Этот метод называют методом Лагранжа вариации произвольных постоянных.

Итак, пусть дано неоднородное линейное уравнение

Обозначим через ϕ1 (x) и ϕ2 (x) фундаментальную систему решений

Будем искать решение уравнения (2.39) в таком же виде, как и общее решение соответствующего однородного уравнения, заменяя произвольные постоянные некоторыми дифференцируемыми функциями от x (варьируем произвольные постоянные), т.е.

которые пока неизвестны и которые попытаемся определить так, чтобы функция (2.42) была бы решением неоднородного уравнения (2.39). Дифференцируя обе части равенства (2.42), получим

y' = C'1 (x)ϕ1 +C1(x)ϕ'1 +C'2 (x)ϕ2 +C2 (x)ϕ'2 .

Чтобы при вычислении y'' не появились производные второго порядка от C1(x) и C2 (x) , потребуем, чтобы всюду в (a,b) выполнялось условие

Выражения, стоящие в квадратных скобках, равны нулю всюду в

39

(a,b), т.к. ϕ1 и ϕ2 - частные решения уравнения (2.40). При этом (2.46) примет вид C'1 (x)ϕ'1 +C'2 (x)ϕ'2 = f . Объединяя это условие с условием (2.43), получим систему уравнений для определения C'1 (x) и C'2 (x)

Последняя система представляет собой систему двух алгебраических линейных неоднородных уравнений относительно C'1 (x) и C'2 (x) .

Определителем этой системы является определитель Вронского для фундаментальной системы решений ϕ1 ϕ2 и, следовательно, отличен от

нуля всюду в (a,b). Это означает, что система (2.47) имеет единственное решение. Решив ее любым способом относительно C'1 (x), C'2 (x) найдем

C'1 (x) = Ψ1 (x), C'2 (x) = Ψ2 (x),

где Ψ1 (x) и Ψ2 (x) - известные функции.

Выполняя интегрирование и учитывая, что в качестве C'1 (x), C'2 (x)

следует брать одну какую-нибудь пару функций, положим постоянные интегрирования равными нулю. Получим

Подставив выражения (2.48) в соотношения (2.42), сможем записать искомое решение неоднородного уравнения (2.39) в виде

y =ϕ1 ∫Ψ1(x)dx +ϕ2 ∫Ψ2 (x)dx.

Обобщая изложенное, заметим, что частное решение линейного неоднородного уравнения n -го порядка вида (2.31) при условии, что известна фундаментальная система решений ϕ1 (x),ϕ2 (x),...,ϕn (x)

системы алгебраических линейных неоднородных уравнений (аналогично

(2.47)).

Так как определитель последней системы является определителем Вронского для фундаментальной системы ϕ1 (x),ϕ2 (x),...,ϕn (x), то он

40

отличен от нуля в (a,b), a, значит, сама система имеет единственное решение, так что

где ψ1 (x),ψ2 (x),...,ψn (x) - известные функции.

Выполнив интегрирование, получим искомое решение неоднородного уравнения (2.31) в виде

y =ϕ1 ∫ψ1 (x)dx +ϕ2 ∫ψ2 (x)dx +... +ϕn ∫ψn (x)dx.

соответствующего однородного уравнения.

Найдем частное решение данного уравнения. Для этого в согласии с методом Лагранжа следует сначала решить систему (2.47), которая в нашем случае имеет вид

Сократив обе части каждого из уравнений на ex , получим

Вычитая почленно из второго уравнения первое, найдем C2' = x12 , а

тогда из первого уравнения следует C1' = − 1x .

Выполняя интегрирование и полагая постоянные интегрирования

41

называют принципом наложения и который выражается следующей теоремой..

Теорема 2.7. Если на промежутке (a,b) функция ψ1 (x) - частное

2.5. Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

Рассмотрим линейное однородное уравнение n -го порядка

где коэффициенты p1, p2 ,..., pn постоянны.

Л.Эйлер показал, что для уравнения (2.49) всегда можно построить фундаментальную систему решений, состоящую из элементарных функций, и, следовательно, оно всегда интегрируется в элементарных функциях. Ниже это утверждение доказывается для уравнения второго порядка, и формулируются окончательные результаты для уравнения n - го порядка.

Рассмотрим уравнение второго порядка

где λ- некоторое число, которое постараемся подобрать так, чтобы функция (2.51) удовлетворяла уравнению (2.50).

Это уравнение называется характеристическим уравнением уравнения (2.50), а его корни - характеристическими числами уравнения (2.50).

Заметим, что характеристическое уравнение (2.52) может быть составлено по данному уравнению (2.50), если заменить в нем y '', y ' и y

соответственно на λ2 , λ и 1.

42

Уравнение (2.52) является квадратным и, следовательно, имеет два корня, которые мы обозначим через λ1 и λ2 .

Структура фундаментальной системы решений зависит от вида корней характеристического уравнения.

Возможен один из трех случаев:

1). λ1, λ2 - вещественные и различные; 2). λ1, λ2 - вещественные и равные;

3). λ1, λ2 - комплексные. Перейдем к построению общего решения

уравнения (2.50) в каждом из этих случаев.

1). Подставляя в формулу (2.51) вместо λ корни λ1 и λ2 , получим два

Эти решения, очевидно, линейно независимы, т.к. их отношение

отлично от постоянной. Кроме того, в линейной независимости решений (2.53) можно убедиться с помощью определителя Вронского. Имеем

Итак, решения (2.53) образуют фундаментальную систему решений уравнения (2.50) и, следовательно, его общее решение можно записать в виде

y = C1eλ1x +C2eλ2 x ,

где C1 и C2 - произвольные постоянные.

2). В этом случае дискриминант квадратного уравнения (2.52) равен нулю, т.е.

Одно решение получается на основании предыдущих рассуждений:

− p1 x

это функция y1 = e 2 .

Теперь возникает вопрос об отыскании второго решения уравнения (2.50), линейно независимого с y1. Убедимся непосредственной

43

уравнения (2.50).

Вычислим сначала производные

Так как в рассматриваемом случае дискриминант квадратного уравнения (2.52) равен нулю, т.е. выполнено равенство (2.54), то круглая скобка в правой части последнего равенства тоже равна нулю, а это и значит, что y2 - решение уравнения (2.50).

Непосредственно видно, что решение y2 линейно независимо с решением y1, и, следовательно, они образуют фундаментальную систему решений уравнения (2.50), а его общее решение имеет вид

где C1 и C2 - произвольные постоянные.

Прежде чем переходить к рассмотрению третьего случая, остановимся на понятии комплексного решения уравнения (2.50).

Пусть в интервале (a,b) даны две вещественные дважды непрерывно дифференцируемые функции u(x) и v(x) аргумента x . Комплексная функция y(x) = u(x) +iv(x) называется комплексным решением линейного однородного уравнения (2.50) в интервале (a,b), если всюду в этом

интервале имеет место тождество

(u +iv) ''+ p1 (u +iv) '+ p2 (u +iv) ≡ 0.

Нетрудно убедиться, что последнее тождество можно записать в виде

(u ''+ p1u '+ p2u) +i(v ''+ p1v '+ p2v) ≡ 0,

которое, в свою очередь, равносильно следующим двум u ''+ p1u '+ p2u ≡ 0, v ''+ p1v '+ p2v ≡ 0.

Отсюда следует, что вещественная и мнимая части комплексного решения линейного однородного уравнения (2.50) являются вещественными решениями этого уравнения.

Наконец, для любых вещественных чисел α и β определим

комплексную показательную функцию действительного аргумента x при помощи равенства

44

e(α +iβ) x = eαx (cos βx +i sin βx).

Последнюю формулу называют формулой Эйлера.

y = e(a +ib) x , которое с помощью формулы Эйлера может быть записано в виде y = eax cos bx +ieax sin bx.

Поскольку вещественная и мнимая части комплексного решения сами являются вещественными решениями, то получаем два частных решения уравнения (2.50)

Легко видеть, что эти решения линейно независимы на всей числовой оси (их отношение отлично от постоянной). Аналогично корню λ2 = a −bi

где C1 и C2 - произвольные постоянные.

Пример 2.9. Найти общее решение для каждого уравнения

1). y ''−5y '+6 y = 0, 2). y ''−6 y '+9 y = 0, 3). y ''− 4 y '+13y = 0.

Каждое из данных уравнений является линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Составим характеристическое уравнение для каждого уравнения:

45

Перейдем теперь к построению фундаментальной системы решений для уравнения n -го порядка (2.49). Проводя для уравнения (2.49) рассуждения аналогичные проведенным для уравнения второго порядка (2.50), легко убедиться, что вопрос об отыскании его фундаментальной системы сводится к решению уравнения

которое называется характеристическим уравнением уравнения (2.49) и

которое составляется по тому же правилу, что и характеристическое уравнение для уравнения второго порядка (2.50), а именно: производные от искомой функции заменяются соответствующими степенями λ (искомая функция рассматривается как производная нулевого порядка).

Корни уравнения (2.55) называются характеристическими числами уравнения (2.49).

Сформулируем общее правило решения уравнения (2.49): 1). Составляем характеристическое уравнение

λn + p1λn−1 + p2λn−2 +... + pn−1λ + pn = 0,

2). Находим корни характеристического уравнения λ1, λ2 ,...λn .

3). Находим частные линейно независимые решения уравнения (2.49), руководствуясь тем, что

а) каждому действительному корню λ кратности k соответствует k линейно независимых частных решений eλx , xeλx , x2eλx ,..., xk −1eλx ;

б) каждой паре комплексных сопряженных корней a +bi и a −bi кратности k соответствует 2k линейно независимых частных решений

Всего таких частных решений будет ровно n , причем можно показать, что они линейно независимы на всей числовой оси.

4). Составляем линейную комбинацию найденных n решений с произвольными коэффициентами, которая и будет общим решением уравнения (2.49) в области

46

{−∞ < x < ∞, −∞ < y < +∞, −∞ < y ' < +∞, ..., −∞ < yn−1 < +∞}.

Пример 2.10. Решить уравнение y '''+ 4 y ''+ 6 y '+ 4 y = 0.

Составим характеристическое уравнение λ3 + 4λ2 +6λ + 4 = 0.

Это уравнение имеет три простых корня λ1 = −2, λ2 = −1+i, λ3 = −1−i.

где C1,C2 ,C3 - произвольные постоянные.

2.6.Линейные неоднородные дифференциальные уравнения

спостоянными коэффициентами

Рассмотрим линейное неоднородное уравнение n -го порядка

Ранее было показано, что общее решение уравнения (2.56) может быть представлено в виде суммы общего решения соответствующего однородного уравнения и произвольного частного решения уравнения (2.56). Правила отыскания общего решения однородного уравнения, соответствующего уравнению (2.56) были изложены выше. Для отыскания частного решения уравнения (2.56) можно использовать

метод Лагранжа вариации произвольных постоянных. Но его применение часто приводит к необходимости производить довольно сложные вычисления. Однако, для некоторых случаев, когда правая часть f (x) имеет специальный вид, удается найти частное решение уравнения

(2.56) без квадратур с помощью метода неопределенных коэффициентов.

1). Рассмотрим сначала случай, когда правая часть уравнения (2.56) имеет вид

где α - вещественное число, а Pm (x) - многочлен степени m .

Метод неопределенных коэффициентов состоит в том, что частное решение неоднородного уравнения (2.56) ищется в виде, определяемом видом правой части уравнения. При этом сначала задается вид частного решения с неопределенными коэффициентами, а затем эти коэффициенты

47

определяются, после подстановки этого решения, в левую часть уравнения (2.56) и приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях x в левой и правой частях полученного равенства.

В рассматриваемом случае частное решение уравнения (2.56) следует искать в виде

где Qm (x) - многочлен степени m с неопределенными коэффициентами, а

k - кратность числа α как корня характеристического уравнения однородного уравнения соответствующего уравнению (2.56) (если α не является корнем указанного характеристического уравнения, то k

Составляем характеристическое уравнение для соответствующего

и находим его корни λ1 = 2, λ2 = 3. Так как число α = 2 является простым

корнем характеристического уравнения (2.60), то k =1. Степень многочлена m в правой части данного уравнения равна единице, и, следовательно, частное решение следует искать в виде

y = x(Ax + B)e2 x ,

где A и B - неопределенные коэффициенты. Вычислим y ' и y '' : y ' = 2Ax2 + 2( A + B)x + B e2 x ,

y '' = 4Ax2 + 4(2A + B)x + 2( A + 2B) e2 x .

Подставляя y, y ', y '' в уравнение (2.59) и сокращая на e2 x , получим

4Ax2 + 4(2A + B)x + 2( A + 2B) −10Ax2 −10( A + B)x −

−5B +6Ax2 +6Bx ≡ 2x −5

или

−2 Ax + 2 A − B ≡ 2x −5.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x получим систему двух уравнений

48

где C1 и C2 - произвольные постоянные.

2). Рассмотрим теперь случай, когда правая часть уравнения (2.56) имеет вид

от x , старшая степень которых равна m .

В этом случае частное решение уравнения (2.56) следует искать в виде

коэффициентами, а k - кратность комплексного числа α +iβ как корня

характеристического уравнения однородного уравнения соответствующего уравнению (2.56) (если α +iβ не является корнем указанного

Составляем характеристическое уравнение для соответствующего

и находим его корни λ1 =1, λ2 = −2. По виду выражения (2.61) и правой части данного уравнения находим, что α =1, β =1, m = 0. Так как

комплексное число 1+i не является корнем характеристического уравнения (2.64), то частное решение уравнения (2.63) в соответствии с равенством (2.62), следует искать в виде

Приравнивая коэффициенты при cos x и sin x получим систему двух уравнений

49

3B − A =1

−3A − B = −7

откуда следует A = 2, B =1. Искомое частное решение имеет вид y = ex (2cos x +sin x), а общим решением уравнения (2.63) будет

y = C1ex +C2e−2 x +ex (2cos x +sin x),

где C1 и C2 - произвольные постоянные.

Глава 3. СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

3.1. Основные понятия

Ранее мы рассматривали обыкновенные дифференциальные уравнения вида

y(n) = f (x, y, y ', y '',..., y(n−1) ),

где x - независимая переменная, y - искомая функция x, f - заданная

функция своих аргументов, a n - порядок уравнения.

Однако, самые разнообразные задачи науки и техники приводят к необходимости изучения систем дифференциальных уравнений с несколькими неизвестными функциями.

Рассмотрим, например, систему уравнений вида

Система вида (3.1) называется нормальной системой дифференциальных уравнений.

Можно показать, что любая система уравнений, разрешенных относительно старших производных искомых функций может быть приведена к нормальной системе вида (3.1).

Всякая совокупность функций y1 (x), y2 (x),..., yn (x) определенных и непрерывно дифференцируемых на интервале (a,b) называется решением

системы (3,1) в этом интервале, если при подстановке их в уравнения системы они обращают их в тождества, справедливые при всех x из (a,b). Процесс нахождения решений системы (3.1) называется

интегрированием (решением) этой системы.

50

Можно показать, что при выполнении довольно общих условий, система уравнений (3.1) может быть сведена к одному дифференциальному уравнению n -го порядка относительно любой из функций y1, y2 ,..., yn или к группе уравнений (с одной неизвестной

функцией каждое), сумма порядков которых равна n .

Достигается это с помощью так называемого метода исключения, который состоит в том, что из системы (3.1) при помощи

функции y1 (случай получения группы уравнений не приносит ничего

принципиально нового). Найдя общее решение этого уравнения, определяют остальные функции без квадратур.

Если независимую переменную x трактовать как время и ввести в

рассмотрение n -мерное пространство с координатами y1, y2 ,..., yn назвав

его фазовым, то всякое решение системы (3.1) представляет собой движение точки в фазовом пространстве. Поэтому решению системы (3.1) соответствует движение точки в фазовом пространстве, а кривая описываемая в нем движущейся точкой называется -траекторией этого движения. Начальная задача, или задача Коши для нормальной системы (3.1) ставится так: найти решение системы (3.1), которое удовлетворяло бы начальным условиям

y1 (x), y2 (x),..., yn (x), то система (3.1) может быть записана в векторном

виде

dYdt = F (x,Y ),

где F - векторная функция с координатами ( f1, f2 ,..., fn ), , а начальные условия в виде Y (x0 ) =Y0 , где Y0 −n - мерный вектор с координатами

(y10 , y20 ,..., yn0 )..

Как и ранее, возникает вопрос о существовании и единственности решения у системы (3.1), удовлетворяющей начальным условиям (3.2).

Оказывается, что теорема существования и единственности решения для уравнения первого порядка в нормальной форме распространяется и

51

на нормальную систему уравнений.

Теорема 3.1. Если правые части системы (3.1) непрерывны в некоторой окрестности точки (x0 , y10 , y20 ,..., yn0 ) и имеют в этой окрестности непрерывные частные производные по y1, y2 ,..., yn то система

условиям (3.2).

По аналогии с введенными для дифференциального уравнения n -го порядка понятиями общего и частного решений, вводятся понятия общего и частного решений системы уравнений (3.1).

Продемонстрируем применение метода исключения. Пример 3.1. Решить систему уравнений

Получим дифференциальное уравнение для определения функции u(x). С этой целью продифференцируем третье уравнение системы (3.3)

Выпишем систему уравнений, состоящую из уравнения (3.4) и третьего уравнения системы (3.3)

Продифференцируем теперь уравнение (3.4) u ''' = 3y '+3z '+ 4u '

и заменим производные y ' и z ' через их выражения из системы (3.3):

Подставив теперь в правую часть (3.6) вместо y и z соответствующие

выражения из (3.5), получим

u ''' = 4u '+6u − 32 u ''+ 92 u '+ 6u + 23 u ''− 32 u '−6u

или

u '''−7u '−6u = 0.

52

Получено линейное однородное дифференциальное уравнение третьего порядка с постоянными коэффициентами. Составим его

Совокупность выражений (3.7), (3.8) и (3.9) образуют общее решение системы (3.3).

3.2 Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Важное значение среди нормальных систем дифференциальных уравнений имеют системы вида

некотором интервале (a,b). На основании теоремы существования и единственности решения нормальной системы можно утверждать, что для любого значения x0 из (a,b) и любых чисел y10 , y20 ,..., yn0 у системы (3.10) существует единственное решение y1 (x), y2 (x),..., yn (x), которое определено в некоторой окрестности точки x0 и удовлетворяет

начальным условиям

y1(x0 ) = y10 , y2 (x0 ) = y20 ,..., yn (x0 ) = yn0.

Если на интервале (a,b) функции f1 (x), f2 (x),..., fn (x) тождественно

равны нулю, то система (3.10) называется линейной однородной; в

противном случае - линейной неоднородной.

Теория линейных систем (свойства их решений, структура общего решения, специальные методы интегрирования) аналогична теории линейных дифференциальных уравнений n -го порядка.

Рассмотрим подробнее системы линейных однородных диффе-

53

ренциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Для простоты записи ограничимся случаем n = 3.

Итак, рассмотрим систему

где aij (x)(i, j =1, 2,..., n) - вещественные числа. Будем искать решение системы (3.11) в виде

где λ,γ1,γ2 ,γ3 - некоторые числа, которые надо подобрать так, чтобы

функции (3.12) были бы решением системы (3.11).

Подставив функции (3.12) в систему (3.11), получим (после сокращения на eλx и переноса всех членов в одну часть равенства):

линейных однородных уравнений. Известно, что для того, чтобы система линейных однородных уравнений имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был равен нулю, т.е. число λ должно удовлетворять уравнению

Уравнение (3.14) называется характеристическим (вековым) уравнением системы (3.11), а его корни- характеристическими числами системы (3.11). В нашем случае уравнение (3.14) - уравнение третьей степени относительно λ.

Рассмотрим случай, когда все корни λ1, λ2 , λ3 характеристического

уравнения вещественны и различны. Подставляя поочередно каждый корень λi (i =1, 2,3) вместо λ в систему (3.13) и находя каждый раз

ненулевые решения γi1,γi2 ,γi3 сможем получить три частных решения системы (3.11):

54

произвольными постоянными C1,C2 ,C3 представляет собою общее решение системы (3.11)