Лабораторный практикум по физике

3.КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1.Что происходит с потенциальной энергией пружины при выстреле?

2.Как по известному ускорению находят скорость и координаты материальной точки?

3.Выведите выражение (14)

4.Почему начальная скорость пули v0, определенная по формулам

(4)и (14), должна быть различной?

5.При каких условиях справедлива формула (3)?

Библиографический список

1.Савельев И.В. Курс физики. Механика. Молекулярная физика. – М.: Наука, 1989, т. 1 – 350 с.

2.Сивухин Д.В. Общий курс физики. Механика. – М.: Наука, 1989,

т.1 – 575 с.

Лабораторная работа № 2 ИЗМЕРЕНИЕ СКОРОСТИ ПОЛЕТА ПУЛИ С

ПОМОЩЬЮ БАЛЛИСТИЧЕСКОГО МАЯТНИКА

Цель работы: Ознакомление с законами сохранения импульса и энергии.

Оборудование: Баллистический маятник, пружинный пистолет, измерительная линейка.

1. КРАТКАЯ ТЕОРИЯ

11

Рассмотрим систему, состоящую из штатива, к которому на упругой нити подвешен массивный цилиндр, выполняющий роль баллистического маятника. Вблизи его находится пружинный пистолет, нацеленный на цилиндр. Определим скорость пули v в момент попадания ее в маятник. Проанализируем физическую сторону происходящих процессов. Когда мы оттягиваем пружину пистолета, то совершаемая нами работа переходит в потенциальную энергию пружины. При выстреле большая часть потенциальной энергии пружины переходит в кинетическую энергию пули (всеми потерями пренебрегаем). Следовательно, кинетически энергия пули T равна

где m – масса пули, v – ее скорость.

Если ствол пружинного пистолета во время выстрела будет расположен горизонтально, то и скорость пули v будет направлена также горизонтально. Во время полета, до попадания в маятник, на пулю действует только сила тяжести (трением о воздух и тепловым излучением пренебрегаем). Эта сила сообщает пуле составляющую скорости по вертикали

где t – время полета пули от пистолета до маятника. Величина вертикальной скорости мала, т. е. |~vy | << |~v| , и ее можно не учитывать. Таким образом, пуля подлетает к маятнику со скоростью, которая была в начальный момент времени при выстреле. При ударе пули о маятник часть ее кинетической энергии переходит в тепло. Другая, большая часть передается в виде кинетической энергии маятнику. В результате чего маятник и застрявшая в нем пуля начинают двигаться вместе с некоторой скоростью ~u. Для ее нахождения рассмотрим систему, состоящую из пули и маятника. Импульс p~ пули при выстреле равен ~p = m~v и направлен горизонтально. Импульс маятника до попадания в него пули равен нулю. Таким образом, горизонтальная составляющая импульса системы "пуля + маятник"до удара ~pг = m~v . Покажем, что при малых углах эта составляющая импульса не изменяется. Действительно, для того, чтобы проекция импульса ~pг изменилась, необходимо, чтобы на нашу систему действовали внешние горизонтальные силы. В рассматриваемом случае

~

внешними силами являются сила упругости нити Fупр (иногда в учебниках ее называют силой натяжения или силой реакции опоры) и сила

~

тяжести Fт, равная произведению массы маятника M на ускорение свободного падения ~g. Пока маятник висит вертикально, эти силы направ-

12

лены также вертикально (рис. 1 а), и на горизонтальную составляющую

ник сдвинется из своего первоначального положения, в котором его центр масс (ЦМ) находится строго

под точкой подвеса. Как показано на рисунке 2 а, ЦМ, расположенный в точке O0, находится под точкой подвеса O. Маятник вместе с пулей приобретает за δt некоторую скорость ~u. Внутренние силы, возникающие при торможении пули, не могут изменить импульс системы "пуля + маятник". Импульс внешних сил за время δt также пренебрежимо мал. В этом случае имеет место закон сохранения импульса, с помощью ко-

Как только маятник с застрявшей в нем пулей начнет двигаться, вся система будет обладать кинетической энергией, равной T = = (m + M )u2/2. В дальнейшем под действием возникающей результирующей внешней силы скорость системы начнет убывать по мере поднятия ЦМ. Если пренебречь потерями энергии, связанными с трением в точке подвеса о воздух и прочими, то в точке O00 кинетическая энергия T полностью преобразуется в потенциальную энергию U = (m + M )gh (см. рис. 2 б)

13

Следовательно, согласно (4) искомая величина скорости v с учетом

Высота поднятия ЦМ, как видно из рис. 2 б, определяется выраже-

где l – длина маятника, равная расстоянию от точки подвеса O до ЦМ, α – угол отклонения прямой OO00 от первоначального положения OO0. Подставляя (8) в (7), получим

где s длина дуги OO00, равная, согласно (10), отрезку AO00 (рис. 2 б). Окончательно в этом приближении (см. (10) и (11)) выражение для скорости v будет иметь вид

14

В (12) величина S имеет смысл горизонтального отклонения ЦМ от начального положения.

2. ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

3.Измерьте длину l от точки подвеса до ЦМ маятника.

4.Подготовьте пистолет к выстрелу. Для это-

так, чтобы луч зрения был перпендикулярен плоскости линейки. Результаты занесите в таблицу 1.

6. Найдите среднее значение горизонтального отклонения по формуле

s = X si N

i

и подставив его в (12), вычислите скорость v .

15

3.КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1.Выведите закон сохранения количества движения.

2.Что такое консервативные силы, потенциальная энергия? Приведите пример консервативных сил.

3.Обсудите допустимость использования в работе закона сохранении энергии.

4.Какой вклад в изменение кинетической энергии дает сила упругости нити?

Библиографический список

1.Сивухин Д. В. Механика. – M.: Наука, 1979, 18, 24-26.

2.Савельев И. В. Курс общей физики. – М.: Наука, 1986, т. 1. – 432 с.

16

Лабораторная работа № 3 МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ

Цель работы: Изучение собственных и затухающих колебаний пружинного маятника.

Оборудование: Набор пружин и грузов, штатив, секундомер, сосуд с водой.

1. КРАТКАЯ ТЕОРИЯ

Колебания являются широко распространенным видом движения и наблюдаются в системах самой разнообразной природы. Колебания относятся к процессам, точно или приближенно повторяющимся через одинаковые промежутки времени. Это характеризуется аналогичным образом изменяющимися во времени физическими величинами, определяющими состояние колеблющихся систем. В зависимости от физической природы происходящего процесса различают механические, электромагнитные, электромеханические и другие колебания. Так, например, простейшее механическое колебательное движение (вверх-вниз) совершает груз, подвешенный к штативу на пружине. Другим примером может служить массивный шарик, подвешенный на длинной нерастяжимой невесомой нити, колеблющийся в поле тяжести Земли (математический маятник). Или абсолютно твердое тело, совершающее колебания под действием собственного веса вокруг горизонтальной оси, не проходящей через его

Пусть на гладкой горизонтальной по-

верхности лежит тело массой m, скрепленное с пружиной. Пружина считается невесомой, а трение учитывать не будем. Направим ось Ox вдоль

17

поверхности так, чтобы начало координат совпало с положением равно-

~

весия тела. Обозначим единичный вектор оси Ox через i . При отклонении тела от положения равновесия на расстояние x пружина растя-

~

гивается. Сила упругости F пропорциональна смещению ~x и стремится

~

вернуть тело в исходное положение, т. е. F = −k~x . Здесь k – коэффициент упругости (или жесткости), численно равный силе упругости пружины при растяжении ее на единицу длины. Так как трение отсутствует, то работа сил упругости перейдет в кинетическую энергию тела, и тело вернется в положение равновесия (x = 0), имея некоторую скорость. Дальше тело по инерции пройдет положение равновесия и начнет отклоняться в другую сторону, сжимая пружину. Возрастающая при этом сила упругости тормозит движение тела до полной его остановки, после чего процесс пойдет в обратном направлении. Так возникает колебательное движение.

Для количественного описания процесса воспользуемся вторым законом Ньютона. Согласно ему произведение массы тела m на ускорение ~a равно равнодействующей всех сил, приложенных к телу. В данном слу-

~

чае это будут следующие силы: сила упругости F = −k~x, сила тяжести

~

m~g и сила реакции опоры N . Силу трения считаем равной нулю. Тогда согласно второму закону Ньютона будем иметь

Перепишем ускорение ax в виде производной смещения x по времени t, т. е. ax = d2x/dt2, или в обозначениях Ньютона, ax = x¨ . Подставим в уравнение (4) выражение для ускорения, разделим обе части уравнения на m и перенесем все в левую сторону. Тогда можно записать

Уравнение (3) – это дифференциальное уравнение второго порядка. Решить такое уравнение, значит найти x как функцию времени, т. е. определить, какие значения x имеет тело в разные моменты времени. Решать его будем методом подбора, т. е. нам нужно найти такую функцию, вторая производная которой имела бы такой же вид, как и сама функция. Очевидно, что это либо синус, либо косинус с некоторым множителем, т. е. решение будет иметь вид

18

где ω0 и ϕ0 некоторые постоянные величины. Уравнение (3) будет превращаться в тождество в том случае, если ω02 = k/m. Следовательно,

r

функция x = xm cos( mk t + ϕ0) является решением уравнения (3) для пружинного маятника. Здесь xm – наибольшее отклонение от положе-

r

ния равновесия, которое называется амплитудой колебаний, ω0 =

k

m

– называется циклической или круговой частотой. Выражение, стоящее

лебания. В момент начала отсчета времени при t = 0 фаза ϕ равна ϕ0 и называется начальной фазой колебания. Связь между временем одного полного колебания T0, носящим название периода колебаний пружинного

Из формулы видно, что с увеличением жесткости пружины k период T0 уменьшается, увеличение массы увеличивает период. Следует отметить, что величина силы тяжести не оказывает никакого влияния на характер колебаний груза на пружине. Период колебаний данного груза на пружине будет тот же, если расположить пружину вертикально. Как видно из (4) и (5), смещение, скорость и ускорение в процессе колебаний повторяются через равные промежутки времени. Такие колебательные процессы называются периодическими. В рассмотренном нами частном случае периодических колебаний пружинного маятника физические величины изменяются со временем по закону синуса или косинуса. Такие периодические колебания называются гармоническими. При этом, как мы видели, действующая на материальную точку сила была пропорциональна смешению и всегда направлена к положению равновесия. Очевидно, такому же условию могут удовлетворять силы, имеющие иную природу, чем упругие. Например, при вертикальных колебаниях корабля на него действует сила Архимеда, также пропорциональная смещению и направленная к положению равновесия. Точно такая же по виду сила (квазиупругая) обусловливает колебания математического и физического маятников. Мы рассмотрели колебания, которые возникают в системе, не подверженной действию переменных внешних сил, в результате какого-либо начального отклонения этой системы от положения устойчивого равновесия. Такие колебания называются свободными или собственными (система предоставлена самой себе). Если при этом

19

не происходит потерь энергии, то колебания будут незатухающими. Свободные незатухающие колебания, происходящие под действием упругих или квазиупругих сил, будут всегда являться гармоническими.

Далее рассмотрим колебания маятника при наличии сил трения. При этом энергия механических колебаний постепенно расходуется на работу против сил трения и свободные колебания всегда затухают, т. е. их амплитуда постепенно уменьшается.

Пусть теперь на систему кроме квазиупругой силы действует и сила трения. Вследствие этого колебательная система непрерывно отдает часть энергии среде. Интересным является случай, когда расход энергии обусловлен наличием сопротивления, величина которого пропорциональна скорости ~v колеблющейся частицы

Здесь знак минус обозначает, что сопротивление уменьшает скорость движения, а величина γ = const представляет собой коэффициент сопротивления. Таково, например, сопротивление, возникающее при движении тела в вязкой среде. Запишем, как в предыдущих случаях, второй закон Ньютона.

Заменив ax на x¨, vx на x˙ , перенеся все члены в левую сторону, разделив на m и обозначив k/m = ω02, γ/2m = δ получим уравнение движения

20