь. Это способ для взрослых.) - Так стоит изучать числа? (Да. Мы тогда будем взрослее, успешнее., …)

• На столе у учителя три пустых одинаковых пластмассовых стакана, два одинаковых прозрачных контейнера с одинаковым количеством, например по 3 стакана, воды, высокая узкая пластиковая бутылка, в ней 2 стакана воды, и пустое пластмассовое ведерко. Уровень воды в бутылке выше, чем в контейнерах.

- В каком сосуде уровень воды выше? (…) - Как определили? (Поставили рядом и увидели.) - Означает ли то, что уровень воды в бутылке больше, что и объем воды, что воды в ней больше? Как установить, в каких сосудах воды поровну, в каком сосуде больше, в каком меньше воды по объему? (…)

• Знаете ли вы числа? Назовите те числа, которые знаете. (Выслушиваем несколько человек.) А теперь все вместе: один, два, … . Назовите числа, которые вам интересны? Что бы вы хотели узнать про эти числа, другие числа? (Вопросы записываются и сохраняются.)

Второй этап – введение понятий числа, отношений между числами, арифметических действий, формирование смыслов числа, отношений между числами, арифметических действий сложения и вычитания.

Основная педагогическая цель учителя при организации изучения учащимися чисел на этом этапе – обеспечить понимание изучаемого, сформировать общий взгляд на число, отношения между числами, действия сложения и вычитания. Этот взгляд будет затем конкретизироваться и обогащаться при изучении чисел разных числовых промежутков.

На данном этапе считаем необходимым включить в рассмотрение начальные общие характеристики понятий число, цифра; число большее (меньшее), большее (меньшее) на …: предыдущее и следующее числа, сложение и вычитание, слагаемые, сумма, значение суммы, уменьшаемое, вычитаемое, разность. Здесь же происходит обучение способам сравнения, сложения и вычитания чисел на основе их смыслов. Особая задача этого периода, относящаяся также к обучению грамоте, – научить детей письму цифр (см. 4.2).

В представленном ниже подходе при введении понятия числа говорят обо всех числах (натуральных и нуле), конкретизируя общие положения на числах, представления о которых есть у детей, а также на числах, которые доступны детям для предметного моделирования. Ввиду важности первых этапов изучения чисел опишем их подробнее. Изучение на других этапах может быть развернуто в той же логике.

Педагогические цели изучения учащимися чисел на этапе введения числовых понятий. 1. Обобщение и систематизация числовых представлений, полученных в дошкольный период и в повседневной жизни школьного периода. 2. Обучение умению и (или) развитие умения последовательно называть числа начального отрезка натурального ряда, а также любой части начального отрезка натурального ряда в прямом и обратном порядке (длина этого ряда определяется учащимися). 3. Закрепление и развитие умения обозначать числом группы (множества) предметов, звуков, слов, знаков, мерок при измерении величин, места предмета в ряду без счета (до пяти) на основе количественного и порядкового счета. 4. Формирование и развитие количественных, порядковых, величинных, операторных смыслов числа, отношений между числами, действий сложения и вычитания на примере чисел от 0 до 9 и других числах, известных учащимся. 5. Накопление, обогащение опыта представления (моделирования) числа множеством предметов, звуков, слов, знаков, мерок (в процессе измерения длины, расстояния, массы, объема и т.п.), местом предмета в ряду других, другими моделями. 6. Обучение умению переходить от сравнения предметов, групп предметов к сравнению чисел и, наоборот, от сравнения чисел к сравнению предметов, групп предметов. 7. Обучение умению переходить от действий с предметами, их изображениями, с отрезками и другими геометрическими фигурами к сложению и вычитанию чисел и наоборот, от сложения и вычитания чисел к соответствующим действиям с предметами, с группами предметов, с отрезками, дугами и другими геометрическими и графическими объектами. Различение числа и цифры. Обучение письму цифр.

Планируемыми предметными результатами освоения учащимися содержания этого этапа изучения чисел являются: а) свободное и прочное знание последовательности чисел начального отрезка натурального ряда, наибольшее число которого может быть различным для разных учащихся, но не меньшим минимума, который запланирован в соответствии с возможностями учащихся и требуемыми результатами ФГОС НОО; б) безошибочный счет предметов в группе и счет мерок в в освоенном числовом промежутке; в) свободное определение отношений между любыми двумя заданными числами освоенного числового промежутка, обоснование на основе сравнения групп предметов, величин, свойств натурального ряда; г) безошибочное обозначение соответствующих действий с предметами действиями сложения или вычитания, конструирование предметных действий, которые могли бы быть обозначены действиями сложения и вычитания; д) нахождение результатов арифметических действий с помощью действий с предметами на основе их смыслов (теоретико-множественный и величинный смыслы: объединение групп предметов и счет; удаление части предметов из группы и счет; объединение, удаление части и измерение; по натуральному ряду и числовому лучу (порядковый смысл).

Ввиду важности первого урока, на котором главным предметом изучения является число, приведем один из вариантов этого урока.

1. Урок введения в тему «Числа» (возможный вариант).

Это первый урок после нескольких уроков подготовки к изучению чисел и уроков другой тематики (например, геометрической направленности или посвященных величинам). Основная цель педагога: обеспечить проявление каждым учащимся своих представлений о числах, уточнить, обобщить и привести в систему эти представления.

Планируемые результаты. Личностные. Каждый учащийся: • будет знать правила участия в коллективном обсуждении (дослушать до конца говорящего, показать свое желание сказать поднятием руки, начать говорить, если в это время никто не говорит и др.); • получит возможность почувствовать себя знающим, умеющим, значимым; • получит возможность удивиться информации о числах, сформулировать вопросы о числах, ответы на которые хотел бы получить.

Метапредметные. Каждый учащийся приобретет опыт познавательной рефлексии (Какие числа я знаю? Что я о них знаю? Что умею делать с числами?), самоконтроля и самооценки в учебной деятельности (Как я умею считать? Как хорошо я умею распознавать цифры?).

Предметные. Каждый учащийся будет способен: • назвать последовательность чисел от 1 до 10, распознать цифры от 1 до 9 (или некоторую часть этих цифр: планируется учителем для конкретных учащихся); • рассказать, что числа обозначаются цифрами и показать цифры, соответствующие числам от 1 до 9 (или от 1 до 5); • соотносить число, цифру и группы предметов, выкладывать или изображать столько палочек, кружочков и др. предметов, сколько показано предметов, шагов, произнесено слов, сделано хлопков.

Каждый учащийся получит возможность: • рассказать, исходя из своего опыта, что могут обозначать числа («Я знаю число 10. Это 10 лет моему брату, 10 счетных палочек, я живу в доме номер 10», «Я знаю число 5. 5 - это 5 пальцев на руке, в 5 часов вечера я буду гулять» …). • учиться соотносить число и количество выделенных равных частей целого (мерок) в простейших случаях измерения.)

Ход урока (один из вариантов).

- Знакомы ли вы с числами? Числа очень хотят, чтобы вы с ними были знакомы, чтобы подружились с ними. Какие числа вы знаете? Назовите эти числа. (Спрашиваем как можно больше учащихся по желанию. Названные числа записываем на доске.) - Как много чисел вам знакомы! Что вы знаете про них? Расскажите нам, поделитесь со всеми своим знакомством. (Напоминаем правила поведения при обсуждении.)

- Давайте вместе назовем числа по порядку: один, два, три, …. (Можно и нужно называть числа по порядку не только от единицы до десяти, но и далее, а также начиная с других чисел, названных детьми, например, двадцать, тридцать, …, сто один, сто два, тысяча один, тысяча два.) - А зачем нужны числа? (Чтобы что-нибудь сосчитать. Чтобы отвечать на вопросы со словами «Сколько?». Чтобы рассказать другим, чего где сколько.) - Что вы хотели бы сосчитать в классе? (…) - А что бы вы хотели узнать про числа? (Вопросы лучше записать, чтобы работать с ними и на следующих уроках.) - Один из вопросов, которые вы задали о числах: «О чем можно рассказать с помощью чисел?» Как вы думаете, что нужно вам делать, чтобы ответить на него? (…) - Я думаю, что вам поможет эта картинка. (Демонстрируется на экране картинка или фотография с изображением предметов, групп предметов, ситуаций.)

- Подумайте, обсудите друг с другом ответ на вопрос: про что на картинке можно рассказать, используя числа. Помните правила обсуждения? (…) - Поделитесь со всеми, что вы смогли рассказать друг другу, используя числа? (…)

- А теперь подойдите к этому столу, возьмите по карточке с картинками и садитесь за парты. Рассмотрите свою картинку. Поговорите с соседом по парте: расскажите друг другу про то, что нарисовано на вашей картинке, используя числа. Договоритесь вначале, кто будет говорить первым. Говорите друг другу и слушайте друг друга. Помогайте друг другу. (…) - Теперь немного отдохнем. (Учитель в течение 1-2 минут организует выполнение упражнений из Приложения к СанПИН¹⁵).

- Как обозначаются числа на письме? (Цифрами.) Достаньте карточки с цифрами (На каждой парте один комплект.) Найдите такую цифру (показывает). Назовите ее. (Спрашивает нескольких учащихся.) Рассмотрите все цифры. Покажите цифру, которая вам незнакома, название которой вы не знаете. (...) - Что обозначают цифрами? (В процессе обсуждения учитель помогает сформулировать ответы: цифрами обозначают числа, а числа обозначают: сколько штук чего-либо, величину или порядок; отдельно взятая цифра обозначает число с тем же именем. Если цифры записаны рядом, например, 57 или 75, то это числа «пятьдесят семь» и «семьдесят пять».)

- Я буду выполнять некоторые действия, а вы наблюдайте за мной и обозначайте числом то, что я делаю. Например. (Делает три хлопка в ладоши). Каким числом обозначите хлопки? (…) Какую цифру покажете? (Цифру 3.) - Будьте внимательны, считайте … (делает 4 шага, показывает рисунок с пятью цветками; полоску, разделенную на 5 равных по длине части; рисунок чашечных весов в равновесии, на одной чашке - 5 одинаковых по форме и размеру груш, на другой – пакет; наливает 2 стакана воды в сосуд.).

- Спасибо. Молодцы. Из конверта достаньте карточки с рисунками (в конверте 3 – 4 рисунка с изображением от 3 до 9 штук предметов; четырехугольника, разделенного на 2 одинаковых треугольника; части пола, выложенной 6 квадратными плитками; тропинки, метками поделенной на 5 равных частей; мерного стакана, заполненного мукой до четвертой метки и т.п.)

- Рассмотрите рисунки на карточках. На каждый рисунок положите карточку с цифрой, обозначающей число предметов или частей чего-либо. - Молодцы. Соберите цифры и картинки в конверты. Отдохните, выполнив вместе со мной упражнения … .

- Итак, вы сегодня рассказали о знакомых вам числах, поучились обозначать числом количество предметов, шагов, хлопков, передавать информацию о том, что видите, с помощью чисел, узнали или подтвердили знание о том, что числа обозначаются цифрами. Но еще не писали их. Как вы думаете, нужно ли вам уметь писать цифры? (…). - Поэтому будем учиться писать цифры. (Далее учитель проводит обучение письму той цифры или тех цифр, которые согласуются с задачами обучения письму, возможностями и желаниями детей.)

- Вы хорошо и много сегодня поработали с числами. У каждого из вас на парте лист, на котором начерчена «шкала самооценки» (отрезок: правый конец «Очень хорошо знаю, умею», левый – «Не знаю, не умею»).- Отметьте на ней, как вы оцениваете сейчас свои познания о числах и цифрах, умения считать предметы, рассказывать о виденном, используя числа. И оцените свое настроение, подчеркнув один из смайликов: грустный, равнодушный, смеющийся.

- Поделитесь друг с другом, что интересного о числах ты теперь знаешь (…). Спасибо за работу. Не забудьте дома поделиться тем, что вы узнали, чему учились, чему научились на уроке. Урок окончен.

После вводного урока необходимо закреплять умения вести счет, соотносить число и предметы, группы предметов, действия так, чтобы число могло выступать в разных смыслах. Затем нужно провести серию уроков о конкретных числах от 0 до 10, включая и в эти уроки выходы за пределы этого числового промежутка. Последнее нужно для того, чтобы дети могли, проявить представления, выходящие за пределы чисел от 0 до 10, чтобы поддерживать интригу, задать взгляд в незнаемое, создавать основу для удивления, тайны, «вопрошания».

Уроки рассмотрения конкретных чисел играют важную роль в формировании представлений о числах. Важно, чтобы эти уроки были интересны детям и опирались на имеющиеся у них знания. Это должны быть уроки любования числом, проникновения в тайну числа, уроки близкого знакомства, уроки - праздники числа, уроки - презентации числа. Здесь важна не только математическая, но и психологическая составляющая. Каждое из чисел характеризуется с позиций разных смыслов, включая и субъективные, личностные смыслы. Относительно каждого числа рассматриваются его отношения и действия с другими числами. На основе имеющихся у детей числовых представлений на таких уроках формируется как обобщенное представление о числе, признаках, свойствах, которые одинаковы для всех чисел, так и об особенностях отдельных чисел.

Следующей педагогической задачей является введение и изучение отношений между числами: больше, меньше, больше на, меньше на, следующее число, равные числа (одно и то же число), предыдущее число. Основывается такое изучение на умении учащихся устанавливать соответствующие отношения между группами предметов (на основе взаимно однозначного соответствия), между предметами по какой-либо величине и знании последовательности чисел начального отрезка натурального ряда. Ниже представлены примеры вопросов и заданий для учащихся.

• На магнитной или интерактивной доске представлены две группы предметов (изображений), расположенных так, что без перемещения предметов определить, сколько предметов в каждой группе, и где предметов больше, затруднительно. - Расположите предметы так, чтобы без счета можно было узнать поровну ли предметов в обеих группах. (Выслушивается несколько предложений, затем учащихся выходят к доске и располагают предметы соответствующим образом.) - А теперь сосчитаем предметы в одной группе и в другой. (Учитель указкой показывает предметы, а учащиеся вслух вполголоса ведут счет. Например, одних предметов 11, а других 13) Видно, что там, где 13 предметов, их больше, чем там, где их 11. Поэтому число 13 считают большим, чем число 11, а 11 меньше, чем 13. Итак, почему число 13 больше, чем число 11? (Потому что там, где 13 предметов, их больше, чем там, где их 11.)

• Посмотрите на рисунок. Что изображено и что написано? (Изображены два одинаковых сосуда, видно, что во втором сосуде воды больше, чем в первом. На первом написан 3 л, на втором 5 л.) - В каком сосуде воды больше (по объему)? (Во втором.) - Сколько во втором сосуде литров? (5 литров.) - А в первом? (3 литра.) - Какое число обозначает большее количество литров? (Число 5.) Меньшее количество? (Число 3.) - Значит, какое число большее? Какое число меньшее? (…) - Принято говорить: число 5 больше числа 3, а число 3 меньше числа 5. Обозначается это с помощью специальных знаков – «клювиков», направленных на меньшее число: 3 < 5, 5 > 3.

• Волшебные цифры. На рисунках изображена сосна и береза, под изображением каждого дерева написана высота в метрах «волшебными» цифрами: сосна Ω метров, береза Ϫ метров. Какое число больше: Ω или Ϫ ? • Поставьте знаки < , > или = между числами, которые обозначают длины отрезков, измеренных одинаковыми мерками.

• Назови числа по порядку от 1 до 10. Какое число непосредственно следует за числом 1? Назови число, следующее за числом 5. Какое число предшествует числу 7 и следует за числом 5? Назови соседей числа 9? Назови числа в обратном порядке от 10 до 1. • Равны ли число и следующее за ним число? Какое из них больше, какое меньше? Сформулируй правило определения, какое число больше, какое меньше по натуральному ряду чисел. • Рассмотри ряд: 1, 2, 3, … □, …, ○, … . Какое число больше, обозначенное квадратом или кружочком? Какие числа могут скрываться за квадратом и кружком?

• Назовите любое число. Начиная с этого числа, назовите следующие числа по возрастанию. (Например: сто, сто один, сто два, …). Какое число является следующим за числом сто пять? За числом сто двадцать пять? Какое число предшествует (стоит перед) числом сто пять? • Что может обозначать число 100? (…) • Что может обозначать последовательность чисел от 100 до 110? (…).

Одна из главнейших задач учителя на таких уроках – заинтересовать детей «личностью» рассматриваемого числа, пробудить вопросы о числе. Можно провести параллель: в классе у нас много учащихся, и каждый из вас уже, наверно, знает всех. Но все ли вы одинаковы? И знаем ли мы уже все, чем интересен каждый из вас, что особенного в каждом из вас? (Нет, еще не знаем.) Вот и числа – их много, они похожи друг на друга, так как они числа, но они все такие разные.

Так, число 1 интересно тем, что оно начало всех чисел, начало выделения количества: один – много. Без числа 1 не было бы и других чисел. Число 1 – это величина шага от одного натурального числа до другого, 1 - единица длины, единица площади, единица массы и т.п. Число один меньшее из чисел, которые обозначают количество штук чего-либо. Минимальное число карандашей, тетрадей, яблок, которые можно взять, купить, отдать – 1 карандаш, 1 тетрадь, 1 яблоко. Число 1 по особенному ведет себя и в арифметических действиях: результат сложения любого числа с единицей приводит к следующему за ним числу, а вычитание единицы – к предыдущему. И в других действиях, которые будут изучаться во втором и третьем классах, число 1 ведет себя по особенному. И все другие числа также имеют свои неповторимые характеристики, равно как и те, которые присущи всем числам.

Полезно рассматривать не только чисто математические характеристики и смыслы, но и смыслы соответствующих чисел в других областях знания, а также этнокультурные смыслы, которые проявляются в обычаях, традициях, повериях, а также в пословицах и поговорках¹⁶, которые можно и нужно использовать при изучении конкретных чисел, причем не только на уроках математики. Например, пословицы с числом 1: «Одно нынче лучше двух завтра.», «Одно зерно горсть дает.», «Одной рукой жни, а другой сей.», «Одно дело делай, а другое не порть.», «Одного храбреца и тысяча трусов не заменит.», «С одного цветка много меда не возьмешь.», «И один глаз, да зорок - не надобно сорок» и др.

Особым числом является число ноль (нуль). Его своеобразие в том, что он означает отсутствие чего-то. Это обозначение того, чего нет. Причем обозначение позитивное. Сказать об отсутствии чего-то до изобретения нуля можно было только используя отрицание, что психологически воспринимается как нечто-то плохое: нет яблок, не сделал ни шагу, не выучил стихотворение. А теперь про то же с числом 0 можно сказать повествовательным предложением: есть 0 яблок, сделал 0 шагов, выучил 0 стихотворений. И та же информация звучит более оптимистично, чем в форме отрицания. Кроме того, число 0 нужно и в чисто математических целях, к примеру, для обозначения результата вычитания числа из самого себя: 5 – 5 = 0, b – b = 0. Число 0 особенным образом ведет себя в действии сложения: с каким бы числом его не сложили в результате будет это же число, как будто нуля и не было. Можно сказать, что в сложении 0 держит нейтралитет, в математике его и называют нейтральным по отношению к сложению.

А числа 8 и 6 интересны тем, что их можно представить в виде суммы одинаковых слагаемых несколькими способами: 6 = 2 + 2 + 2 и 6 = 3 + 3, 8 = 4 + 4 и 8 = 2 + 2 + 2 + 2, а еще в виде суммы единиц, как и любое натуральное число. Числа 3, 5, 7, 9, … это числа, которые могут быть получены в результате суммы двух последовательных чисел, это каждое второе число натурального ряда, начиная с числа 3! А можно задаться вопросом, какие числа могут быть получены в виде суммы трех, четырех последовательных чисел: 6 = 1 + 2 + 3, 9 = 2 + 3 + 4, 12 = 3 + 4 + 5, т.е., начиная с числа 6 каждое третье число такое! Каждое второе число натурального ряда, начиная с 3 есть сумма двух последовательных слагаемых. Каждое третье число, начиная с 6 есть сумма трех последовательных слагаемых.

Числа используют во всех областях знания и соответствующих учебных предметов. И это тоже характеризует каждое конкретное число. Так, число 1 есть в грамматическом понятии «единственное число», число 3 – три рода существительных, три склонения, число 6 – шесть падежей в русском языке. А в других языках могут быть другие числа на службе. В биологии числа 2, 4, 6, 8 обозначают количество ног (лапок) у птиц, млекопитающих, клещей, пауков и потому важны при изучении окружающего мира. В истории числами выражают даты исторических событий, время протекания события, время жизни людей, книг, государств и т.д. В литературе, искусстве, музыке – нет такой области знания, и нет такой сферы жизни, где бы сегодня не использовались числа в самых разных своих качествах и смыслах. Значит число является межпредметным понятием, а владение числом – метапредметным универсальным учебным действием.

Можно еще долго перечислять удивительные особенности конкретных чисел. Заразив детей этим удивлением, радостью неожиданных открытий, мы сделаем изучение чисел на всем протяжении учебы в школе радостным, увлекательным, полным тайн и открытий.

Введение действий сложения и вычитания. Действия сложения и вычитания, прежде чем смогут выступать для детей средством решения практических задач, определенный период должны быть осознаны учащимися как средство обозначения в речи и на письме действий с предметами определенного вида: объединения двух предметов или групп предметов и удаления части предмета или части группы предметов. На этапе введения числа и действий с числами необходимо сосредоточиться на формировании умения свободно переходить от действий с предметами к обозначению этих действий числами и знаками арифметических действий. Более подробно в следующей части главы.

Следующие этапы – изучение круглых чисел (10, 30, …, 90, 100) и чисел от 11 до 20, от 21 до 100, изучение отношений, арифметических действий с числами от 0 до 20. Здесь необходимо обеспечить перенос полученных на предыдущих этапах представлений на новую область чисел и дополнить понятие числа новыми характеристиками. Такими новыми характеристиками являются вопросы обозначения чисел в речи и на письме, которые именно на этом этапе впервые проявляются как проблемы, решение которых и привело к изобретению позиционных систем счисления. Более глубокое содержание получают отношения понятий числа и цифры, вводится новое понятие – разрядное слагаемое. При изучении этих чисел вводятся действия умножения и деления, что обогащает понятие числа и характеристики отдельных чисел: можно рассматривать особенности поведения конкретных чисел в новых действиях.

Новой на следующих этапах изучения чисел является и проблема вычислений. Если на первых двух этапах главными были вопросы смысла числа и арифметических действий, то затем на первый план выходят вопросы обозначения чисел в речи и на письме, вопросы способов сравнения и способов вычислений на основе свойств позиционной системы счисления, свойств арифметических действий, вопросы формирования вычислительных навыков.

С расширением числового множества появляется возможность ставить вопросы о самом множестве: есть ли в этом множестве наибольшее, наименьшие числа, сколько чисел, чем все числа этого множества похожи друг на друга и др. Заметим: при изучении чисел любого числового промежутка необходимо предоставлять учащимся возможность выходить за его пределы, проявляя собственные познания. Полезно и специально организовывать заходы за пределы изучаемого. Например, алгоритм сложения и вычитания любого числа и единицы, осваиваемый при изучении чисел первого десятка, тогда же можно распространить на все числа отрезка натурального ряда, которые в состоянии последовательно называть учащиеся. При назывании последовательности чисел «одиннадцать, двенадцать, тринадцать, …», легко можно перейти к «сто одиннадцать, сто двенадцать, сто тринадцать, …; тысяча одиннадцать, тысяча двенадцать, ….

Следующий этап – изучение чисел от 100 до 1000, отношений, арифметических действий с числами от 0 до 1000. Основное внимание при изучении чисел данного числового промежутка уделяется разрядному составу чисел и считыванию информации о числе по его позиционной десятичной записи, умению читать и записывать многозначные числа. Увеличиваются возможности отыскания удивительных в самом разном смысле чисел.

Опыт работы многих учителей позволяет утверждать, что научить читать и записывать многозначные числа можно и нужно задолго до того, как мы начнем проводить специальные уроки по изучению чисел рассматриваемого промежутка. Научить на интуитивной основе, играя «в большие числа» по принципу, известному из работ психологов и получившему широкое распространение благодаря книгам и поездкам по стране по распространению опыта учительницы начальных классов московской школы С.Н. Лысенковой¹⁷, принципу «опережающего обучения». Уже в первом классе при выработке навыков письма цифр мы имеем возможность прочитать записанную детьми последовательность цифр как многозначное число. Дети это называют «поиграть в большие числа». Записи читает учитель или те дети, которые могут прочитать, а дети слушают, обсуждают, что может обозначать такое большое число. Такая игра в большие числа возможна на каждом уроке. Особенно она нравится первоклассникам: контраст между теми числами, которые они научаются складывать, вычитать, читать и записывать, вызывает у них восхищение, повышение собственной значимости, создает ощущение тайны. Кроме того, эта игра позволяет детям получить ответы на многие вопросы о событиях и процессах, о которых они слышат по радио и телевидению, в повседневной жизни и которые характеризуются числами, еще не изученными ими. Овладение умением читать и, возможно, записывать числа от 100 до 1000 000 происходит незаметно для самих детей и не требует значительных затрат времени. На уроках же специально посвященных названным числам будет происходить осознание освоенного на интуитивном уровне, обоснование, обогащение терминами, обобщение и систематизация. В результате интуитивное знание станет знанием осознанным, обоснованным, системным.

Формирование понятия числа происходит не только на уроках, специально посвященных этой задаче, но и при изучении всех тем начального курса математики и при изучении других предметов. Это формирование будет происходить успешно, если мы зароним в сознание детей зерна восхищения и удивления тем богатством смыслов, способов применения, связей и отношений, которыми обладают числа и числовые множества.