1)Дифференциальные уравнения: основные определения и примеры решения прикладных задач.

Дифференциальное уравнение (ДУ) – это уравнение, в которое входит неизвестная функция под знаком производной или дифференциала. Если неизвестная функция является функцией одной переменной, то дифференциальное уравнение называют обыкновенным (сокращенно ОДУ – обыкновенное дифференциальное уравнение). Если же неизвестная функция есть функция многих переменных, то дифференциальное уравнение называют уравнением в частных производных.Максимальный порядок производной неизвестной функции, входящей в дифференциальное уравнение, называется порядком дифференциального уравнения. Решение дифференциального уравнения - это неявно заданная функция Ф(x, y) = 0 (в некоторых случаях функцию y можно выразить через аргумент x явно), которая обращает дифференциальное уравнение в тождество.

2)Теорема существования и единственности решения дифференциального уравнения первого и второго порядков.

Определение 1.Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, связывающее независимую переменную, искомую функциюи ее производную первого порядка, то есть

. (1) Если уравнение (1) можно разрешить относительно, то его записывают в виде

. (2) Обозначим черезмножество точек плоскости, на котором функцияопределена. Рассмотрим геометрический смысл уравнения (2). Производная функциипредставляет собой угловой коэффициент (тангенс угла наклона) касательной к кривойв точке с абсциссой. Следовательно, уравнение (2) устанавливает связь (зависимость) между координатами каждой точкеплоскостии угловым коэффициентомкасательной к интегральной кривой, проходящей через эту точку. Если указать это направление единичным вектором, проходящим через точку, то будет получено поле направлений.

Определение 2.Кривая, во всех точках которой направление поля одинаково, называетсяизоклиной.

Изоклинами можно пользоваться для приближенного построения интегральных кривых. Уравнение изоклины можно получить, если положить , то есть

3)Численные методы интегрирования дифференциальных уравнений: метод Эйлера и метод Рунге-Кутта.

Прямой метод Эйлера- аппроксимируем производную в момент времени t_kсоотношением

При такой аппроксимации уравнение (1) примет вид:

(2)

Формула (2) известна как прямой метод Эйлера.  На рис.1(a) показана графическая интерпретация прямого метода Эйлера. На (k+1)-ом шаге векторное поле предполагается (локально) постоянным со значением f(x_k,t_k).Рис.1 Иллюстрация алгоритмов (а) прямого метода Эйлера, (b) обратного метода Эйлера. Меньшее значение величины шага h в итоге дает точки аппроксимации чаще и, как демонстрирует рис.2, приводит к большей точности интегрирования, что приобретает математический смысл, поскольку (2) стремится к (1) при h->0.Рис.2 Влияние величины шага. Уравнение dx/dt=-6x+5t^-tинтегрируется от x=1 прямым методом Эйлера при h=0.3 (а) и при h=0.1 (b). Точное решение показано штриховой линией.Обратный метод Эйлера- обратный метод Эйлера подобен прямому, но есть одно отличие в аппроксимации для производной

. Такая аппроксимация дает формулу обратного метода Эйлера:

(3)

На рис.1(b) показана геометрическая интерпретация обратного метода Эйлера. На (k+1)-ом шаге векторное поле предполагается (локально) постоянным со значением f(x_k+1,t_k+1).  Обратный метод Эйлера - это примернеявного алгоритма интегрирования , где x_k+1является функцией от самой себя. И напротив, прямой метод Эйлера представляет собойявный алгоритм. В неявных алгоритмах для определения x_k+1требуются дополнительные вычисления, но они по сравнению с аналогичными прямыми алгоритмами более устойчивы и дают более высокую точность вычислений (см. рис.3). Возможно это обусловлено наличием члена x_k+1в правой части формулы, что может рассматриваться как вид обратной связи.Рис.3 Та же система, что и на рис.2 проинтегрирована от x₀=1.0 с h=0.3 (a) прямым методом Эйлера, (b) обратным методом Эйлера. Точное решение показано штриховой линией.Метод Рунге-Кутта- в основу семейства алгоритмов Рунге-Кутта положена идея аппроксимации ф_t(x_k) рядом Тейлора. Рассмотрим алгоритмы второго и четвертого порядков. Термин "k-го порядка" означает, что в аппроксимации используется k членов ряда Тейлора.Метод Рунге-Кутта второго порядка - имеется целое семейство уравнений Рунге-Кутта второго порядка. Мы рассмотрим модифицированный алгоритм Эйлера-Коши, заданный соотношением:

Из этой формулы следует, что модифицированный алгоритм Эйлера-Коши включает два этапа. На первом этапе с помощью прямого метода Эйлера происходит перемещение на пол шага вперед к моменту времени (t_k+h/2):

На втором этапе это промежуточное значение используется для аппроксимации векторного поля с помощью итераций Эйлера прямого типа:

Модифицированный алгоритм Эйлера-Коши использует значение векторного поля в средней точке между x_kи x_k+1. Он отличается от трапецеидального алгоритма, в котором используется среднее значение векторного поля по x_kи x_k+1. Его можно рассматривать как явный алгоритм, который, используя промежуточный шаг по времени, включен в неявный алгоритм.Метод Рунге-Кутта четвертого порядка- как и в случае алгоритма второго порядка метод Рунге-Кутта четвертого порядка относится к явным алгоритмам. Он использует промежуточные моменты времени для для вычисления состояния в момент времени t_k+1. Следующие формулы определяют алгоритм Рунге-Кутта четвертого порядка:

(4)

Каждое из четырех K_iявляется аппроксимирующим значением векторного поля.  K₁- значение векторного поля при x_k.  K₂- аппроксимированное значение на полшага позже, в момент времени t_k+h/2. В сущности, это прямой метод Эйлера с временным шагом h/2.  K₃- также значение векторного поля в момент t_k+h/2, но вычисляется с использованием K₂. Это схоже с обратным методом Эйлера с половинным шагом, за исключением того, что вместо неявного разложения (3) используется явная аппроксимация для f в момент времени t_k+h/2.  K₄- значение векторного поля в момент t_k+1, вычисляется с использованием основного последнего значения K₃. Это модифицированный шаг Эйлера-Коши. Наконец, эти четыре значения усредняются, чтобы дать аппроксимацию векторного поля для определения x_k+1.

4)Уравнения с разделенными и разделяющимися переменными. Дифференциальные уравнения с разделенными переменными . Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными . Дифференциальные уравнения, сводящиеся к уравнениям с разделяющимися переменными , a ≠ 0, b ≠ 0. Дифференциальные уравнения, сводящиеся к уравнениям с разделяющимися переменными  или . Дифференциальные уравнения, сводящиеся к уравнениям с разделяющимися переменными .