Дубовик О.А., Совертков П.И

О.А. Дубовик П.И. Совертков

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ - II

(функции нескольких переменных, интегральное исчисление функции одной переменной)

Методическое пособие для студентов заочного отделения

Сургут

2009

ДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ ХАНТЫ-МАНСИЙСКОГО АВТОНОМНОГО ОКРУГА – ЮГРЫ

ГОУ ВПО «СУРГУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ХАНТЫ-МАНСИЙСКОГО АВТОНОМНОГО ОКРУГА – ЮГРЫ»

Кафедра высшей математики

О.А. Дубовик П.И. Совертков

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ-II

(функции нескольких переменных, интегральное исчисление функции одной переменной)

Методическое пособие для студентов заочного отделения

Сургут Издательский центр СурГУ

2009

1

УДК 517(072) + 517.3(072) ББК 22.161.1 я 73

Д796

Д796 Дубовик, О. А. Математический анализ-II (функции нескольких переменных, интегральное исчисление функции одной переменной) : метод. пособие для студентов заочного отделения / О. А. Дубовик, П. И. Совертков ; Сургут. гос. ун-т ХМАО – Югры. – Сургут : ИЦ СурГУ, 2009. – 68 с.

Впервой части пособия приведены варианты двух контрольных работ по темам: функция нескольких переменных и интегральное исчисление функции одной переменной, а также программа курса и вопросы к экзамену за второй семестр. Во второй части пособия рассматриваются методические указания по нахождению интегралов. Большое внимание уделено применению интегрального исчисления при решении задач. Пособие содержит весь необходимый справочный материал.

Предназначено для студентов заочного отделения факультета информационных технологий, а также может быть использовано для студентов дневного отделения как справочное пособие при выполнении самостоятельной работы.

Печатается по решению редакционно-издательского совета СурГУ.

Рецензент А.П. Кармазин, доктор физико-математических наук, профессор кафедры прикладной математики Сургутского государственного университета.

©Дубовик О.А., Совертков П.И., 2009

©ГОУ ВПО «Сургутский государственный университет ХМАО – Югры», 2009

2

3

I.Контрольная работа № 3

№10–19. С помощью дифференциала приближенно вычислить.

29.u = f (x − 2 y + z, x − y − z).

№30–39. Найти производную функции z = f (x, y) в точке M по направлению к точке N.

№ 40–49. Исследовать на условный экстремум функцию z = f (x, y) на линии γ.

5

№ 70–79. Исследовать на сходимость несобственные интегралы.

№80–89.

80.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

y2 = 2x +1, y − x +1 = 0.

81. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: y = x2 , x = y2 .

82. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: y2 +8x =16, y2 − 24x = 48.

83. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

84.Вычислить площадь внутри кардиоиды r =1 − cos ϕ.

85.Вычислить длину кардиоиды r =1 − cos ϕ .

86.Вычислить длину одной арки циклоиды:

x= t −sin t, y =1 − cost , (0 ≤ t ≤ 2π).

87.Найти площадь поверхности, образованной вращением параболы y2 = 4x вокруг оси ox от вершины до x = 3.

88.Найти объем тела вращения параболы y2 = 4x, ограничен-

ной x =1 вокруг оси Ox.

89. Найти объем тела, ограниченного поверхностью вращения

7

III.Программа курса

1.Функции нескольких переменных

Определение функции нескольких переменных. Область определения функции. График функции двух переменных. Линии уровня функции двух переменных.

ε-окрестность точки на плоскости. Предел функции двух переменных. Основные теоремы о пределах для двух функций, имеющих пределы в данной точке. Бесконечно малая функция в точке. Непрерывность функции двух переменных. Полное приращение функции двух переменных в точке. Основные теоремы о непрерывных функциях двух переменных.

Частные производные функции двух переменных. Понятие дифференцируемости функции. Производная сложной функции. Дифференцирование функции, заданной неявно. Дифференциал функции двух переменных. Применение полного дифференциала в приближенных вычислениях. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Частные производные и дифференциалы высших порядков. Производная по направлению. Градиент функции.

Формула Тейлора для функции двух переменных. Определение локального минимума и локального максимума. Необходимое и достаточное условия экстремума функции двух переменных. Условный экстремум. Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции двух переменных в замкнутой области.

2. Интегральное исчисление

Определение первообразной и неопределенного интеграла. Таблица основных интегралов.

Основные свойства неопределенного интеграла.

Метод замены переменной в неопределенном интеграле. Метод интегрирования по частям в неопределенном интеграле. Интегрирование рациональных выражений. Интегралы вида:

Определенный интеграл. Условие интегрируемости функций. Свойства определенного интеграла. Оценки определенных интегралов. Теорема о среднем для определенного интеграла.

8

Интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньюто- на-Лейбница. Замена переменных в определенном интеграле.

Площадь криволинейной трапеции. Площадь криволинейного сектора, ограниченного кривой, заданной в полярной системе координат. Вывод формулы вычисления длины дуги. Вывод формулы для вычисления объема по поперечным сечениям. Вывод формулы вычисления объема тела вращения. Вывод формулы вычисления площади поверхности вращения.

Физические приложения определенного интеграла: нахождение длины пройденного пути через скорость, определение работы, совершенной силой, нахождение давления жидкости.

Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования. Несобственные интегралы от неограниченных функций.

Приближенные способы вычисления определенного интеграла формулой прямоугольника, формулой трапеции, формулой Симпсона (парабол).

9

33.Площадь криволинейного сектора, ограниченного кривой, заданной в полярной системе координат.

34.Вычисление длины дуги.

35.Вычисление объема по поперечным сечениям.

36.Вычисление объема тела вращения.

37.Вычисление площади поверхности вращения.

38.Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования.

39.Несобственные интегралы от неограниченных функций.

40.Приближенный способ вычисления определенного интеграла формулой трапеции.

41.Приближенный способ вычисления определенного интеграла формулой Симпсона (парабол).

42.Физические приложения определенного интеграла.

12

Функция двух переменных

С2 [a;b] – класс функций, имеющих непрерывные производные до второго порядка включительно на отрезке [a; b].

С1[a;b] – класс функций, имеющих непрерывные производные первого порядка на отрезке [a; b].

С0 [a;b] – класс непрерывных функций на отрезке [a; b]. ε-окрестностью точки M0 (x0 ; y0 ) называется множество

{M (x; y)} всех точек, координаты которых удовлетворяют неравен-

ству (x − x0 )2 + ( y − y0 )2 < ε , т.е. открытый круг с центром в точке

M0 (x0 ; y0 ) и радиусом ε.

Точка А называется внутренней точкой множества Н, если существует ε-окрестность этой точки, содержащаяся в множестве Н

(рис. 1).

Множество, все точки которого являются внутренними точками для этого множества, называется открытым множеством.

13

Множество на плоскости называется замкнутым, если его дополнение – открытое множество.

Связное открытое множество точек называется открытой об-

ластью или просто областью.

Множество точек называется ограниченным, если существует круг, внутри которого оно содержится.

Число А называется пределом функции z = f (M ) в точке M0 , если для любой сходящейся к M0 последовательности точек M1, M2 , ..., Mn , ... ( Mn ≠ M0 ) соответствующая последовательность значений функции f (M1 ), f (M2 ), ..., f (Mn ), … сходится к А.

Число А называется пределом функции z = f (M ) в точке M0 , если для любого ε > 0 существует δ > 0, такое, что для всех точек M ≠ M0 , принадлежащих δ-окрестности точки M0 , значения функции f (M ) принадлежат ε-окрестности точки А.

На рис. 2 число А является пределом функции z = f (M ) в точке M0 , так как для любой ε-окрестности точки А, т.е. интервала (A − ε; A + ε) нашлась в области определения Df функции δ-окрест-

Рис. 2

14

Теорема. Пусть функции f (M ) и g(M ) определены на одном и том же множествеG и имеют в точкеM0 G соответственно преде-

лы А и В. Тогда функции f (M ) ± g(M ), f (M ) g(M ), f (M ) / g(M ),

существует предел функции в этой точке, и он равен значению функции в точке M0 , т.е.:

ее полное приращение в этой точке есть бесконечно малая функция

Глобальные свойства непрерывных функций

1. Непрерывная функция z = f (M ) в замкнутой ограниченной

области ограничена в этой области, т.е. существует такое положительное число М, что для всех точек области выполняется следую-

щее неравенство: f (M ) ≤ M .

2. Непрерывная функция z = f (M ) в замкнутой ограниченной

области достигает своих точных граней.

3. Непрерывная функция z = f (M ) в области принимает все

промежуточные значения между любыми двумя своими значениями, т.е. если А и В какие-то значения функции f (M ) в данной облас-

ти и С – число, удовлетворяющее условию А< C < B, то в этой области существует точка M0 , в которой f (M0 ) = C.

f (x, y + y) − f (x, y)

y

ции z = f (x, y) в точке (x, y) по переменной y. Другие обозначения этой производной: fy′, ддfy , ддyz , ддy f .

Функция z = f (M ) называется дифференцируемой в точке М, если ее полное приращение в этой точке можно представить в виде

M (x, y), то она имеет в этой точке частные производные fx′(x, y) и

ные в некоторой окрестности точки М и эти производные непрерывны в самой точке М, то функция дифференцируема в точке М.

Теорема. Если функции x = x(t) и y = y(t) дифференцируемы в точке t, афункция z = f (x, y) дифференцируема вточке M (x(t), y(t)), то сложная функция z = f [x(t), y(t)] дифференцируема в точке t, причем производная сложной функции вычисляется по формуле:

стные производные сложной функции вычисляются по формулам:

Аналогично для сложной функции w = f [x(u,v), y(u,v), z(x, y)]:

ддwu = ддwx ддux + ддwy ддuy + ддwz ддuz , ддwv = ддwx ддxv + ддwy ддyv + ддwz ддvz .

Теорема. Если функция x = x(u,v) дифференцируема в точке M (u,v) , а функция z = f (x) дифференцируема в точке M ′(x) , где x = x(u,v) , то сложная функция z = f [x(u,v)] дифференцируема в точке M (u,v) , причем частные производные сложной функции вычисляются по формулам:

тельной плоскости к поверхности, заданной уравнением z = f (x, y) в точке N(x0 , y0 , z0 ) поверхности, где z0 = f (x0 , y0 ).

n ( fx′(x0 , y0 ); fy′(x0 , y0 ); −1) – нормальный вектор к поверхности в точке N(x0 , y0 , z0 ).

Fx′(x0 , y0 , z0 )(x − x0 ) + Fy′(x0 , y0 , z0 )( y − y0 ) + Fz′(x0 , y0 , z0 )(z − z0 ) = 0 –

уравнение касательной плоскости к поверхности, заданной общим

17

Если производные z′′xy (x, y) , z′′yx (x, y) существуют в некоторой окрестности точки M (x, y) и непрерывны в самой точке М, то в этой точке zxy′′ = z′′yx .