20. Классификация кривых второго порядка.

Кривая второго порядка — геометрическое место точек, декартовы прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида:a11x^2+a22y^2+2a12xy+2a13x+2a23y+a33=0

в котором по крайней мере один из коэффициентов : a11 a12 a22 отличен от нуля.

КЛАССИФИКАЦИЯ

Невырожденные кривые

эллипс

частный случай эллипса — окружность

мнимый эллипс (ни одной вещественной точки)

гипербола D меньше 0

парабола D=0

Вырожденные кривые

вещественная точка на пересечении двух мнимых прямых (вырожденный эллипс) — при условии D больше 0

пара вещественных пересекающихся прямых (вырожденная гипербола) — при условии D меньше 0 вырожденная парабола — при условии D=0 пара вещественных параллельных прямых — при условии B меньше 0 одна вещественная прямая (две слившиеся параллельные прямые) — при условии В=0

пара мнимых параллельных прямых (ни одной вещественной точки) — при условии В больше 0

21. Классификация поверхностей второго порядка.

Поверхность второго порядка - геометрическое место точек, декартовы прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида

1. Классификация центральных поверхностей.

• 1°. Эллипсоид.

• 2°. Однополостный гиперболоид.

• 3°. Двуполостный гиперболоид.

• 4°. Конус второго порядка.

2. Классификация нецентральных поверхностей.

• 1°. Эллиптический цилиндр, гиперболический цилиндр, эллиптический параболоид, гиперболический параболоид.

• 2°. Параболический цилиндр

III. Дифференциальное исчисление

1. Множества. Мощность множества. Конечные, счетные и несчетные множества. Ограниченность, ограниченность сверху и снизу. Точная верхняя и нижняя грань. Множество - одно из ключевых понятий математики, в частности, теории множеств и логики.

Понятие множества обычно принимается за одно из исходных (аксиоматических) понятий, то есть не сводимое к другим понятиям, а значит, и не имеющее определения.

Множество может быть замкнутым и незамкнутым, полным и пустым, упорядоченным и неупорядоченным, счётным и несчётным, конечным и бесконечным. Более того, как в наивной, так и в формальной теориях множеств любой объект обычно считается множеством.

Объекты, из которых состоит множество, называют элементами множества или точками множества. Множества чаще всего обозначают заглавными буквами латинского алфавита, его элементы — строчными. Если а — элемент множества А, то записывают а ∈ А (а принадлежит А). Если а не является элементом множества А, то записывают а ∉ А (а не принадлежит А). В отличие от мультимножества каждый элемент множества уникален, и в множестве не может быть двух идентичных элементов. Иначе говоря, добавление к множеству элементов, идентичных уже принадлежащим множеству, не меняет его: {6, 11} = {11, 6} = {11, 11, 6, 11, 6}.

Мощность множества— характеристика множеств (в том числе бесконечных), обобщающая понятие количества (числа) элементов конечного множества.

В основе этого понятия лежат естественные представления о сравнении множеств:

1)Любые два множества, между элементами которых может быть установлено взаимно-однозначное соответствие (биекция), содержат одинаковое количество элементов (имеют одинаковую мощность).

2)Обратно: множества, равные по мощности, должны допускать такое взаимно-однозначное соответствие.

3)Часть множества не превосходит полного множества по мощности (то есть по количеству элементов).

До построения теории мощности множеств, множества различались по признакам: пустое/непустое и конечное/бесконечное, также конечные множества различались по количеству элементов. Бесконечные же множества нельзя было сравнить.

Мощность множеств позволяет сравнивать бесконечные множества. Например, счётные множества являются самыми «маленькими» бесконечными множествами.

В математическом анализе, и прилегающих разделах математики, ограниченное множество — множество, которое в определенном смысле имеет конечный размер. Базовым является понятие ограниченности числового множества, которое обобщается на случай произвольного метрического пространства, а также на случай произвольного частично упорядоченного множества. Понятие ограниченности множества не имеет смысла в общих топологических пространствах, без метрики.

Множество вещественных чиселназывается ограниченным сверху, если существует число b , такое что все элементы x не превосходят b :

Множество вещественных чисел называется ограниченным снизу, если существует число b , такое что все элементы x не меньше b:

Множество , ограниченное сверху и снизу, называется ограниченным.

Множество, не являющееся ограниченным, называется неограниченным. Как следует из определения, множество не ограничено тогда и только тогда, когда оно не ограничено сверху или не ограничено снизу.

Примером ограниченного множества является отрезок

неограниченного — множество всех целых чисел

ограниченного сверху, но неограниченного снизу — луч

ограниченного снизу, но неограниченного сверху — луч