Лабораторный практикум по физике

α1 α2

ll

жина может смещаться вдоль стержней, на которых крепятся тела, имеющие одинаковые массы, равные m (рис. 4). Запишем для каждого из маятников основное уравнение динамики вращательного движения

Здесь моменты инерции тел относительно осей вращения можно считать одинаковыми и равными J = ml2 . Моменты сил тяжести Mp и упругой силы Mупр для каждого из маятников (тел) равны, соответственно

Mp 1 = mglα1, MFупр1 = kd(α1 − α2)d ,

Mp 2 = mglα2, MFупр2 = kd(α2 − α1)d .

Тогда (3) с учетом обозначений для каждого из маятников для малых колебаний запишется следующим образом:

31

Сделав обратный переход к углам отклонения маятников, будем иметь

Из (7) следует, что колебания каждого маятника складываются из двух независимых колебаний с нормальными частотами ω1 и ω2, (см.(6)). Кроме того, если B = 0, то имеем случай синфазных колебаний с нормальной частотой ω1, при A = 0 происходят противофазные колебания с нормальной частотой ω2. Если нормальные частоты отличаются друг от друга незначительно, то каждый из маятников участвует в двух колебаниях, близких по частоте. Результирующее колебание представляет собой биения, которые при A = B и ϕ01 = ϕ02 = 0, как следует из (7), описываются уравнениями

где величина ω = (ω2 − ω1)/2 носит название круговой частоты модуляции, ωб = 2Δω = ω2 − ω1 называется круговой частотой биений,

32

ω = ω1 + ω2

2

разом, выражение (8) можно рассматривать как почти гармонические колебания с круговой частотой и медленно изменяющейся (пульсирую-

щей) амплитудой Aб = 2A cos ω1 − ω2 t. Можно показать, что в процессе

2

биений полная энергия двух связанных маятников остается постоянной, переходя при этом от одного маятника к другому и обратно с частотой биений. Период биений и частота биений равны

0

Графики биений показаны на рисунке 5.

2. ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

Схема установки изображена на рисунке 6.

Два груза 1 цилиндрической формы с массой m крепятся на тонкие стержни 2. Стержни могут вращаться вокруг горизонтальных осей, проходящих перпендикулярно плоскости рисунка через точки 0 и 00. Упругая пружина 3 малой массы может, как и грузы, перемещаться вдоль стержней на расстояние d от точек подвеса. Измерения проводятся в следующем порядке.

33

грузов m и величина k указаны на установке.

3. Определите частоту биений. Возбудите сложное колебание. Для этого, например, левый маятник отклоните к правому, а правый удерживайте рукой. Отпустите их одновременно и в этот момент включите секундомер. Наблюдайте явление биений и заметьте момент времени, когда правый маятник остановится. Это будет период биений Tб = 2π/ ω. Частота биений определится из равенства νб = 1/Tб. Сравните эту величину с определенной теоретически: νб = ν2 − ν1.

4.Изменяя высоту и крепления пружины на подвесе, проверьте качественно зависимость частоты биений от d, используя формулу (6).

5.Изобразите графически колебания каждого маятника в случае биений. Для удобства анализа этих графиков поместите их один под другим

ивыполните в одинаковом масштабе.

3.КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1.Получите формулу для ω02 для математического маятника и для маятника с пружиной. От чего зависит ω0?

2.Опишите картину колебаний двух связанных маятников.

3.Получите формулы для частот ω1 и ω2 (6).

4.Получите формулу для сложения двух колебаний (7).

5.Как изменяется энергия маятников в процессе биений?

6.Почему из сложного колебания можно выделить отдельные моды?

34

Библиографический список

1.Хайкин С.Э. Физические основы механики. – М.: ГИФМЛ. 1963. –

672 с.

2.Лабораторный практикум по физике /Под ред. Ахматова А.С. – М: Высшая школа. 1980. – С.181.

Лабораторная работа № 6 ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ МАХОВОГО КОЛЕСА МЕТОДОМ СВОБОДНЫХ КОЛЕБАНИЙ

Цель работы: Знакомство с методом измерения момента инерции твердого тела, определение момента инерции махового колеса.

Оборудование: Экспериментальная установка, секундомер, штангенциркуль, измерительная линейка.

1. КРАТКАЯ ТЕОРИЯ

Момент инерции твердого тела любой формы определяется формулой

Z

J = r2dm , (1)

V

где r – расстояние от оси вращения до элементарной массы dm , dm = ρ(r)dV ; ρ(r) – плотность тела в данной точке; dV – элемент объема. Интегрирование в выражении (1) распространяется на весь объем тела, ограниченный его поверхностью. При достаточно сложной форме поверхности, ограничивающей тело, и неравномерном распределении плотности аналитический расчет момента инерции твердого тела относительно некоторой оси вращения представляет трудности. Экспериментальное определение момента инерции твердого тела в ряде случаев можно осуществить достаточно просто. Рассмотрим один из методов экспериментального определения момента инерции тела на примере физического маятника.

35

¨ 2 2 −→

Рис. 1.

где α~ = d α/dt~ – угловое ускорение; M – суммарный момент сил, действующих на маятник; J – момент инерции относительно оси вращения. Покажем, что физический маятник, отклоненный на малый угол от положения равновесия, будет совершать гармонические колебания. Будем считать, что силами трения в подвесе маятника можно пренебречь. В этом случае момент сил относительно оси вращения создает только его сила тяжести: при отклонении от положения равновесия на угол α ее момент равен mgd sin α и маятник стремится возвратиться в положение равновесия. С учетом сказанного уравнение динамики (2), примет вид

g – ускорение свободного падения. При малых колебаниях sin ϕ ' ϕ, уравнение (3) можно записать

Решением этого дифференциального уравнения является гармоническая функция, изменяющаяся со временем t по закону α = α0 · sin(ω0t + Ω0), где α0 – амплитуда колебаний маятника, ω0 – круговая частота, Ω0

– начальная фаза. Из (4) следует, что круговая частота и период малых

36

Таким образом, измеряя период малых колебаний маятника T , его массу m и расстояние d от центра тяжести (центра масс) до оси вращения можно определить момент инерции J относительно этой оси. Для расчета моментов инерции конкретных тел рассмотрим систему, состоящую из махового колеса радиусом R и массы mм и шара радиусом r и массы mш, жестко соединенных между собой (рис. 2). Система может вращаться вокруг оси, проходящей через точку O0 перпендикулярно плоскости рисунка. Распределение плотности масс махового колеса и шара одинаково по объему.

Так как момент инерции и масса являются аддитивными величинами, то в выражении (6) под J и m будем понимать суммарные момент инерции и массу элементов, входящих в систему, т. е. J = Jш + Jм; m = mш + mм, где Jш – момент инерции шара относительно оси вращения; Jм – момент инерции махового колеса. Из последнего соотношения с учетом (6), для момента инерции махового колеса J будем иметь

где d 0 – положение центра масс системы маховое колесо – шар относительно оси вращения, равное отрезку OO0. Если центр инерции (центр масс) махового колеса находится на оси вращения маятника (это возможно, если колесо однородно и геометрически симметрично относительно этой оси), то положение центра масс системы относительно этой же оси находим из выражения (2)

d 0 = mш(R + r) , mш + mм

где R – радиус махового колеса, r – радиус шара. Выражение (7) тогда примет вид

его центр, mш(R + r)2 – момент инерции центра масс шара относительно

37

оси вращения системы. С учетом (9), выражение (8) для момента инерции махового колеса преобразуется к виду

По формуле (10) можно по измеренным значениям периода свободных кoлебаний физического маятника T , массы шара mш, радиуса шара r и радиуса махового колеса R, определить момент инерции махового колеса

Jм.

2. ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

Схема установки изображена на рисунке 2. Маховое колесо I имеет радиус R, шар 2 – r .

Измерения проводятся в следующем порядке.

1. Измерьте по различным направлениям (не менее десяти направлений) диаметр шара dш и диаметр махового колеса Dм. Рассчитайте средние арифметические значения dш и Dм по формуле

2.Измерьте массу шара mш на весах ( mш может быть приведена на установке).

3.Определите рабочий диапазон амплитуд колебаний системы маховое колесо-шар, в пределах которого период колебаний T можно считать независящим от амплитуды.

4.Измерьте средний период свободных ко-

Рис. 2.

38

5.Согласно выражению (10) определите момент инерции махового колеса J .

6.Оцените погрешности вычислений момента инерции махового колеса.

3.КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1.Выведите формулу (6).

2.Почему диаметр махового колеса измеряется по разным направлениям?

3.Почему действие момента сил трения становится существенным только при достаточно больших значениях t ?

4.Как просто убедиться, что силы трения, действующие на маятник, увеличивают период его колебаний?

5.Объясните, почему масса шара должна быть достаточно большой?

Библиографический список

1.Сивухин Д.В. Механика. – М.: Наука, 1989. – 576 с.

2.Детлаф А.А., Яворский Б.М. Курс физики. – М.: Высшая школа, 1989. – 608 с.

3.Савельев И.В. Курс общей физики, т.1. Механика. Молекулярная физика. – М.: Наука, 1986. – 432 с.

Лабораторная работа № 7 ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОДУЛЯ ЮНГА ИЗ РАСТЯЖЕНИЯ

ПРОВОЛОКИ

Цель работы: Знакомство с методом измерения упругих свойств материала, изучение установки по растяжению проволоки, измерение модуля Юнга медной проволоки.

Оборудование: Установка, набор грузов, измерительная линейка, микрометр.

1. КРАТКАЯ ТЕОРИЯ

39

При статическом действии сил на тело его форма и объем изменяются, иначе говоря, тело деформируется. Можно выделить четыре модели деформации твердого тела: деформации растяжения – сжатия, всесторонней деформации, деформации сдвига и деформации кручения. Законы, связывающие силы и деформации, в общем случае весьма сложны. Рассмотрим основные закономерности, возникающие при деформации тел на примере деформации растяжения однородного изотропного

силы F . Результаты таких исследований можно представить графически (рис. 2), которые показывают, что функция l = f (F ) является достаточно сложной.

нальной зависимости упругой дефор-

мации от приложеннойРис.2. силы.

Точка У соответствует пределу упругих свойств образца. Далее изменение длины стержня нарастает быстрее, а, начиная от точки Т, кривая

40