- •Введем в рассмотрение функции
- •Сделаем подстановку
- •Возвращаясь к старой переменной, получим
- •Вычисляя интегралы, сможем написать
- •Задача Коши для уравнения (2.2) ставится так: найти решение
- •Учитывая, что
- •Продолжая так и далее, будем получать последовательно
- •Искомое частное решение имеет вид
- •Итак, пусть дано неоднородное линейное уравнение
Например, функция Φ(x, y) = x3 + 2xy2 является однородной функцией третьей степени относительно x и y , ибо
Φ(λx, λy) = (λx)3 + 2λx(λy)2 = λ3 x3 + 2λ3 xy2 = λ3 (x3 + 2xy2 ) = λ3Φ(x, y).
Аналогично устанавливается, что функции |
|
|
|
|||||
f (x, y) = |
x2 |
−3xy |
, |
ϕ(x, y) = |
x3 |
+ y2 ln |
x |
|
x2 |
+ y2 |
y |
y |
|||||
|
|
|
|
|||||
являются однородными функциями соответственно нулевой и второй степени.
Функции x3 −2xy + y, ex−y + 2 однородными не являются, т.к. для них
условие (1.17) не выполняется ни при каких m . |
|
Дифференциальное уравнение |
|
y ' = f (x, y) |
(1.18) |
называется однородным, если его правая часть f (x, y) есть однородная
функция нулевой степени относительно своих аргументов. |
|
|||
Сделаем подстановку |
|
|
|
|
y(x) = xu(x), |
(1.19) |
|||
где u(x) - новая неизвестная функция. Тогда будем иметь |
(1.20) |
|||
y ' = u + xu '. |
||||
Подставляя (1.19) и (1.20) в уравнение (1.18), получим |
|
|||
u + xu ' = f (x, xu). |
(1.21) |
|||
Учитывая, что функция f (x, y) |
- однородная функция |
нулевой |
||
степени, можем написать |
|
|
|
|
f (x, xu) = f (1,u). |
(1.22) |
|||
Используя равенство (1.22), сможем записать уравнение (1.21) в виде |
||||
u + xu ' = f (1,u) |
|
|||
или, считая, что x ≠ 0 |
f (1,u) −u |
|
|
|
u ' = |
|
. |
(1.23) |
|
|
|
|||
|
|
x |
|
|
Уравнение (1.23) - уравнение с разделяющимися переменными относительно неизвестной функции u .
Предположим, что функция f (1,u) непрерывна на интервале (a,b) и f (1,u) −u ≠ 0 . Тогда, разделяя переменные в уравнении (1.23), получим
du |
= |
dx |
, |
|
f (1,u) −u |
x |
|||
|
|
а затем интегрируя, находим общие интегралы этого уравнения в областях {a < u < b, x > 0} и {a < u < b, x < 0} в виде
14
∫ |
du |
= ln | x | +C, |
(1.24) |
f (1,u) −u |
|||
где C - произвольная постоянная. |
|
|
(a,b) имеем |
Если при некотором значении u = u0 |
из интервала |
||
f (1,u0 ) −u0 = 0 , то y = x u0 - решение уравнения (1.18), не содержащееся
в семействе решений (1.24).
Заметим, что если P(x, y) и Q(x, y) - однородные функции одной и той
же степени, которые непрерывны в некоторой области D и не обращаются одновременно в нуль ни в одной точке этой области, то дифференциальное уравнение
P(x, y)dx +Q(x, y)dy = 0 |
(1.25) |
также является однородным и с помощью подстановки (1.19) приводится к уравнению с разделяющимися переменными.
Пример 1.6. Решить уравнение
|
|
|
|
|
|
|
|
y ' = |
|
y |
ln |
|
y |
+1 |
|
|
(1.26) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
при x ≥1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
y |
|
ln |
|
y |
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Функция |
f (x, y) = |
|
|
определена в области {x ≥1, y > 0} т.к. |
||||||||||||||||||||||||
x |
|
x |
|||||||||||||||||||||||||||
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
ln |
имеет |
смысл |
лишь |
при |
|
|
|
> 0 . |
Данное |
уравнение является |
|||||||||||||||||||
x |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
y |
x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
однородным, |
т.к. функция |
|
|
ln |
+1 |
- |
однородная функция нулевой |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
степени относительно своих аргументов в указанной области, ибо |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
f (λx, λy) = λy |
|
ln |
λy +1 = |
y |
ln |
|
y |
+1 |
= f (x, y). |
|||||||||||||||||
|
|
|
x |
|
x |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
λx |
|
|
|
|
λx |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
Введем подстановку |
y = xu(x) , |
где |
u |
- новая неизвестная функция. |
||||||||||||||||||||||||
При этом y ' = u + xu ' . Осуществив подстановку, получим |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
u + xu ' = u(ln u +1), |
|
|
|
||||||||||||||||||
откуда следует уравнение с разделяющимися переменными |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xu ' =u ln u. |
|
|
(1.27) |
|||||||||||||
|
Решая его в области {x ≥1,u > 0}, будем иметь |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
du |
|
= |
dx |
|
(u ≠1) |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u ln u |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
или, выполняя интегрирование
ln | ln u |= ln x +ln C,
где произвольная постоянная записана в виде ln C при условии C > 0. Из
15