ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

СЕВЕРО-ЗАПАДНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЗАОЧНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

А.А.ПОТАПЕНКО

МАТЕМАТИКА, ч.1

Раздел

ОБЫКНОВЕННЫЕ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ

УРАВНЕНИЯ

Утверждено редакционно-издательским советом университета в качестве учебного пособия

Санкт-Петербург Издательство СЗТУ

2007

Предисловие

Эта книга является методическим пособием по разделу «Обыкновенные дифференциальные уравнения» для студентов СЗТУ второго курса. Пособие состоит из трех глав. Каждая глава разбита на части, в каждой из которых прилагается соответствующий вопрос программы. После введения необходимых определений и изложения соответствующего теоретического материала приводятся примеры, на которых демонстрируются применения изложенной теории.

В конце пособия помещен глоссарий – толковый словарь употребляемых терминов.

Введение

При решении многих задач естествознания и техники требуется найти функцию, которая удовлетворяет данному уравнению, содержащему эту неизвестную функцию, ее производные и независимые переменные.

Такие уравнения, в которых содержатся производные неизвестных функций, называются дифференциальными уравнениями.

Дифференциальные уравнения имеют большое прикладное значение, являясь мощным орудием исследования многих задач механики, астрономии, физики, радиотехники, теории автоматического управления и др. Это объясняется тем, что многие объективные законы записываются в форме дифференциального уравнения, связывающих неизвестную функцию, ее производные и независимые переменные. В этом случае сами эти уравнения являются средствами для количественного описания рассматриваемых законов. Например, законы механики Ньютона позволяют свести задачу исследования движения точки или твердого тела к изучению соответствующих дифференциальных уравнений. Расчет радиотехнических схем, вычисления траектории спутников, исследование устойчивости самолетов в полете, течение химических реакций - все это производится с помощью изучения дифференциальных уравнений. Роль дифференциальных уравнений особенно возросла в связи с развитием вычислительной техники.

3

Глава 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

1.1. Основные понятия

Неизвестные функции входящие в уравнения могут зависеть от одного или нескольких независимых переменных: в первом случае они называются обыкновенными дифференциальными уравнениями, во втором случае - дифференциальными уравнениями в частных производных.

Примером дифференциального уравнения в частных производных может служить уравнение

дальнейшем мы будем рассматривать только обыкновенные дифференциальные уравнения.

Порядок старшей производной, входящей в дифференциальное уравнение, называется порядком этого уравнения.

Так, например, уравнения

y '+ xy2 = sin x, xy '3 +ex = 5, ln( y '2 + x2 ) − xtgy = ayx

являются уравнениями первого порядка, а уравнения xy ''− y '3 + 2xy = 0, y ''+5y '+6 y = 2x,

а также уравнение (1.1) - уравнениями второго порядка.

Очевидно, что любое обыкновенное дифференциальное уравнение n - го порядка с одной неизвестной функцией y аргумента x всегда можно

называется функция y =ϕ(x) , которая n раз дифференцируемая на этом промежутке и при подстановке ее вместо y в уравнение (1.2) обращает

его в тождество на всем промежутке X , т.е.

F(x,ϕ(x),ϕ'(x),ϕ''(x),...,ϕ(n) (x)) ≡ 0, x X .

Например, функция y = x2 является решением уравнения xy '− 2 y = 0 на

всей оси.

График решения y =ϕ(x) дифференциального уравнения (1.2)

называется интегральной кривой этого уравнения.

Заметим, что иногда решение получают в неявной форме

4

Φ(x, y) = 0

или в параметрическом виде

x = x(t), y = y(t),

где t - параметр.

Процесс отыскания решений дифференциального уравнения называется интегрированием этого уравнения.

Одной из задач теории дифференциальных уравнений является интегрирование уравнений в квадратурах (в конечном виде), т.е. в получении замкнутой формулы, дающей (в явной, неявной или параметрической форме) выражение зависимости того или иного решения от аргумента, через заданные функции и интегралы от них. Квадратурой называется операция взятия неопределенного интеграла.

Отметим специально, что в теории дифференциальных уравнений под символом ∫ f (x)dx понимают какую-нибудь одну первообразную, а

постоянную интегрирования пишут отдельно.

В первую очередь мы займемся изучением дифференциального уравнения первого порядка, т.е. уравнением вида

F(x, y, y ') = 0,

где x - независимая переменная, y - его неизвестная функция, a F

заданная функция трех переменных в некоторой области пространства трех переменных. Если это уравнение может быть разрешено относительно производной y ', то получим уравнение вида

где f (x, y) - известная функция, определенная в некоторой области D на плоскости Oxy . Уравнение вида (1.3) называют уравнением,

разрешенным относительно производной или уравнением в нормальной форме.

Уравнение (1.3) всегда можно записать в виде f (x, y)dx −dy = 0,

которое является частным случаем уравнения вида

P(x, y)dx −Q(x, y)dy = 0.

Последнее уравнение примечательно тем, что x и y равноправны, т.к.

из самого уравнения не следует, какая из переменных является независимой, а какая - функцией.

Геометрическая интерпретация уравнения (1.3). Пусть y = y(x)

означает некоторое решение уравнения (1.3), а M (x0 , y0 ) -произвольную

точку на графике этого решения. Проведем касательную к этому решению в точке M и обозначим через α угол, который образует эта

5

1.2) и, следовательно, в области D множество всех интегральных кривых образует семейство кривых, зависящих от одного параметра, который может изменяться в определенных пределах и который принято обозначать через C , так что все семейство интегральных кривых может быть описано уравнением

y =ϕ(x,C).

непрерывно дифференцируемая по x называется общим решением уравнения (1.3) в области D , если она удовлетворяет следующим двум условиям:

1) равенство (1.5) разрешимо в области D относительно произвольной

значения постоянной C , полученной из формулы (1.6), в которой точка (x, y) - любая точка из области D .

Естественно, что знание общего решения (1.5) дает возможность решить задачу Коши для любых начальных значений x0 , y0 из области D .

Для этого достаточно заменить в формуле (1.5) переменные x и y числами x0 и y0 , решить полученное уравнение y0 =ϕ(x0 ,C) относительно C , т.е. получить соотношение

C= Ψ(x0 , y0 )

иподставить найденное значение в общее решение (1.5). Полученная

функция

y =ϕ(x, Ψ(x0 , y0 ))

и есть искомое решение.

Общее решение уравнения (1.3), записанное в виде, не разрешенном относительно искомой функции, т.е. в виде

Φ(x, y,C) = 0 èëè Φ(x, y) = C

называют общим интегралом этого уравнения.

Решение, которое получается из общего решения y =ϕ(x,C), если в

последнем произвольной постоянной C придать конкретное (допустимое) значение, называется частным решением.

Аналогично определяются частные интегралы.

Решение, которое не может быть получено из общего решения (общего интеграла) ни при каком конкретном значении произвольной постоянной, называется особым решением. Геометрически особому решению соответствует интегральная кривая, не содержащаяся в семействе

8

дифференциальное уравнение будут означать одно из двух:

а) найти его общее решение (общий интеграл), если начальные условия не заданы;

б)найти частное решение (частный интеграл), удовлетворяющее заданным начальным условиям.

Ниже будут рассмотрены некоторые типы дифференциальных уравнений первого порядка, интегрируемых в квадратурах, и указаны пути получения общего решения (общего интеграла).

1.2. Уравнения с разделяющимися переменными

Дифференциальное уравнение первого порядка называется уравнением с разделяющимися переменными, если его можно записать в виде

функция g( y) определена и имеет непрерывную производную на интервале (c, d). Предположим, что функция g( y) не обращается в нуль на интервале (c, d).

Уравнения такого вида, т.е. уравнения, правая часть которых (после разрешения относительно производной y ') представляется в виде

произведения функции, зависящей только от аргумента x , на функцию, зависящую только от искомой функции y , называют уравнениями с

разделяющимися переменными, ибо умножив обе части уравнения (1.8) на dx и разделив на g( y) , получим

где в левой части находится функция от y и dy , а в правой - функция от x и dx .

Понимая под y решение уравнения (1.9), заметим, что в левой части равенства (1.10) стоит дифференциал функции G( y), а в правой - дифференциал функции F(x). Из равенства этих дифференциалов

10

следует, что сами функции G( y) и F(x) могут отличаться друг от друга

лишь на произвольное постоянное слагаемое C , так что можем написать

G( y) = F(x) +C

Последнее соотношение представляет собой общий интеграл

Рассмотрим теперь случай, когда функция g( y) обращается в нуль при

соотношении (1.12) и, следовательно, соотношение (1.12) в этом случае уже не будет общим интегралом уравнения (1.9) в прямоугольнике (1.13).

Заметим, что уравнение с разделяющимися переменными иногда может быть задано в симметричной относительно x и y форме:

проведя аналогичное рассуждение, получим общий интеграл уравнения (1.14) в прямоугольнике (1.13) в следующем виде

∫ f1(x) dx + ∫ g2 ( y) dy = C, f2 (x) g1( y)

где C - произвольная постоянная. Пример 1.3. Найти решение уравнения

y ' = x4 (1+ y2 ),

удовлетворяющее начальному условию y(0) =1.

Данное уравнение есть уравнение с разделяющимися переменными,

11

Выполняя операции интегрирования, получим общий интеграл данного уравнения на всей плоскости Oxy в виде

где C - произвольная постоянная.

Для решения поставленной задачи Коши положим в полученном общем интеграле x = 0, y =1. Будем иметь

arctg1 = C

т.е. C = π4 . Подставив найденное значение C в равенство (1.15) и

разрешив относительно y , получим частное решение, удовлетворяющее заданному начальному условию

Пример 1.4. Решить уравнение

x(1− y2 )dx + y(1− x2 )dy = 0.

числителе каждой дроби стоит производная знаменателя, сможем написать в результате интегрирования

ln |1− x2 | +ln |1− y2 |= ln C,

где произвольная постоянная обозначена через ln C , что возможно, если принять C > 0. Последнее равенство можно записать в виде

|1− x2 | |1− y2 |= C.

Мы получили общий интеграл данного уравнения, при условиях 1− x2 ≠ 0

12

и 1− y2 ≠ 0.

Рассмотрим теперь случай 1− y2 = 0, т.е. y = ±1. Непосредственно из данного уравнения видно, что каждый из случаев y =1 и y = −1 является

решением. При этом они содержатся в общем интеграле и могут быть получены из него при C = 0.

Аналогично рассматриваются решения, доставляемые уравнением

1− x2 = 0, т.е. x =1 и x = −1.

Пример 1.5. Решить уравнение

xyy '+ x2 −1 = 0

при x >1.

Для установления типа данного уравнения умножим обе его части на dx . Получим уравнение

xydy +(x2 −1)dx = 0,

которое имеет вид уравнения (1.14) и, следовательно, является уравнением с разделяющимися переменными.

Для разделения переменных разделим обе части последнего уравнения

Выполняя операции интегрирования, сможем написать

y2 + x2 −ln x = C, 2 2

где C - произвольная постоянная. Разрешая относительно y2 , получим окончательно

y2 = 2 ln x − x2 +C,

где произведение 2C вновь обозначено через C .

1.3. Однородные уравнения

Рассмотрим еще один тип дифференциальных уравнений первого порядка, интегрируемых в квадратурах. Прежде чем дать определение этого типа уравнений, приведем понятие об однородной функции.

Определение. Функция Φ(x, y) называется однородной функцией степени m относительно переменных x и y , если умножение каждого из

13