Матрицы. Квадратные, диагональные, нулевые матрицы.

Равенство, транспонирование матриц. Умножение матрицы на число.

Матрица- система элементов ,расположенных в виде прямоугольной

таблицы. Таблица имеет следующий вид:

Элемент матрицы в общем виде обозначается aij; это показывает, что мы

имеем число, расположенное на пересечении i-й строки и j-го столбца (разумеется,

I и j можно заменить любой другой буквой, но такое обозначение — наиболее распространенное).

Соответственно, матрица A может обозначаться [aij].

Матрица, состоящая из одного числа, отождествляется с этим числом. Матрица размера m´n, все

элементы которой равны нулю, называются нулевой матрицей и обозначается через 0. Элементы матрицы

с одинаковыми индексами называют элементами главной диагонали. Если число строк матрицы равно

числу столбцов, то есть m = n, то матрицу называют квадратной порядка n. Квадратные матрицы, у которых

отличны от нуля лишь элементы главной диагонали, называются диагональными матрицами и записываются так:

.

Если все элементы a i i диагональной матрицы равны 1, то матрица

называется единичной и обозначается буквой Е:

                                                                          .

Квадратная матрица называется треугольной, если все элементы, стоящие выше (или ниже) главной

диагонали, равны нулю. Транспонированием называется такое преобразование матрицы, при котором

строки и столбцы меняются местами с сохранением их номеров. Обозначается транспонирование значком

Т наверху. . В частности, при транспонировании вектора-столбца

получается вектор-строка и наоборот.

        

     Произведением матрицы  на число  называется матрица  тех же размеров, у которой 

Обозначение: 

     Свойства ,    и 

Действия над матрицами: сложение и вычитание матриц. Свойства.

     Если даны две квадратные матрицы одного порядка, например

 то их суммой называется матрица

Аналогично определяется сумма двух прямоугольных матриц, имеющих одинаковое число строк и одинаковое число столбцов.

     Свойства сложения матриц: А + В = В + А, (А + В) + С = A + (B + C), А + 0 = A, А + (-A) = 0,

Умножение матриц. Свойства произведения матриц.

Произведением матрицы  размером  на матрицу  

размером  назвается матрица  размером  у которой

  Обозначение: C = AB.

     Свойства AE = EA = A, AO = OA = O, (AB)D = A(BD), (AB) = (A)B = A(B), 

(A + B)D=AD + BD, D(A + B) = DA + DB (при условии, что указанные операции имеют смысл).    

Для квадратных матриц А и B, вообще говоря, 

4. Определители 2-го и 3-го порядка: понятие, способы вычисления.

Определитель – это некоторое число поставленное в соответствие квадратной матрице .

Для неквадратных матриц понятие определителя не вводится.

Для обозначения определителя квадратной матрицы A будем пользоваться обозначением  или  .

4. Определитель n-го порядка, способ вычисления, свойства.

4. Миноры. Алгебраические дополнения элементов матрицы. Основные теоремы о сумме произведений элементов определителя на алгебраические дополнения.

4. Обратная матрица, свойства. Условие существования обратной матрицы.

Условие существования обратной матрицы. Для того, чтобы квадратная матрица A имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы она была невырожденной, т.е. detA ≠ 0 .

4. Ранг матрицы: определение, свойства, способы вычисления.

Ранг матрицы — наивысший из порядков миноров этой матрицы, отличных от нуля. Ранг матрицы равен наибольшему числу линейно независимых строк (или столбцов) матрицы.

Обычно ранг матрицы A обозначается rang A (rg A) или rank A.