fizika_metodichka

которого

словно принимается равной

закону. Значит(13), в

системе. .

возникаютзависитечениемзаухающиевремениколебания,поэкспоненциальномучастот

убывает

A = A0 · e−δt

íî èç (12),

арактеризующегоне только от параметров системыω которых, как вид

э ициент

сопротивления,m Очевиднk íî

÷òîê-

γ, õ

силу вязк го трения.

частоты,

, . . частота зат хающих лебаний меньше

ω < ω0

=

k

êî îðóþ

имела бы система в отсутствие

олебанийперд же

r m

затухающих колебаний больше периода

T

T0 свободных к

Заметим, что периодT =

2π

=

2π

> T0 .

(14)

2

2

ω

ω0 − δ

логично.вПоэтзамедляетпринятоммуследовалозатухающиеприближениидвижение,бы

периодот времениическимиуменьш.Одн.àОтсюдаяко,частотутрениеT

p

называтьарактеризуолебувеличивая(смния.(6))ненеявляютсяпризависитэтом

ным периодом

условной часто ой. Велич на

T ибыстротуω ñëîâ-

Логари мируя, получим

A(t)

=

A0 · e−δt

.

(15)

A(t + 1)

A0 · e−δ(t + 1)

ln

A(t)

секундуТак ак

= δ .

(16)

A(t + 1)

Θ = ln

A(t)

= ln21 A0 · e−δt

= δT .

(17)

A(t + T )

A0 · e−δ(t + T )

нах ждения к

а затухания

t. Äëÿ

Измеряют время

δ поступают сл дующим об азом.

в два раза. Тогдаtиз, в(13)течениеимеемкоторого

да А меняется,

После логари мирования Aïîëó=

A0

e−

δt

.

÷èì= A0

2

искомое выражение для

·

δ

ln 2

различием,наментш2. тивельнаяПОчто.пружиныЯДОКСхемастановкВЫПее располагналогичнапредстÎËНЕНИЯавляетаютсизображсобойвертикальноАБОТЫеннойаборнапружин,.Измерениярисунк(18)под1,-

свешенныхтемЭкспер

δ =

t

.

тем, подвешивая их к

P . Длянайдитеэтогосначаласмещениеизмерьте вес грузов, за

риодля2.Убедитесь справедл

вости ормулы (5). Дляxэтого. вы

ислите пе

1

грузов,используяразличнымизначен

массамиk (для дной из пружин),

полученное

â .

T0

ногоде

T0 =

t

,

(19)

N

òå

ñобственныхпружк.олебанийДляэтогопружинизмерь-

перио3t.маятникаОпределитевремядыNотграполныхзависимостьоэик ициентколебанийпериодаупруго.пружин

T0 собственных колебаний

ïðè äíîì òîì

грузе

Pзначенияпостройте

зависимости T02 îò 1/k (по оси абсцисс отложит

1/k).

22

k

определить по экспе(20)-

4π2(m1

m2)

рименткотораяальнойполучаетсяследующейормуиз (5)пеk.иодыДля=

этого

−необходимо,

T012

− T022

маятник. ПолученныпериодПоместите5.Определитепоегокотмечаярезу

T01

даннымидля грузов с массамипружинного

T02

m1

m2

олдинбанийьтогиз тригрузовсравнитеметодикмическийнапружине.декрементв сосудп.1затухания.сводой

равновесияИзмерения

åãîT начальноепоормулеотклонение,(19). Выводяравноегруз из ло ения

òå åìÿ

A0, определи

T

1

ОЛЬНЫЕàíèé ÂÎÏ ÎÑÛ

(21)

Покажите, что3.периодКОНТколебΘ =

t · ln 2 .

средемоническими5432..

T0 = 2πr

k

.

m

êолебанийзависимостигрузанезатухающиематематическогнаамплитудыпружинелебаниявотî полемаятникавременитявляютсжести.в.вязкойягар-

иободныеижения

ВывДокажите,НайдитеОпределитеНа ртитедите. законпечтограиоддсâ

6

относительное изменение амплитуд при малом значе-

àСпо..ический156молекулярнаяизике.список/Под редизика:.А.С.АхматоваФизический.

Мпрактикумнии.:21ВысшаяΘ. ЛабораторныйИверонова. . школаМ.:ВНаука,..И1980.практикумБиблиогрМеханик.1967С.. 177

3

Савельев И.В. Курс общей изики. М.: Наука, 1986,

.1. 432 ñ.

23

ТЕЛ МЕТОДОМ К УТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ

Ц ль р оты: Оп еделение моментов инерции твердых тел.

О ору о ни : Три илярный подвес, рулетка, линейка, секундомер,

набор тел.

1. К АТКАЯ ТЕО ИЯ

упругой

крутильные колебания диска, двешенного

íèòèуглуассмотрим(рисстремящихсяповорота.1). Моментдискавернутьсил пругостидискв

исх,возникдноеполоающихжение,при закручиваниипропорциона-

ëåí

M

α

ãäå

M = −kα ,

(1)

óþçà

àëüíприотклни

упругий

èþ

потенциотчто,называемыйсвойствпротивопо

îíó

èвратитсму,йент,

правл

àчиваемая

íñòî

ментЗ акдискпостояннитиположительномукручения,дем нус.нити,ормированнойнаправленабота,ыйвыбранперейдеткоэзависзатрпоящиц

мтижную.дулем

ëî

кручиванииненияk

энергию

кручения

íèòè. Â

åé

øåì

ÿ

êèíå

èñ. 1.

ò

энергия ргию вращат льн

движения

новесияп рвоначальному. Если

пренебречь

езначительными потерями энергии

ческуюа. В мом нт прохожден

олгожения

-

кинетическàÿ ýíå ãèÿ

римет максимальное значение, а диск бу-

д т продолжать двигаться по ин рции в направлении,

ротивоположном

ùàò

äâèæåíèÿ

в поте циальнуюпревращениеэнергию д ормироâ

ðà

íîé

рение, то мо но наблю

в дальнейшем

энергии

нити обратный

вновьдатьее в

. Таким образом, устано

вятсяельногоармонические к утильные

кинетическуюолебания системы относительно оси,

прох дящей через центперехерции (тяжести) диска. Для

днородног дис-

инерции диска относительно

оси, проходящейДействительно,через центр совпадающей

ка этот центр совпадает

ге метрическим.

åñëè ì ìåíò

24

чим выражениеJ

Например,изменятьсяУгол отклоненияв зависимостиот положот времениния равновесияпо закону

косинусабудет.

синуса(угол поворота)или

ω0

= pk/J.

другимиде

α = α0 sin ω0t = α0 sin

2π

t ,

(2)

T

T

период колебаний с ст мы,

словами, амплитуда. Так какмаксимальный уãîë отклонения,

ω0

инерции можно найтинапример,изве тном ω0 = 2π/T =

k/J то момент

чение

k, измеряя

период

. Однако, зна-

pT

между собой тремя нерастяж мыми нитями длинойR

r, крепленных

à, á).

l (ðèñ. 2 è ðèñ. 3

Ïðè

поворо

нижнего

à íà óãîë

рисункцентрту егосоответстяжесиподнимется

íà

некоторую вы-

α0

î÷ê h âä ëü îñè

ращения. Насоответствующерисунк3а,б

муд центравновесномуF 2исходном.Точкасостоянию,âполоуетжении,геометрическомуизображен центруомуна

ãî

при поворотеO казываетнижнегополождиска íнаиеуголэто-

l

èñ. 2.

подъема. Если центрадисксчитяжестиатьоднородным,определитсятотрезкомвысота

α0

ная энергия системы. Слебудетовательно,равна потенциаль-

OF = h = h1 − h2

ãäå

U = mgh ,

(3)

J ωmax2

(4)

где максимальное значениеmghугловой= Eêèí ñêî=

рости диска,

2

25

ωmax можно найти,

B r D

B r D

l

h1

l

l

h2

C

O′

взяв производную от угла (2) по времениис.3.

α0

A

R

O

h

A′

O

F

A

ω =

dα

Поскольку

= ω0

· α0 · cos ω0t .

dt

то будем иметь

ω0

= 2π/T , а максимальное значение косинуса равно единице,

Çíàÿ

ωmax =

2πα0

.

(5)

T

äëÿ ÷åãîmнеобходимояниеω из лишь(4)можнонайтиопределить искомый момент инерции J ,

max

ассто

между дисками

h.

из рисунка 3а по теореме

Ïè h1

Обознаомчивположении определяется

агорав.исх

BD = r, AF = R − r,

äëÿ

h1 получим

2

2

2

(6)

При повороте нижнего диска на угол

h1 = l − (R − r) .

яние между дисками

α0 согласно рисунка 3б рассто-

(h2), можно найти из A′BC: (BC)2

= (A′B)2

2

2

2

2 −

(A′C)

, A′B = l, A′C нах дится из A′O′C: (A′C)

= (A′O′)

+ (O′C) −

2A′O′ cos α0 . С учетом обозначений

2

2

2

2

2

(7)

Дня малых углов можно принять

h2

= l

− (R

+ r

− 2Rr cos α0) = h1 − 2Rr(1 − cos α) .

h1 + h2 2l. Тогда

h1

h22

h2

h2

h = h1

−

h2

=

26−

1

−

2

.

(8)

2l

h1

+ h2

h

(9)

2Rr(1

cos α0)

4Rr sin2

α0

−

Для малых углов,hкогда=

=

2

.

2l

2l

ставить в виде

sin2(α0/2) ≈ α02/4 выражение (9) можно пред-

2Rrα02

Подставляя в ур внение (4) величиныh =

.

(10)

2l

искомого момента инерции

h è ωmax согласно (5) и (10) для

J получим выражение

mRrg

2

геометрическиеможновычислитьпараметры,требуемыехарактмоментыризующиеин рциисистемутел,(11)(веес

ëèС помощьючиныизвестны(11)

J = 4π2l

· T

.

-

l, R, r), ïëàò îðìû,

акж периосправедлиT крутильных колебаний.

Как следу

из вывода, ормóëà (11)

I II

O′

оголномпокродаЯДОКазать,энергииотсутсппотерьиодВЫПОЛНЕНИЯчтовиисистемымалыпоправкивесьмапотерь.затруднсравнениюэнергииневлАБОТЫтелен,ки,насеслизапасомтрениеднапо-.

K

P

ктериУчетваолебательнойприможноэнергии2ак.пПО

Ñõ

экспер ментальной установки показана на

O′′

èñ. 4.

рисункема4.

Нижн й масс в ый диск I (плат орма) крепится

нитях к верхнему

íà òðåõ ñèмметричíо расположенных мет

Верхний диск крепится кронштейном

.

диску II меньшего радиусаимаютвращаетсможповорачиватьсяаллических вокруг оси O′O′′

ïîðà

K

стене. Однако,

à ñ÷åò ñòî-

никстрил,1аютнити.аботстремящийсяНезависетьсамкрутильныенагружпривыполняетсяонэтомнеподвижен,отаямоментпривернутьнижнейколебавследующеминерцииплатíèжня,наклонноепериоорйдискы,порядке:япроверьте,которых,анижнийполо.вункционируложениедискениекакпигодна.мывозникравновВрестройствовиделлиульаетсуèмоментяаранее,.ановВозвсе--

будетP

ка для измерений, то есть, нормально ли

åò ó

äëÿ

27

Библиог а ический список

Ÿ35-136. и ухин Д.В. Общий курс

. Механика. М.: Наука, 1979.

2

Савельев

И.В. Курс общей

. Ò

. Механика,

è

3.

Физический практè

м. Механикаизикимолекулярная

изиколебанияпод ред.

Ивероновой В.И. М.: Назикó à, 1967. Ñ. 95-1989.

. Ÿ31-33.

волны, молекулярная

. М.: Наука,

Лабораторная работа • 5

ИЗУЧЕНИЕ СВЯЗАННЫХ КОЛЕБАНИЙ

Ц ль р оты: Изучение осно ных характеристик колебательных си-

стем с двумя степенями свободы.

О ору о ни : Секундомер, металлические стержни, тела, упругая пру-

æèíà.

1. К АТКАЯ ТЕО ИЯ

времени мо

Åñëè ï ëîæ

колебательной системы в любой

ж быть опр д лено единственной координатой, то говормомент что система

имеет

îäíó ñòåпениень свободы. Например,

маятник, колеб

лющийся

заданной плоскости. В этомматематическслучае оорд натой может слу-

æèòü

óãîë

маятника

îò

вертикàëè (ðèñ. 1).

В качестве

другого примера можно

массивное те-

ло, колеблющеесотклонения

взять поле яжести

ользящее. 2а).приможетЗдесь.координатойвремениТмалыхло,коорслужитьвдольнасаженноединатупругойзнадлянегочениях(рисвсехпримеромподявляется.2б)рассмотренныхнадействиемкоординаты.горизонтальныйпружинеКаксистемы,длинениеизвестноупругихееопслучаевизменение(смсывающстер. аботуопрееньин,йс--

•деляетс(рисакжскчениемодной3),

той ж зависимостью

x

èñ. 1.

я одной

Земли

пружины

α

l

x(t) = A cos(29ω0t + ϕ0) .

(1)

x x(t) 0

зависимбречь,миполнойанияхтренияармоническтоэнергииостаетсстьолебания(сопротивления)припостояннойбудутгармоническихзатухающиминельзя. Еслиописыпренесилак

олебанияойплоскдвеприющееункцией,прнаэтомсвòичины,рисункпространствояхранстведвухдляэнергиязаимнонапри1,необопи-.

èñ. 2.

санперпендикужМаятник,рассеиваетсясовершатьокружгегоизображенныйдвижлярныхясмещенияx = x(t)

х мо вводить уж

âå

êющихмерийрепленногодинатыприкпружинныйеденныхсейбудут.яТакимсоотношениемгармпримерахдвухмаятник),женическимнаправленийпарахобразприраспоктеризующиетмдинаковыхпамалых, тбудет.(1).оженныхсмещен.амплОдпроисхíàêîïîèтудахявзаимножесвы,отдеслиòположенияьккостиолебаниядвжвдочастотыперпендикулярножениеëпружинькоссоответствуòравновесиобоихтела,пруж(плосмазаèíÿ-.

описываютсятниковВ

x

y

вдоль расс

неоди

Ýòè

û,

êîòî

çâàí

происотренныхдят колебания, также различны.

носят на

,

но мальных

частот или частот связи. армонические

соответствующие этим частотам,

я нормальными

колеб ния-

рыми(или просто модами). В общем случаеназываютсаких движений любая система

имеет столько, скольк у нее степеней свободы. О

частот

рмальных колебаний говор

ак о спектре колебаний системы. Лю

свободное движение системы может быть

совокупностиав

ñóì

äàìè

азами.

маятники

(ðèñ. 3à-3ã) äàþò

системы

(суперпозиции)двумя степенями с ободы,

де соответствующие отдельнпримермодам ко-

лебания происх

Связанныедят доль одного направления.

нормальных

олебан й (мод)предстопределенны видеамплиту

α2

равныдну сторону (р

. 3б), то смещения

ïîëî åíèя равновесия также

дятни

x1 = x2

ихчастотойолебаниялюбойневлияетмодымоментпроисховреме-

инаетсяазныене.деСоедколебанияормировняющсннойкруговоймаятникина

(ðèñ. 3

-á).

30

ω1 = p

g/l