- •I. Векторная алгебра и аналитическая геометрия.
- •1. Декартовы координаты на плоскости. Операции над векторами.
- •2. Два определения скалярного произведения.
- •3. Прямая на плоскости и различные формы ее представления.
- •4. Расстояние от точки до прямой на плоскости
- •5. Взаимное расположение прямых на плоскости.
- •6. Декартовы координаты в пространстве. Задача о делении отрезка в данном отношении.
- •7. Операции над векторами в пространстве.
- •8. Векторное произведение и его свойства
- •9.Смешанное произведение и его свойства
- •11.Расстояние от точки до плоскости.
- •16. Расстояние между прямой и плоскостью, между двумя прямыми
- •17.. Системы координат (декартовы, полярные, цилиндрические, сферические).
- •II. Линейная алгебра}
- •1.Матрица,примеры и операции над матрицей.
- •2. Алгебра матриц (сложение, умножение на число, умножение матриц, линейная комбинация, транспонирование)
- •3. Подстановки, транспозиции и их свойства.
- •4 Определитель матрицы. Примеры применения.
- •5.Свойства определителя
- •6.Свойства определителей
- •1)Обратная матрица
- •2)Теорема об определителе произведения матриц
- •9. Методы обращения матрицы.
- •10. Ранг матрицы и его свойства.
- •11. Системы линейных уравнений. Теорема Кронеккера-Капелли.
- •12. Линейная зависимость векторов. Базис n - мерного пространства
- •13. Системы линейных уравнений. Метод Крамера решения систем линейных уравнений.
- •14Системы линейных уравнений. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений
- •15. Собственные векторы и собственные значения матрицы.
- •16.Ортонормированные системы векторов и их свойства
- •17 Линейные операторы. Матрица линейного оператора.
- •18. Матрица линейного преобразования координат.
- •20. Классификация кривых второго порядка.
- •21. Классификация поверхностей второго порядка.
- •III. Дифференциальное исчисление
- •2.Последовательности.
- •3.Предел последовательности. Теорема Больцано-Вейерштрасса.
- •4. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Их свойства. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности и их свойства.
- •5. Свойства пределов последовательности, связанные с арифметическими операциями.
- •6.Предел функции. Свойства предела функции в точке
- •7Основные теоремы о пределах. Арифметические операции над пределами.
- •8.Первый замечательный предел
- •9.Второй замечательный предел
- •10. Бесконечно малые функции. Свойства бесконечно малых.
- •11. Непрерывность функции в точке. Свойства функций, непрерывных в точке.
- •Комментарии
- •Точки разрыва
- •Устранимые точки разрыва
- •[Править] Точки разрыва первого и второго рода
- •Свойства Локальные
- •[Править] Глобальные
- •12. Асимптоты вертикальные и горизонтальные.
- •13. Комплексные числа и действия над ними. Тригонометрическая форма комплексного числа.
- •14.Предел последовательности комплексных чисел.
- •15.Непрерывность сложных и обратных функций
- •17.Непрерывность функции на отрезке
- •18. Производная функции в точке, ее геометрический смысл. Сделай пожалуста и этот вопрос.
- •19.Свойства производной функции.
- •23. Производные высших порядков
- •24.Теорема Ролля.
- •Доказательство
- •Следствия
- •1. Теорема Ролля
- •27. Формула Тейлора.
- •28. Применение производной для исследования монотонности функции.
- •29. Минимумы и максимумы функции. Необходимые условия экстремума.
- •30. Достаточные условия экстремума.
- •31. Асимптоты вертикальные и наклонные
- •32. Выпуклость. Точки перегиба
- •33. Общая схема исследования функции.
I. Векторная алгебра и аналитическая геометрия.
1. Декартовы координаты на плоскости. Операции над векторами.
У нас есть две прямые x и y, которые пересекаются в точке O. Эти прямые называются осями координат. Ось x называется осью абсцисс, а ось y – осью ординат. Точка пересечения осей называется началом координат. Каждая ось разбивает плоскость на две полуплоскости, одна из них положительная, другая отрицательная.
Будем обозначать плоскость Oxy (O - точка пересечения оси x с осью y).
2. Два определения скалярного произведения.
Скалярное произведение — операция над двумя векторами, результатом которой является число, не зависящее от системы координат и характеризующее длины векторов-сомножителей и угол между ними.
Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними.
3. Прямая на плоскости и различные формы ее представления.
Линия на плоскости является прямой тогда и только тогда, когда она является алгебраической линией первого порядка.
Доказательство. Необходимость. Пусть l - прямая на плоскости, проходящая через точку M0 и параллельная ненулевому вектору а. Пусть Oxy - произвольная аффинная система координат и а = {m, n}, М0(x0, y0). Тогда прямая l описывается каноническим уравнением или, что то же самое, уравнением n(x - x0) - m(y - y0) = 0, которое, если положить А = n, B = -m, C = -n x0 + my0, может быть записано в виде
Ax + By + C = 0
Так как вектор а = {m, n} ≠ 0, то по крайней мере один из коэффициентов А или В отличен от нуля. Поэтому левая часть уравнения представляет собой алгебраический многочлен первой степени. Следовательно, любая прямая на плоскости является алгебраической линией первого порядка.
Достаточность. Пусть в аффинной системе координат Oxy линия l определяется уравнением Это уравнение имеет частное решение
, ибо Ax0 + By0 + C ≠0
Вычитая последнее равенство из (5.2.6), получим, что А(x - x0) + В(y - y0) = 0 или, что то же самое
В силу теоремы это уравнение определяет прямую, проходящую через точку М0(x0, y0), с направляющим вектором а = {-В, А}. Теорема доказана.
Уравнение называется общим уравнением прямой на плоскости. Вектор n = {A, B} называется вектором нормали к прямой относительно уравнения
Общее уравнение прямой называется полным, если все коэффициенты А, В, С отличны от нуля.
Уравнения прямой:
• C = 0, А ≠ 0, В ≠ 0 – прямая проходит через начало координат
• А = 0, В ≠0, С ≠0 { By + C = 0}- прямая параллельна оси Ох
• В = 0, А ≠0, С ≠ 0 { Ax + C = 0} – прямая параллельна оси Оу
• В = С = 0, А ≠0 – прямая совпадает с осью Оу
• А = С = 0, В ≠0 – прямая совпадает с осью Ох
4. Расстояние от точки до прямой на плоскости
Расстояние от точки до прямой определяется длиной перпендикуляра, опущенного из точки на прямую.
Если прямая параллельна плоскости проекции (h | | П1), то для того чтобы определить расстояние от точки А до прямой h необходимо опустить перпендикуляр из точки А на горизонталь h.
d = |A*Mx + B*My + C|/(корень квадратный, под корнем A^2 + B^2)