fizika_metodichka

α1

α2

l

l

Если же маятн ки сблизить или раз

дв нуть, отклоняя их на одинак

(рис. 3 -г), то они будут в дальнейшемуголк

лебаться в пр

иво азе. Для наховыйждения

x1

x2èñ. 3.

α1

α2

êðóã âîé ÷àñòîòы второй моды

ω2

òî÷í

аботузаписать•3) второй закон Ньютона, доста(см-.

~

~

l

+ m x = 0 ,

Fóïð2

Fóïð1

из которогоx¨ +

x1

x2

g

2k

èñ. 4.

ñðàçó æå îпределяется

(2)

ω2,

m~g

m~g

ющиежина

ω2 = pg/l + 2k/m .

¨

~

ос й вращения можно счи(3)

упругойтатьЗдесьдинаковымимоменты инерцииравнымителJотносительноα~ = M .

ñèëû

J = ml2 . Моменты сил тяжести Mp è

íî

Mупр для каждого из маятников (тел) равны, соответствен-

кТолебанийгда (3)

Mp 2

= mglα2

,

MFóïð2

= kd(α2

− α1)d .

Mp 1

= mglα1

,

MF

1

= kd(α1

− α2)d ,

Здесь

2

+ mglα2

2

− α2) .

ml α¨2

= kd

(α1

ml2 α¨1

+ mglα1

= kd2

(α2

− α1) ,

сложитьd ирасстояниевычесть, адозатeмточекподелитьподвеса;наd ≤ l.2

Если уравнения системы (4)

è

ml

, то обозначая α1 + α2 = ϕ1

α2 − α1 = ϕ2

получим

g

(5)

ϕ¨1 +

ϕ = 0 ,

l

2

частотыϕ¨2 + l

+ ml2 ϕ2 = 0 .

g

2kd

Нормальные

системы (5) ðàâíû

ω2 = p

ω1 = p

g/l

;

g/l + 2kd

/ml

.

2

2

(6)

Общими решениям системы (5)отклоненияявляютс ункции типа (1)

2

(7)

Сделав обратный переход к углам

маятников, будем иметь

ϕ1

= 2A cos(ω1t + ϕ01)

ϕ2 = 2B cos(ω2t + ϕ02).

α1 =

ϕ1 + ϕ2

= A cos(ω1t + ϕ01) + B cos(ω2t + ϕ02) ,

ϕ1

ϕ2

÷àñÿòотникамискладываются двух

независимыхИз (7) следует,кочтолебанийколебанияпроиснормальнымикаждого м

B cos(ω2t + ϕ02) .

èç

α2

=

−

= A cos(ω1t + ϕ01)

−

2

ìå òîãî, åñëè

олебаний

ω1

ω2, (ñì.(6)). Êðî

частотой

B = 0, то имеем случай син азных к

нормальной

отойельно,при

A = 0

х дят противо зные колебания с

ω1

ω2

-

ния,близезначи

тирующеез маятникчастотыолебаниеовучасотличаютсвупредстетвдâляетухдругколебаниях,собойотдругбие-

кихоторыепочастотепри. Есликаждый.езунормальные

уравнениями

A = B è ϕ01 = ϕ02 = 0, как следу

из (7), описываютс

α1(t) = A cos(ω1t + cos ω2t) = 2A cos

ω

t cos ωt ,

(8)

2

ãäå âåë ÷èíàα2(t) = A cos(ω1t − cos ω t) = 2A sin

ω

t cos ωt ,

2

дуляции,

ω = (ω2 − ω1)/2 носит название круговой частоты мо-

ω

= 2Δω = ω2 − ω1

называется32 круговой частотой биений,

T = 2π/ω

T = 2π/ ω

x

t

x

T = 2π/ω

T = 2π/

ω

èñ. 5.

0

t

2π

T1

T2

1

раДваСхемаикигрбиенийóзастановки12цилинд.показаныПО

изображенаЯДОКическнаВЫПОрисункейнаормырисункЛНЕНИЯ5. массе 6. БОТЫ

ν1

.

(9)

T =

ω1

ω2

=

T1

·

T2

,

ν = éÀ =

|

ν2

−

|

|

−

|

|

−

|

T

плоскос

и рисунквокруг горизонтчерез крепятсяточкиальных наосей,тонкие

ходящихстержни 2перп.Стåндикуржнилярномогут вращаться

m

гаятржнейпружина расстояние3малоймассы можточек, как

перемещатьсдятсвдоль. Уïðó-

грузы,

0 è 0′

ñледующем порядке.

d îò

33 подвеса. Измерения прово

ÿ

угол в дну сторону (угол не долж

áûòü

слишком большим!) отпу

. Ý èì ìû

ν1 = 1

g . Все измерения

O′

O′′

возбудили моду 1. Отсчитолебаний

время

t1, íà

2

пример,

d

N1/t1

N1

= 20 ê

. Частота ν1 =

3

стите вычислен

ной по. Сравнитеормуле эту величину

-

l

логотпуразныените

r

2π

l

проводите2.чнотитеобаОпределитестороныпредыдущему.маятникнеЧастотуменее(например,частотутрехмодыдинаковыйразIIмоды.сблизьтеполучимII.Отклоуголих)анаив-

1

ν2

= N2/t2

, ãäå

N2

èñ. 6.

÷èсло наблюдаемых колебаний,

мя этих колебаний. Вычислите

t2

моды II по ормуле

-

частотувреколебаний

ν2 = 2π r

l

+ 2k/m

m

k

1

g

дайте, остановитсгдеитемаятникмассаявлениебиенийиходновременногрузов.биенийотклонитеЭто.Возбудитебудети заметьтевеличинапериокправомусложноеэтотдбиениймоментуказаны,оментколебаниеаправыйвремени,включитена.удерДлястао-

новксекундомеэтого,живагда3правый.éò.Определитенапрукойимер,.маятнике ð Наблю. Отпулевыйчастоту

Частот

биений определитс из равенства

T = 2π/ ω.

èíó

определенн й теоре ическ :

ν = 1/T . Сравните эту вели

в симостьвысоту

акреплен

ν

= ν2 − ν1

чественно4 Изменяя

тоты биенийяпружиныотиспользуна. двесе, проверьте ка

è

Изобразудобсв

нийвыполните5..Для

-

КОНТовомиче киэтихмасштабеОЛЬНЫЕолебаниягра.иковкаждогоВОПпоместите, ОСЫмаятникиходинормуаподслучаедругим(6)б. е

гранализа3.

d

динак

âà

Библиогра ический список

1 Хайкин С.Э. Физические основы механики. М : ИФМЛ. 1963.

М: Высшая школа. 1980. С.181.

6722.. Лабораторный практикум по изике /Под ред. Ахматова А.С.

Лабораторная работа • 6

ОП ЕДЕЛЕНИЕ

ЕНТА ИНЕ ЦИИ МАХОВО О

КОЛЕСА МЕТОДОМ СВОБОДНЫХ КОЛЕБАНИЙ

Ц ль р оты: Знакомство

методом измерения момента инерции твер-

О ору о ни : Экспериментальная установка, секундомер, штанген-

дого тела, определение моме т инерции махового

олеса.

циркуль, измерительная линейка.

1. К АТКАЯ ТЕО ИЯ

Момент инерции твердого тела любой ормы определяется ормулой

Интегрированиеде

J = ZV r2dm ,

(1)

íîверхности,ла,стинекоторойограниченныйаналитический;ограничивающеймоментосивращенияеговыражениирасчетповерхностьюинерциителапредставляеттело,моменттвердого(1)иданнойраспространяетс.неравнПриинерциителатрудностидточке;мерномваточнотверядедого.распределеяслучаевЭксперисложнойнателаэлементвесьотìåíòожнообъемосительииобъемармеальноеплотосупо-.

ρопределение(r)dV ρ(r)

dV

щес вить достаточ

просто. ассмотр м один из методов эксперимен

îвижнойкругвнымподåмычерезднепозакмойствиемгориздвижнойег мописать,центрдинамикисилыальнойоситяжестиеслиоситела,вращения,восп. Кîëвращающегосебанияьзоватьсвокругне прохнепоакя îéÿ-

O

α

âíäсистящ

m~g

d

аятник,

C

= −→

èñ. 1. m~g

¨

M

J α~

ãäå ¨

2

2 угловое ускорение;

(2)

ствующих на маятник;

M суммарный момент сил, дей

α~ = d α/dt~

−→

ии подвесеинерцииполоотклоненгарможмаятсивращенияческиеосительновновесияможнонасоздаетмалыйколебанияпренебречьосинауголтвращенияугол.ькоБудемот.егопоВ-.

ìсовершатьоме

силаэтомложенияПокчитажслучаеяжести:ь,ем,чторавновесия,чтомоментсиламиприизическийотклонесилтрениябудетотносительно

момент

J

равен

α åå

равновесия. С учетом скиазанногомаятникуравнениестремитс

положенивид

mgd sin α

динамикивозвратиться(2),приметв

ãäå

J

d2

α

+ mgd sin α = 0 ,

(3)

2

dt

рассто-

осиквращенотносÏðèя;тельно оси вращения;

d

ÿíèåαотуголцентраповоротамассСмаятндо

m масса маятника;

gуравнениескорение(3)можносвободногозаписатьпадения.

малых

колебаниях

sin ϕ ϕ,

d2α

mgd

· α = 0 .

ская ешениемункция,этогоизменяющади

dt2

+

J

маятникеренциаÿñ со временемëüíого уравнения является г рмониче(4)-

Ω0)

t по закону α = α0 · sin(ω0t +

, ãäå

α0

амплитуда

баний маятника,

ω0

круговая частот ,

Ω0

колебанийначальная изическаза. Из (4) следуета,чтосоответственно,круговаячастотравныи период мàëûõ

J согласно (5)

p

p

Äëÿ

ω0

=

mgd/J ,

T = 2π J/mgd .

(5)

получим выражение

J =

T 2mgd

36

.

(6)

4π2

ìмарные

ìент инерции и массу элементов,J входящихm будем системупотносительнопоследнегониать,.су.

ìî

J =тношенияJ + J ;

míèÿ;= mø + mмомент, где

Jø ìîì

инерции шара

си враще-

учетом (6), для моментаинерцииинерциимаховогомаховогоколеса.Изколеса

ñîî

ñ

J

J будем иметь

T 2g(mсистемыш+ m )d ′

ãäå

Jì =

− Jø ,

(7)

4π2

тельно′ осиположениевращения,це равноетрамассотрезку

маховоемаятниколесо шар относи

d

-

сительновозможж(центроси

ýòîé

оси),маховизколесотовыражениягоïîëîк днороднлесажениенах(2)центрадитсгеометрическиямасснаосисистемывращения. Еслисимметричноотносительноценинерцииаотн(

нахэтоймасс)о, еслидим

OO′

ãäå

d

′ =

mø(R + r)

,

mø + mì

Момент инерции

Jì =

gT 2mø(R + r)

− Jø .

(8)

4π2

точку

Jш относительно

си вращения, п оходящей через

O, согласно теореме Штейнера, îпределяетс

âûðажением

2

2

· mør

2

îñè,

Jø = mø(R + r)

+

5

егоде

ö2åíòð, 2 момент инерции шара относительно

(9)

прох дящей через

5 mør

ПокoлебанийормулеJ =изическ(10)m (можноRîãî+ r) (

4π2

− (R + r)

"1 + 5

R + r

#) .

gT 2

2

r

2

ì

ø

маяпоòíèизмереннымка

значеíиям периода свободных(10)

радиуса махового

олеса

T , массы шара mш, радиуса шара r и

R, определить момент инерции махового колеса

dø

D

по ормуле

¯

X

¯

X

2 ОпределитеИзм рь массуdø =øàðà di/N,

D =

Di/N.

4. Èçìерь средний период свобо

ê

i

i

лебанийзависящим от амплитуды.

T можно считать

ме ить времяT системы. Для этого необходимо из

периоîï åä

ть N полных колебанийопределениюмаятника

огпытовдапосреднийпо(неорормулеменееулепериод10)колебанийпоПроведимаят-

никте n сопределитеда.йТTi

Ti = ti/N.

O′

d

èñ. 2.

R

O

1

i=n

T = n ·

X

O′′

ãäå

Ti,

(11)

i=1

n количество серий опытов. 38

r

та инерции16. ВыведитеО енитемаховогопогрешностиормулу3.колесаКОНТ(6)..вычисленийОЛЬНЫЕJ

ВОПмоменОСЫ-

2

диаметр махового колеса измеряется по разным направле-

íèÿì?

действие момента

становится существен ым

3

маятник,

периоубедитьспоччномугоБиблиограбольшихколебаний?массая,чтошарасилызначенияхическийдолжнатрения,список?бытьдействующиедостаточнонабольшой?

увеличиваюттольк54. ПочемуОбъясните,Какприпростодостат

t

1

Сивухин Д.В. Механик . М.: Наука, 1989. 576 с.

2

Детла А.А., Яворский .М. Курс изики. М.: Высшая школа,

1989

608 ñ

И.В. Курс общей изики, т.1. Механика. Молекулярная

3.

изикСавельев. М.: Наука, 1986. 432 с.

Лабораторная работа • 7

ОП ЕДЕЛЕНИЕ МОДУЛЯ ЮН А ИЗ АСТЯЖЕНИЯ

Ö ëü ð îòû:

П ОВОЛОКИ

ом во с методом измерения упругих свойств мате-

риала, изучение уñòановки по растяжению проволоки, измерение

модуля ЮнгЗнакмедной проволоки.

О ору о ни : Установка, набор грузов, измерительная линейка, мик-

рометр.

1. К АТКАЯ ТЕО ИЯ

39

l1

l2

l2 (рис. 1б). Изменение длины стержня

í lÿ= l2 − l1

будет

онечным для данного значе-

ñèëû

упругости,акпосакакизмененорыевстержнеурав будутовесятвозникдействиеать

l

ñèëû

F

~

èñ. 1F.

ê

Проан лизируем данную диаграм

зменятьдлины ñилутержня, . .

будемFизучать,.Будем

атическî

F

òåïåí

l

Ê

ìó. Íà ó÷àстк диаграммы от точки 0

до точки П

изменение

äëè

стерж

силызависит от величины ст

ой растягивающейl

чтованийункцияможно представить гра ически

(ðèñ. F2),. кезульоторыеатыпоктàзывают,кихисслед

точно сложной.

Ò

l = f (F ) является дост

Ï

Ó

силеня l пропорци нальновыполняетсприложенн й

циональнойк Fóêà:,ò. å. êîãäà

ÿ

çà

-

участокде.Учаор

èупругостисимостиданногопредет.пропорциональупругойобразца,Этнепропорциолу

мациистокзываетсяПупругостиПУсоответствузавFобластью= k l

от пр ложенной силы.

lîñò

Точка У соответствует пределу упругих свойств образца. Далее изме

нение длины стержня нарастает быстрее, а, начиная от точки Т, кривая

0

èñ. 2.

Fó

F

40