2.2. Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка

Одним из основных методов, применяемых при решении дифференциальных уравнений высших порядков, является понижение порядка уравнения, т.е. сведение данного уравнения к другому уравнению, имеющему более низкий порядок. Понижение порядка уравнения разумно производить даже в тех случаях, когда получаемое при этом уравнение не интегрируется в квадратурах, ибо чем ниже порядок уравнения, тем, вообще говоря, легче исследовать свойства его решений и находить сами решения (хотя бы приближенно).

Рассмотрим несколько типов дифференциальных уравнений допускающих понижение порядка.

Первый тип. Уравнение вида

где f (x) - функция, непрерывная на некотором промежутке X . Для этого

типа уравнений можно найти общее решение в квадратурах, последовательно понижая порядок уравнения на единицу. Действительно, так как

y(n) = ( y(n−1) ) ',

то данное уравнение можно записать в виде

( y(n−1) ) ' = f (x)

откуда следует

где C1 - произвольная постоянная.

Учитывая, что

y(n−1) = ( y(n−2) ) '

проделаем с уравнением (2.8) те же операции, что и с уравнением (2.7). В результате получим

y(n−2) = ∫∫ f (x)dxdx +C1x +C2 ,

где C2 - произвольная постоянная.

Продолжая так и далее, будем получать последовательно

y(n−3) = ∫∫∫ f (x)dxdxdx +C1 x2 +C2 x +C3 , 2!

y(n−4) = ∫∫∫∫ f (x)dxdxdxdx +C1 x3 +C2 x2 x +C3 x +C4 , 3! 2!

и т.д. (C3,C4 ,...,Cn - появляющиеся последовательно произвольные постоянные). Наконец, получим

27

непрерывна на всей оси Ox , то общее решение может быть получено

после трехкратного последовательного интегрирования функции e2x , а именно

где C1,C2 ,C3 - произвольные постоянные.

Для получения частного решения, удовлетворяющего начальным условиям (2.9), подставим в выражения (2.10), (2.11), (2.12) соответствующие начальные значения. В результате получим следующие уравнения для определения постоянных C1,C2 ,C3

28

Введем новую неизвестную функцию z(x) , положив z = y(k ) .

Тогда

(2.14) и соотношение (2.16), получим уравнение k -го порядка для определения функции y

y(k ) =ϕ(x,C1,C2 ,...,Cn−k ).

Это уравнение относится к рассмотренному ранее типу и, следовательно, интегрируя его последовательно k раз, получим общее решение уравнения (2.13) в виде

y = Ψ(x,C1C2 ,...,Cn ).

Итак, вопрос об интегрировании уравнения n -го порядка типа (2.13) сводится к интегрированию уравнения (n −k) -го порядка (2.15).

Пример 2.3. Решить уравнение (x +1) y '''− y '' = 0, считая, что x > 0. Данное уравнение не содержит неизвестной функции y и ее

производной y '; следовательно, оно относится ко второму типу. Введя подстановку

получим уравнение первого порядка:

(x +1)z '− z = 0.

Это уравнение с разделяющимися переменными, так что можем записать его в виде

dxdz = x z+1.

Разделяя переменные и интегрируя, получим его общее решение для случая z > 0

где C1 - произвольная постоянная. Из равенства (2.17) и (2.18) следует y '' = C1 (x +1),

29

т. е. дифференциальное уравнение второго порядка первого типа. Выполняя последовательно двукратное интегрирование функции

C1 (x +1) , получим общее решение данного уравнения

где C2 и C3 - произвольные постоянные. Третий тип. Уравнение вида

где F - заданная функция своих аргументов, то есть это тип уравнений, не содержащих явно независимой переменной. Покажем, что порядок уравнения этого типа может быть понижен на единицу. Для этого примем y за новую независимую переменную, а за новую искомую функцию y ',

которую для удобства обозначим через p , так что сможем написать

В согласии с правилом дифференцирования сложной функции будем иметь

Из последних выражений непосредственно видно, что вторая производная от y по x выразилась через первую производную от p по y ,

а третья производная от y по x выразилась через вторую производную от

где ωm - известная функция своих аргументов.

Заменяя в уравнении (2.19) производные y ', y '',..., y(n) соответственно

выражениями (2.21), (2.22), (2.23), получим дифференциальное уравнение n −1 порядка относительно новой неизвестной функции p аргумента y

30

где F1 - известная функция своих аргументов.

Если последнее уравнение проинтегрировано и его общее решение имеет вид

p =ϕ( y,C1,C2 ,...,Cn −1 ),

где ϕ известная функция своих аргументов, а C1,C2 ,...,Cn −1 -

произвольные постоянные, то решение данного уравнения сводится к решению уравнения первого порядка

Интегрируя последнее уравнение, получим общий интеграл уравнения

(2.19)

где Cn - произвольная постоянная.

Из изложенного следует, что интегрирование уравнения n -го порядка типа (2.19) с помощью подстановки (2.20) сводится к интегрированию уравнения (n −1)-го порядка (2.24).

Пример 2.4. Решить уравнение

(1+ y2 ) y ''−2 yy '2 = 0.

Данное уравнение имеет второй порядок и не содержит явно независимой переменной x и, следовательно, относится к третьему типу.

Это дифференциальное уравнение распадается на два: p = 0, (1+ y2 ) dpdy −2 yp = 0.

Первое из них дает y ' = 0 , т.е. y = C , где C - произвольная постоянная.

Разделив обе части второго уравнения на 1+ y2 , получим линейное

однородное уравнение первого порядка

dpdy −1+2 yy2 p = 0.

Воспользовавшись формулой для общего решения линейного однородного уравнения первого порядка, можем написать

31

где C1 - произвольная постоянная. Выполняя интегрирование, получим

p = C1eln(1+ y2 ) = C1 (1+ y2 ).

Вспоминая, что p = y ' будем иметь уравнение первого порядка с

содержится в последнем выражении при C1 = 0, можем утверждать, что оно представляет собою общий интеграл данного уравнения.

2.3. Линейные дифференциальные уравнения

Решение целого ряда практических задач физики, механики, техники приводит к одному из важнейших типов дифференциальных уравнений произвольного порядка - линейных дифференциальных уравнений. Остановимся подробнее на изучении свойств решений этого типа уравнений.

Определение. Линейным дифференциальным уравнением n -го порядка называется уравнение вида

p1 (x), p2 (x),..., pn−1 (x), pn (x), f (x) заданы и непрерывны на некотором промежутке (a,b).

Если всюду в (a,b) функция f (x) тождественно равна нулю, то

уравнение (2.25) называется однородным, или линейным уравнением без правой части, в противном случае неоднородным, или линейным уравнением с правой частью.

Если уравнение (2.25) разрешить относительно старшей производной, то легко заметить, что в области

{a < x < b, −∞ < y < +∞, −∞ < y ' < +∞,..., −∞ < y(n−1) < +∞}

n +1- мерного пространства выполнены все условия теоремы о существовании и единственности решения задачи Коши. Это значит, что для любого x0 из (a,b) всюду на (a,b) существует единственное решение

32

ϕ(x) уравнения (2.25), удовлетворяющее начальным условиям

ϕ(x0 ) = y0 , ϕ '(x0 ) = y0′, ϕ ''(x0 ) = y0′′, ... ϕ(n−1) (x0 ) = y0(n−1) ,

где y0 , y0′, y0′′,..., y0(n−1) - произвольные числа.

Отсюда следует, что общее решение уравнения (2.25) содержит все решения этого уравнения. Особых решений линейное уравнение не имеет.

Рассмотрим сначала однородное дифференциальное уравнение

Установим, что решения линейного однородного уравнения обладают двумя важными свойствами, выражаемыми следующими теоремами (доказательства для простоты записи проводятся для случая уравнений второго порядка).

Теорема 2.2. Если функция ϕ(x) является решением уравнения (2.26), а C - любая постоянная, то и функция Cϕ(x) есть также решение

уравнения (2.26).

Доказательство. Подставив функцию Cϕ(x) в левую часть уравнения

(2.26) (при n = 2 ) и производя тождественные преобразования, получим

(Cϕ) ''+ p1 (Cϕ) '+ p2Cϕ = C [ϕ''+ p1ϕ'+ p2ϕ].

Поскольку функция ϕ(x) является решением уравнения (2.26), то

выражение, стоящее в квадратных скобках, тождественно равно нулю и, следовательно, имеем

(Cϕ) ''+ p1 (Cϕ) '+ p2Cϕ ≡ 0,

что и требовалось доказать.

Теорема 2.3. Если функции ϕ1(x) и ϕ2 (x) являются решениями уравнения (2.26), то и их сумма ϕ1 (x) +ϕ2 (x) также является решением

уравнения (2.26).

Доказательство. Подставив сумму ϕ1 +ϕ2 в левую часть уравнения

(2.26) (при n = 2 ) и производя тождественные преобразования, получим

(ϕ1 +ϕ2 ) ''+ p1 (ϕ1 +ϕ2 ) '+ p2 (ϕ1 +ϕ2 ) =

=[ϕ ''1 + p1ϕ '1 + p2ϕ1 ]+[ϕ ''2 + p1ϕ '2 + p2ϕ2 ].

Поскольку каждая из функций ϕ1 и ϕ2 является решением уравнения

(2.26), то выражения, стоящие в квадратных скобках, тождественно равны нулю и, следовательно, имеем

(ϕ1 +ϕ2 )''+ p1 (ϕ1 +ϕ2 ) '+ p2 (ϕ1 +ϕ2 ) ≡ 0,

что и требовалось доказать.

Пример 2.5. Задано линейное однородное дифференциальное уравнение

33

y ''− y '− 2 y = 0.

Убедимся вначале, что функция y = e2 x является его решением. Так как y ' = 2e2 x , y '' = 4e2 x , то, подставив y = e2 x в левую часть уравнения,

получим 4e2 x −2e2 x −2e2 x ≡ 0.

Умножим теперь это решение на произвольную постоянную C и подставим произведение Ce2 x в данное уравнение. Будем иметь тождество C4e2x −C2e2 x −2Ce2 x ≡ 0.

Точно также легко убедиться, что функция e−x является решением

рассматриваемого уравнения. Составим сумму этих решений e2x +e−x и подставим в левую часть уравнения. Получим

(e2 x +e−x ) ''−(e2 x +e−x ) '− 2(e2 x +e−x ) = = 4e2 x +e−x −2e2 x +e−x −2e2 x −2e−x ≡ 0.

Из изложенного следует, что и линейная комбинация C1e2 x +C2e−x , где C1

иC2 - произвольные постоянные, также является решением

предложенного уравнения.

На основании рассмотренных свойств можно утверждать, что, вообще, если функции

являются решениями однородного уравнения (2.26), то их линейная комбинация

где C1,C2 ,...,Cn - произвольные постоянные, также является решением

этого уравнения. Естественно возникает вопрос о том, что если число функций n равно порядку однородного уравнения (2.26), то не будет ли линейная комбинация (2.28) общим решением уравнения (2.26) в соответствующей области. Оказывается, что это так, но только если решения (2.27) удовлетворяют некоторому дополнительному условию. Чтобы сформулировать это условие введем понятия линейной зависимости и линейной независимости функций.

Определение. Функции

определенные и непрерывные на интервале (a,b) называются линейно зависимыми на (a,b), если существует такой набор чисел α1,α2 ,...,αn ,

Если же тождество (2.30) может быть выполнено только при условии

34

α1 =α2 =... =αn = 0 , то функции (2.29) называют линейно независимыми на интервале (a,b).

Легко видеть, что если функции (2.29) линейно зависимы на (a,b) то,

по крайней мере, одна из этих функций может быть выражена в виде линейной комбинации остальных. Действительно, т.к. в соотношении (2.30) в этом случае хотя бы один из коэффициентов отличен от нуля, то приняв, для определенности, что αn ≠ 0 , запишем его в виде

αnϕn (x) = −α1ϕ1 (x) −α2ϕ2 (x) −... −αn −1ϕn−1 (x).

Разделив обе части последнего равенства на αn , получим

откуда и следует справедливость сделанного утверждения.

Последнее утверждение иногда принимают за определение линейнозависимых функций. При этом, естественно, данное выше определение становится следствием.

промежутке числовой оси, ибо если составить линейную комбинацию этих функций с произвольными коэффициентами α1,α2 ,α3 ,α4 , то

получим многочлен α1 +α2 x +α3 x2 +α4 x3 , который может обратиться в

нуль не более чем при трех значениях x (кубичное уравнение не может иметь более трех вещественных корней). Следовательно, тождество

который называют определителем Вронского (вронскианом) для рассматриваемых функций. Естественно, что определитель Вронского

35

также является функцией от x , определенной на интервале. Оказывается, что с помощью определителя Вронского можно

сформулировать довольно удобный признак линейной независимости n решений однородного линейного уравнения n -го порядка. Этот признак дается с помощью следующей теоремы, которую мы сформулируем без доказательства.

Теорема 2.4. Для того, чтобы n решений ϕ1,ϕ2 ,...,ϕn линейного однородного уравнения (2.26) были линейно независимы на (a,b),

необходимо и достаточно, чтобы определитель Вронского для этих решений не обращался в нуль ни в одной точке из (a,b).

Использование этого признака облегчается наличием двух важных свойств, которые мы примем без доказательства.

1). Если определитель Вронского для этих решений обращается в нуль в одной точке интервала (a,b), то он равен нулю во всех точках (a,b).

2). Если определитель Вронского для этих решений не равен нулю в одной точке интервала (a,b), то он отличен от нуля во всех точках (a,b).

Из изложенного следует, что для линейной независимости n решений линейного однородного уравнения n -го порядка на интервале (a,b),

необходимо и достаточно, чтобы вронскиан этих решений был отличен от нуля в одной точке интервала (a,b).

Введем теперь понятие о фундаментальной системе решений.

Определение. Фундаментальной системой решений линейного однородного уравнения n -го порядка на интервале (a,b), называется

любая система из n решений этого уравнения линейно независимых на

(a,b).

Легко видеть, что уравнение (2.26) имеет на интервале (a,b)

бесконечное множество фундаментальных систем решений.

Теперь мы в состоянии ответить на вопрос об условиях, при которых линейная комбинация (2.28) будет общим решением уравнения (2.26).

Имеет место следующая теорема, которую мы примем без доказательства.

Теорема 2.5. Если ϕ1,ϕ2 ,...,ϕn - фундаментальная система решений уравнения (2.26) на интервале (a,b), то линейная комбинация этих

решений

y = C1ϕ1 + C2ϕ2 +... + Cnϕn ,

где C1,C2 ,..., Cn - произвольные постоянные, является общим решением

уравнения (2,26) в области

{a < x < b,−∞ < y < +∞,−∞ < y'< +∞,...,−∞ < y(n−1) < +∞}.

36

Пример 2.8. Решить уравнение y''−2 y'+y = 0 .

Убедимся вначале, что функции ϕ1 = e x и ϕ2 = xe x являются решениями данного уравнения на всей оси. С этой целью подставим в

левую часть уравнения сначала функцию e x , а затем xe x . Получим

(e x )''−2(e x )'+e x = e x − 2e x + e x ≡ 0,

(xex )''−2(xex )'+xex = 2e x + xex − 2(e x + xex ) + xex ≡ 0.

Для того, чтобы убедиться, что эти решения линейно независимы на Ox и, следовательно, образуют фундаментальную систему решений, составим определитель Вронского для них

Поскольку вронскиан для этих решений отличен от нуля всюду на Ox , то в согласии с теоремой 2.5 линейная комбинация

y = C1e x +C2 xe x ,

где C1 и C2 - произвольные постоянные, представляет собою общее

решение уравнения (2.26) в области

{−∞ < x < +∞,−∞ < y < +∞}.

2.4 Метод Лагранжа вариации произвольных постоянных

Обратимся к рассмотрению линейных неоднородных дифференциальных уравнений вида

pn (x), f (x) заданы и непрерывны на некотором интервале (a,b). Введем в рассмотрение линейное однородное уравнение, левая часть

Уравнение вида (2.32) называют однородным уравнением,

соответствующим неоднородному уравнению (2.31).

Имеет место следующая теорема о структуре общего решения неоднородного линейного уравнения (2.31).

Теорема 2.6. Общее решение линейного неоднородного уравнения (2.31) в области

{a < x < b,−∞ < y < +∞,−∞ < y'< +∞,...,−∞ < y(n−1) < +∞} (2.33)

есть сумма любого его частного решения и общего решения соответствующего однородного уравнения (2.32) в области (2.33), т.е.

37

где ϕ~ - частное решение уравнения (2.31), ϕ1,ϕ2 ,...,ϕn - фундаментальная система решений однородного уравнения (2.32), а C1,C2 ,..., Cn -

произвольные постоянные

Доказательство. Допустим, что на интервале (a,b) нам известно одно

где z - новая неизвестная функция аргумента x . Подставляя (2.36) в уравнение (2.31), получим

Таким образом, решение неоднородного уравнения (2.31) свелось к решению однородного уравнения (2.37) (или (2.32)), соответствующему неоднородному уравнению (2.31).

Так как общее решение уравнения (2.37) (или (2.32)) может быть записано в виде

где C1,C2 ,..., Cn - произвольные постоянные, то подставив (2.38) в (2.36),

получим (2.34). Можно показать, что формула (2.34) содержит в себе все решения неоднородного уравнения (2.31) и, следовательно, представляет собой его общее решение в области (2.33).

Эта теорема позволяет свести вопрос об интегрировании линейного неоднородного уравнения (2.31) к интегрированию соответствующего однородного, если известно какое-нибудь частное решение рассматриваемого неоднородного.

Перейдем к изложению факта важного для теории линейных неоднородных дифференциальных уравнений. Суть его состоит в том, что, зная фундаментальную систему решений однородного уравнения (2.32), можно при помощи квадратур найти частное решение неоднородного уравнения (2.31).

На примере дифференциального уравнения второго порядка изложим метод, при помощи которого можно найти указанное частное решение.

38