уравнения первого порядка является обыкновенное дифференциальное уравнение n -го порядка.

Ранее указывалось, что любое дифференциальное уравнение n -го порядка с одной неизвестной функцией у аргумента x всегда можно

Решением дифференциального уравнения (2.1) на промежутке X

называется всякая функция

y =ϕ(x),

которая определена и n раз дифференцируема на этом промежутке и которая при подстановке в уравнение (2.1) обращает его в тождество

F(x,ϕ(x),ϕ'(x),ϕ''(x),...,ϕ(n) (x)) ≡ 0

где f - известная функция своих аргументов, определенная в некоторой

области D пространства n +1 измерений.

Уравнение вида (2.2) называют уравнением n -го порядка, разрешенном относительно старшей производной.

Так же как и дифференциальное уравнение первого порядка, дифференциальное уравнение высшего порядка имеет, вообще говоря, бесконечное множество решений, каждое из которых изображается на плоскости Oxy некоторой кривой, которая называется интегральной

кривой соответствующего уравнения.

Задача Коши для уравнения (2.2) ставится так: найти решение y =ϕ(x),

удовлетворяющее начальным условиям

значениями.

Характерная особенность задачи Коши состоит в том, что условия на искомое решение задачи задаются при одном и том же значении аргумента.

Как и для дифференциального уравнения первого порядка в рассматриваемом случае возникает вопрос о существовании и

23

единственности решения задачи Коши. На этот вопрос отвечает теорема, которую мы приводим без доказательства и в упрощенной формулировке.

Теорема 2.1. Если в уравнении

y(n) = f (x, y, y ', y '',...y(n−1) )

Отметим специально, что единственность решения задачи Коши для уравнения n -го порядка (2.2) не означает, что через данную точку (x0 , y0 )

плоскости Oxy проходит только одна интегральная кривая, как это имело

место для уравнения первого порядка, разрешенного относительно производной. В частности, для уравнения второго порядка вида (2.2) единственность решения задачи Коши означает, что через точку (x0 , y0 )

проходит единственная интегральная кривая, которая в этой точке составляет с положительным направлением оси Ox угол, тангенс которого равен y '0 .

Решение конкретных прикладных задач часто приводит не к начальным условиям типа (2.3), а к так называемым краевым условиям, когда значения искомой функции и ее производных задаются для нескольких различных значений аргумента. Задача отыскания решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего такого типа условиям,

называется краевой задачей или граничной.

Естественно, что краевые задачи могут ставится лишь для уравнений выше первого порядка, ибо в случае уравнения первого порядка задание значения искомого решения в одной точке (в силу теоремы 1.1) уже определяет решение в других точках единственным образом и, следовательно, значения решения во второй точке может быть вычислена, а не задаваемо заранее.

Заметим, что краевая задача не всегда имеет решение, а если и имеет, то, как правило, не единственное.

Пример 2.1. Найти решения уравнения y '' = 6x удовлетворяющие

24

граничным условиям y(−1) = 0, y(1) =8..

Замечая, что y '' = ( y ')', можно данное уравнение записать в виде

( y ')' = 6x

откуда следует y ' = ∫6xdx +C1 , где C1 - произвольная постоянная.

Выполняя интегрирование, получим

y ' = 3x2 +C1.

Интегрируя последнее уравнение, будем иметь y = x3 +C1x +C2 ,

где C2 - произвольная постоянная. Заметим, что все решения данного уравнения содержатся в последней формуле. Выберем постоянные C1 и C2 так, чтобы данные граничные условия выполнялись. В результате получим систему уравнений

откуда следует C1 = 3,C2 = 4, так что искомое решение будет

единственным

y = x3 +3x2 + 4.

Распространим определение общего решения дифференциального уравнения первого порядка на дифференциальное уравнение n -го порядка вида (2.2). С этой целью обозначим через D некоторую область

изменения переменных x, y, y ', y '',..., y(n−1) , считая, что в каждой ее точке

выполнены условия теоремы существования и единственности решения задачи Коши.

Определение. Функция

определенная в некоторой области изменения переменных x,C1,C2 ,...,Cn

и имеющая непрерывные частные производные по x до n -го порядка включительно, называется общим решением уравнения (2.2) в области D ,

если выполнены два условия: 1).Система уравнений

разрешима в области D относительно C1,C2 ,..., Cn , так что имеем

25

2). Функция (2.4) является решением уравнения (2.2) при всех значениях C1,C2 ,C3 ,...,Cn доставляемых формулами (2.6) при условии,

что точка (x, y, y ',..., y(n−1) ) - произвольная точка области D .

Отметим, что общее решение уравнения содержит в себе все решения уравнения (2.2) с начальными данными из области D . Каждое из них может быть получено из формулы (2.4) при соответствующих значениях постоянных C1,C2 ,...,Cn .

Решение, получающееся из общего решения при конкретных (допустимых) значениях постоянных C1,C2 ,...,Cn называют частным

решением данного уравнения.

Чтобы найти частное решение, удовлетворяющее начальным условиям (2.3) при условии, что точка (x0 , y0 , y '0 , y ''0 ,..., y0(n−1) ) принадлежит

общее решение (2.4), получим искомое частное решение, удовлетворяющее начальным условиям (2.3).

Общее решение уравнения (2.2), записанное в виде не разрешенном относительно искомой функции y

Φ(x, y,C1,C2 ,...,Cn ) = 0

называется общим интегралом рассматриваемого уравнения.

Решение уравнений n -го порядка в некоторых случаях удается провести с помощью понижения его порядка за счет соответствующих замен искомой функции и независимой переменной. Ниже будут рассмотрены некоторые типы уравнений, допускающие понижение порядка.

26