(x + 2 y y cos y) y '− 2 y = 0 |
(1.55) |
Если считать x за аргумент, а y за функцию, |
то это уравнение не |
является линейным. Если же за независимую переменную принять y , а x
за искомую функцию, то данное уравнение можно привести к виду (1.32). Запишем данное уравнение сначала в виде
(x + 2 y |
y cos y) |
dy |
= 2 y, |
|||
dx |
||||||
а затем в виде |
|
|
||||
|
|
|
||||
2 y |
dx |
|
− x = 2 y y cos y. |
|||
dy |
||||||
|
|
|
|
|||
Разделив обе части последнего уравнения на 2 y , получим линейное уравнение
|
dx |
− |
1 |
x = y cos y. |
(1.56) |
|
dy |
2 y |
|||
|
|
|
|
||
В согласии с формулой (1.37), |
в которой следует x и |
y поменять |
|||
местами, получим выражение для общего решения уравнения (1.55)
|
−∫ |
(−1) |
dy |
|
x = e |
|
∫ |
||
|
2 y |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
(−1) |
dy |
|
y cos ye |
|
|||
|
2 y |
dy +C . |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вычисляя интегралы, сможем написать
|
1 |
ln y |
|
|
x = e2 |
∫ |
|||
|
||||
|
|
|
||
|
|
|
|
|
или
x = y ∫
откуда следует
x =
y cos ye |
− |
1 |
ln y |
|
, |
|
|||||
2 |
|
dy +C |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
y cos y |
dy +C |
, |
||
y |
||||
|
|
|
||
|
|
|
|
y (∫cos ydy +C ).
Вычисляя интеграл, получим окончательно общий интеграл данного дифференциального уравнения
x = y (sin y +C).
Глава 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
2.1 Основные понятия
Одним из возможных обобщений обыкновенного дифференциального
22