Исследование оперций

Задача массового обслуживания заключается либо в формировании потока требований в систему, либо в обеспечении средствами обслуживания, либо в одновременном решении этих вопросов. Целью решения этой общей задачи является минимизация суммарных затрат, связанных с ожиданием обслуживания требований и потерями от простоя средств обслуживания.

Поскольку большинство людей проводит много времени в очередях, ожидая обслуживания или, напротив, ожидая, когда им представится возможность предоставить свои услуги, процессы и задачи массового обслуживания возникают повсюду. Приведем несколько примеров содержательной постановки задач этого класса.

Сколько требуется контрольных касс в крупном магазине самообслуживания?

Сколько взлетно-посадочных полос нужно иметь на аэродроме?

Сколько причалов для судов рационально предусмотреть в порту?

Сколько мест для автомашин оборудовать в гараже? Сколько продавщиц нужно иметь в универмаге? Сколько ремонтных бригад содержать на промышленном предприятии?

Сколько врачей предусмотреть в штате поликлиники? Сколько коек требуется для больницы? Как составить расписание прибытия самолетов в город? Как составить железнодорожное расписание или расписание работы автомобильного парка?

Большую группу задач ремонта и профилактического обслуживания можно рассматривать как задачи массового обслуживания. Оборудование или изделия, нуждающиеся в ремонте и обслуживании, представляют собой требования. Средства ремонта можно доставлять к месту обслуживания требований, как это, например, происходит, когда вызывают на дом мастеров для ремонта бытовых приборов, отопления и сантехники. Затраты на ожидание удовлетворения требований могут включать потери, обусловленные невозможностью -использовать неисправное оборудование.

Некоторые задачи управления запасами можно также поставить как задачи массового обслуживания. Поступивший заказ, который выполняется путем поставки продукции из запаса, рассматривается как требование. Складское хозяйство можно считать средством обслуживания, обеспечивающим выдачу продукции клиентам. Операция обслуживания есть процесс заполнения освободившихся складских помещений с помощью заказов на пополнение запаса. Очередь - это число еще не выполненных заказов. Если спрос носит дискретный характер и в каждой партии поступает небольшое число изделий, то такой процесс пополнения запаса можно эффективно исследовать с помощью аппарата теории массового обслуживания. Для решения задач управления запасами этого вида модель процесса массового обслуживания «погружается» в модель запасов. Этот подход к решению задач управления запасами развит Морзом и Прабху.

Некоторые очереди считаются замкнутыми, так как обслуженные требования (т. е. требования, покинувшие систему) могут возвращаться в нее, образуя набор потенциальных требований, впоследствии вновь поступающих на обслуживание. Так, например, автомашины, приписанные к определенному парку, могут образовывать замкнутую очередь по отношению к ремонтным мастерским фирмы. Если число потенциальных требований очень велико, то поведение замкнутой очереди практически не отличается от поведения разомкнутой или линейной очереди, в которой обслуженные требования уже не возвращаются в систему. Количество накапливающихся требований может быть конечным или практически бесконечным. Очень большие наборы требований обычно рассматриваются как бесконечные, что позволяет существенно упростить математический аппарат, применяемый для решения задач.

Затраты, связанные с ожиданием удовлетворения требований, как правило, включают косвенные расходы, обусловленные потерей клиентов (или люди обращаются за услугами в другое место, покупают меньше, чем намеревались, или не обращаются к данной системе в будущем), или прямые издержки простоя средств обслуживания и людей. Примером прямых затрат может служить оплата водителей грузовых автомашин, ожидающих разгрузки, или стоимость эксплуатации самолета или судна, ожидающего посадки на аэродром или швартовки у причала. Определить косвенные расходы гораздо сложнее. Например, водители автомашин, нуждающиеся в бензине, стараются не заправляться на станциях, где у бензоколонок скапливается большая очередь. Чтобы определить, сколько клиентов теряется в подобных ситуациях, и выразить эти потери в денежной форме, потребуется проведение экспериментов или тщательный анализ изменения спроса при различных уровнях обслуживания с использованием статистических данных.

В некоторых случаях потери от ожидания можно определить, проанализировав надлежащим образом «имеющиеся в наличии» наблюдения. В ресторанах иногда можно наблюдать, как меняется число заходящих в единицу времени посетителей в зависимости от длины очереди. Можно даже установить зависимость числа уходящих потенциальных посетителей от длины этой очереди. Однако гораздо труднее выяснить, как она влияет на их возвращение в ресторан, если рассматривать достаточно большой интервал времени. В замкнутых очередях, например в системах ремонта, обслуживающих парк автомашин, потери от ожидания клиентов (т. е. машин, ожидающих ремонта) обычно выражаются стоимостью дополнительных машин, необходимых для «покрытия» недостатка, образовавшегося из-за вышедших из строя машин, т. е. определяются стоимостью «резерва».

Потери от простоя средств обслуживания могут оказывать влияние и на другие виды расходов. Так, например, если авиалинию обслуживает всего один ремонтный заводу то требуется гораздо больше времени на транспортировку самолетов в пункт, где он расположен, чем в случае, когда имеется несколько ремонтных предприятий, размещенных в различных пунктах по линии.

Модель задачи массового обслуживания в общем виде выражает полные затраты как сумму двух видов потерь: от ожидания удовлетворения требований и от простоя средств обслуживания. Эти потери являются в свою очередь функциями двух различных видов времени ожидания, которое в конечном счете зависит от таких управляемых переменных, как число обслуживающих каналов или параметров входящего потока требований, а также параметров процесса обслуживания. Трудности исследования большинства задач массового обслуживания заключаются в определении законов распределения времени ожидания, а не в решении «стоимостной» модели при условии, когда важнейшие характеристики очередей уже известны. В связи с этим в теории массового обслуживания исследуются главным образом свойства очередей, а не стоимостные модели процессов обслуживания

5. Транспортная задача

Под названием “транспортная задача” объединяется широкий круг задач с единой математической моделью. Данные задачи относятся к задачам линейного программирования и могут быть решены симплексным методом. Однако матрица системы ограничений транспортной задачи настолько своеобразна, что для ее решения разработаны специальные методы. Эти методы, как и симплексный метод, позволяют найти начальное опорное решение, а затем, улучшая его, получить оптимальное решение.

В общей постановке транспортная задача состоит в отыскании оптимального плана перевозок некоторого однородного груза с баз   потребителям .

Различают два типа транспортных задач: но критерию стоимости (план перевозок оптимален, если достигнут минимум затрат на его реализацию) и по критерию времени (план оптимален, если на его реализацию затрачивается минимум времени).

Обозначим количество груза, имеющегося на каждой из  баз (запасы), соответственно ,а общее количество имеющегося в наличии груза–:

;

заказы каждого из потребителей (потребности) обозначим соответственно, а общее количество потребностей – :

,

Тогда при условии

мы имеем закрытую модель, а при условии

– открытую модель транспортной задачи.

Очевидно, в случае закрытой модели весь имеющийся в наличии груз развозится полностью, и все потребности заказчиков полностью удовлетворены; в случае же открытой модели либо все заказчики удовлетворены и при этом на некоторых базах остаются излишки груза , либо весь груз оказывается израсходованным, хотя потребности полностью не удовлетворены .

Так же существуют одноэтапные модели задач, где перевозка осуществляется напрямую от, например, базы или завода изготовителя к потребителю, и двухэтапные, где между ними имеется “перевалочный пункт”, например – склад.

План перевозок с указанием запасов и потребностей удобно записывать в виде следующей таблицы, называемой таблицей перевозок:

Пункты Отправления	Пункты назначения	Запасы
		…
			…
			…
…	…	…	…	…	…
			…
Потребности			…		или

Условие  или  означает, с какой задачей мы имеем дело, с закрытой моделью или открытой моделью транспортной задачи. Переменное  означает количество груза, перевозимого с базы  потребителю : совокупность этих величин образует матрицу (матрицу перевозок).

Очевидно, переменные  должны удовлетворять условиям:

Таким образом, мы видим, что транспортная задача является задачей линейного программирования. Для ее решения применяют также симплекс-метод, но в силу специфики задачи здесь можно обойтись без симплекс-таблиц. Решение можно получить путем некоторых преобразований таблицы перевозок. Эти преобразования соответствуют переходу от одного плана перевозок к другому. Но, как и в общем случае, оптимальное решение ищется среди базисных решений. Следовательно, мы будем иметь дело только с базисными (или опорными) планами. Так как в данном случае ранг системы ограничений-уравнений равен  то среди всех  неизвестных  выделяется  базисных неизвестных, а остальные ·

неизвестных являются свободными. В базисном решении свободные неизвестные равны нулю. Обычно эти нули в таблицу не вписывают, оставляя соответствующие клетки пустыми. Таким образом, в таблице перевозок, представляющей опорный план, мы имеем  заполненных и · пустых клеток.

Для контроля надо проверять, равна ли сумма чисел в заполненных клетках каждой строки таблицы перевозок запасу груза на соответствующей базе, а в каждом столбце — потребности заказчика [этим подтверждается, что данный план является решением системы (2.1)].

Замечание 1. Не исключаются здесь и вырожденные случаи, т. е. возможность обращения в нуль одной или нескольких базисных неизвестных. Но эти нули в отличие от нулей свободных неизвестных вписываются в соответствующую клетку, и эта клетка считается заполненной.

Замечание 2. Под величинами , очевидно, не обязательно подразумевать только тарифы. Можно также считать их величинами, пропорциональными тарифам, например, расстояниями от баз до потребителей. Если, например,  выражены в тоннах, а  в километрах, то величина , определяемая формулой (2.4), является количеством тонно-километров, составляющих объем данного плана перевозок.

Заключение

Методы исследования операций, как и любые математические методы, всегда в той или иной мере упрощают, огрубляют задачу, отражая порой нелинейные процессы линейными моделями, стохастические системы — детерминированными, динамические процессы — статическими моделями и т.д. Жизнь богаче любой схемы. Поэтому не следует ни преувеличивать значение количественных методов исследования операций, ни преуменьшать его, ссылаясь на примеры неудачных решений. Уместно привести в связи с этим шутливо-парадоксальное определение исследования операций, сделанное одним из его создателей Т. Саати, как "искусства давать плохие ответы на те практические вопросы, на которые даются еще худшие ответы другими методами".

Список литературы:

1. Акоф Р., Сасиени М. Основы исследования операций - М.: Мир, 1971. - 536 с.

2. Вентцель Е.С. Исследование операций. Задачи, принципы, методология - М.: Наука, 1980.

3. Кузнецов А.В., Сакович В.А., Холод Н.И. ”Высшая математика. Математическое программирование ”, Минск, Вышейшая школа, 2001г.

http://www.bibliofond.ru/view.aspx?id=134800

http://ru.wn.com/%D0%98%D1%81%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%B4%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%BE%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B0%D1%86%D0%B8%D0%B9

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧЕРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОННАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

(ФГБОУ ВПО ИрГУПС)

Филиал г. Северобайкальск

Факультет заочного образования

Кафедра «Магистральный транспорт»

Исследование операций

Контрольная работа №1

«Классические задачи исследования операций»

КР. 420100.190401.65ПЗ

Выполнил: Студент 3 курса Проверил: д.м.н

Хацкевич Надежда Алексеевна Поляков Михаил Михайлович

Заочного отделения С-11- ЭЖД.1-0160К ( ___________ _____________ ) (__________ ) дата подпись

дата подпись

Северобайкальск 2013