- •Лекция 1 Задачи линейного программирования
- •1. Задача оптимального планирования производства
- •2. Графический метод решения задач линейного программирования
- •3. Алгоритм симплекс-метода решения задач линейного программирования
- •4 Решение задач линейного программирования средствами Excel
- •Лекция 2. Элементы теории матричных игр
- •1. Платежная матрица. Нижняя и верхняя цена игры
- •2 Приведение матричной игры к задаче линейного программирования.
- •3 Пример решения матричной игры средствами Excel
- •Лекция 3. Транспортная задача
- •1 Закрытая транспортная задача
- •2. Открытая транспортная задача
- •3 Пример решения транспортной задачи средствами Excel
- •Лекция 4. Сетевое планирование
- •1. Сетевой график и его элементы
- •2. Резервы времени выполнения работ сетевого графика
- •3 Пример построения сетевого графика и расчета резервов времени
- •Лекция 5. Динамическое программирование
- •1. Задача о распределении средств между предприятиями
- •2. Пример решения задача о распределении средств между предприятиями
- •Лекция 6. Ковариационный анализ
- •1. Коэффициенты ковариации и корреляции
- •2. Расчет коэффициентов ковариации и корреляции в табличном процессоре Microsoft Excel
- •3. Понятие о методе ранговой корреляции
- •Тема 7. Парная линейная регрессия
- •1. Линейное уравнение регрессии
- •2. Построение линейного уравнения регрессии в пакете «Stadia»
- •1 Построение множественного линейного уравнения регрессии в Excel
- •2 Пример построения линейной производственной функции
- •Лекция 9. Кластерный анализ
- •9 Иерархические кластер-структуры
- •2. Проведение кластерного анализа в пакете «Stadia»
- •Лекция 10. Дискриминантный анализ
- •1. Основные сведения о дискриминантном анализе
- •2. Проведение дискриминантнрого анализа в пакете «Stadia»
2. Пример решения задача о распределении средств между предприятиями
Для расширения производства совет директоров выделяет средства в объеме 100 млн. руб. с дискретностью 20 млн. руб. Прирост выпуска продукции на предприятиях зависит от выделенной суммы, его значения представлены предприятиями и содержатся в таблице 1.
Найти распределение средств между предприятиями, обеспечивающее максимальный прирост выпуска продукции, причем на одно предприятие можно осуществить не более одной инвестиции.
Выделяемые средства, млн.руб. |
Прирост выпуска продукции, млн. руб. | |||
Предприятие № 1 |
Предприятие № 2 |
Предприятие № 3 |
Предприятие № 4 | |
20 |
3 |
2 |
2 |
1 |
40 |
5 |
4 |
4 |
3 |
60 |
7 |
5 |
5 |
6 |
80 |
9 |
7 |
8 |
7 |
100 |
10 |
9 |
10 |
9 |
Решение. Разобьем решение задачи на четыре этапа по количеству предприятий, на которых предполагается осуществить инвестиции.
Решение будем проводить согласно рекуррентным соотношениям .
Этап 1. Инвестиции производим только первому предприятию. Тогда
f1(20)=3,f2(40)=5,f3(60)=7,f4(80)=9,f5(100)=10.
Этап 2. Инвестиции выделяем первому и второму предприятиям. Рекуррентное соотношение (1) примет вид:
f2(x)=max{g2(x2)+f1(x-x2)}.
Следовательно
f2(20)=max(3+0, 0+2)=max(3, 2)=3.
f2(40)=max(5+0, 3+2, 0+4)=max(5, 5, 4)=5.
f2(60)=max(7+0, 5+2, 3+4, 0+5)=max(7, 7, 7, 5)=7.
f2(80)=max(9+0, 7+2, 5+4, 3+5, 0+7)=max(9, 9, 9, 8, 7)=9.
f2(100)=max(10+0, 9+2, 7+4, 5+5, 3+7, 0+9)=max(10, 11, 11, 10, 10, 9)=11.
Этап 3. Финансируем второй этап и третье предприятие. В этом случае соотношение (1) принимает вид:
f3(x)=max{g3(x3)+f2(x-x3)}.
Тогда
f3(20)=max(3+0, 0+2)=max(3, 2)=3.
f3(40)=max(5+0, 3+2, 0+4)=max(5, 5, 4)=5.
f3(60)=max(7+0, 5+2, 3+4, 0+5)=max(7, 7, 7, 5)=7.
f3(80)=max(9+0, 7+2, 5+4, 3+5, 0+8)=max(9, 9, 9, 8, 8)=9.
f3(100)=max(11+0, 9+2, 7+4, 5+5, 3+8, 0+10)=max(11, 11, 11, 10, 11, 10)=11.
Этап 4. Инвестиции в объеме 100 млн.руб. распределяем между третьим этапом и четвертым предприятием. Соотношение (1) принимает вид:
f4(x)=max{g4(x4)+f3(x-x4)}.
Следовательно
f4(20)=max(3+0, 0+1)=max(3, 1)=3.
f4(40)=max(5+0, 3+1, 0+3)=max(5, 4, 3)=5.
f4(60)=max(7+0, 5+1, 3+3, 0+6)=max(7, 6, 6, 6)=7.
f4(80)=max(9+0, 7+1, 5+3, 3+6, 0+7)=max(9, 8, 8, 9, 7)=9.
f4(100)=max(11+0, 9+1, 7+3, 5+6, 3+7, 0+9)=max(11, 10, 10, 11, 10, 9)=11.
Максимальный прирост выпуска продукции в 11 млн.руб. получен на четвертом этапе как, например, 5+6 , т.е. 6 млн.руб. соответствуют выделению 60 млн.руб. четвертому предприятию. Согласно третьему этапу 5 млн.руб. получено как 3+2, т.е. 2 млн.руб. соответствует выделению 20 млн.руб. третьему предприятию. Согласно второму этапу 3 млн.руб. получено как 3+0, те. 3 млн.руб. соответствует выделению 20 млн.руб. первому предприятию.
Таким образом, инвестиции в объеме 100 млн. руб. целесообразно выделить четвертому предприятию в объеме 60 млн.руб. и первому и второму предприятиям в объеме по 20 млн.руб. каждому, при этом прирост продукции будет максимальным и составит 11 млн.руб.
Все вычисления можно упростить, воспользовавшись следующей расширенной таблицей:
x | ||||||||
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
20 |
3 |
3 |
2 |
|
2 |
|
1 |
|
40 |
5 |
5 |
4 |
|
4 |
|
3 |
|
60 |
7 |
7 |
5 |
|
5 |
|
6 |
|
80 |
9 |
9 |
7 |
|
7 |
|
7 |
|
100 |
10 |
10 |
9 |
|
9 |
|
9 |
|
. Чтобы вычислить значения для столбца , надо по столбцу двигаться от 0 вниз до заполняемой клетки, а по столбцу двигаться вверх от заполняемой клетки до числа 0, образовывая сумм. Среди которых выбирают максимальную. Аналогично заполняют остальные столбцы. В итоге получаем таблицу:
x | ||||||||
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
20 |
3 |
3 |
2 |
3 |
2 |
3 |
1 |
3 |
40 |
5 |
5 |
4 |
5 |
4 |
5 |
3 |
5 |
60 |
7 |
7 |
5 |
7 |
5 |
7 |
6 |
7 |
80 |
9 |
9 |
7 |
9 |
7 |
9 |
7 |
9 |
100 |
10 |
10 |
9 |
11 |
9 |
11 |
9 |
11 |
Число, записанное в нижнем правом углу таблицы, равно наибольшей прибыли, полученной от вложения всех средств.. Распределение средств предприятиям находим, подчеркивая слагаемые соответствующих максимальных сумм, перемещаясь из конца таблицы в начало.