ТВ случайные события Заочное
.pdf
Теория Вероятностей
Оглавление
1.Случайные события
2.Действия над событиями
3.Классическое определение вероятности
4.Элементы комбинаторики
5.Формулы комбинаторики
6.Схема выбора с возвращением
7.Геометрическое определение вероятности
8.Правила сложения и умножения вероятностей
9.Формула полной вероятности
10.Формулы Бейеса
11.Повторение независимых испытаний
12.Формула Бернулли
13.Локальная формула Лапласа
14.Интегральная формула Лапласа
15.Приближенная формула Пуассона
16.Наивероятнейшее число успехов
Случайные события
ТВ – математическая наука, изучающая закономерности, присущие массовым случайным явлениям. (рассматриваются математические модели случайных явлений)
Случайное событие (событие) – любой исход опыта, который может произойти или не произойти. Обозначается: А, В, С, …
Непосредственные исходы опыта называются элементарными
событиями.
Событие называется достоверным, если оно обязательно наступит в результате данного опыта (обозначается Ω).
Событие называется невозможным, если оно заведомо не произойдет в результате данного опыта (обозначается ).
Два события называются несовместными, если появление одного из них исключает появление другого события в одном и том же испытании (опыте).
События А1, А2, , А называются попарно-несовместными,
если любые два из них несовместны.
Несколько событий образуют полную группу, если они попарно несовместны и в результате каждого испытания происходит одно и только одно из них.
Несколько событий в данном испытании называются равновозможными, если ни одно из них не является объективно более возможным чем другие, т.е. все события имеют равные «шансы».
Действия над событиями
Суммой событий А и В называется событие = + , состоящее в наступлении хотя бы одного из них (т.е. или А, или В, или А и В вместе).
|
В |
Диаграмма Эйлера-Венна |
|
Прямоугольник – достоверное событие, |
|
|
|
|
А |
|
Точки в прямоугольнике – элементарные случайные |
|
|
события, |
|
|
Область внутри прямоугольника – случайное событие. |
|
|
Ω |
Произведением событий А и В называется событие = ∙ ,
состоящее в совместном наступлении этих событий (т.е. и А и В одновременно).
В
А
Ω
Разностью событий А и В называется событие = − , происходящее тогда и только тогда, когда происходит событие А, но не происходит событие В.
В
А
Ω
Противоположным событию А называется событие ,
происходящее тогда и только тогда, когда не происходит событие А (т.е. означает, что событие А не наступило).
А
А
Ω
Событие А влечет событие В (или А является частным случаем В), если из того, что происходит событие А, следует, что происходит событие В.
|
|
|
В |
Если и B , то события А и В называются |
|
А |
равными. |
= |
|
|
|
Ω
Свойства операций над событиями.
1.+ = + , ∙ = ∙
2.+ ∙ = ∙ + ∙ , ∙ + = ( + ) ∙ ( + )
3. + + = + + , |
∙ ∙ = ∙ ( ∙ ) |
4.+ = , ∙ =
5.+ Ω = Ω, ∙ Ω =
6.+ = Ω, ∙ =
7.= Ω, Ω = , =
8.− = ∙
9.+ = ∙ , ∙ = + - законы де Моргана.
Пример. Пусть А, В и С – три произвольных события. Выразить через них следующие события:
а) произошли все три события; б) произошло только С;
в) произошло хотя бы одно из событий; г) ни одного события не произошло; д) произошли А и В, но С не произошло; е) произошло одно из этих событий; ж) произошло не более двух событий.
Классическое определение вероятности
Вероятность является количественной оценкой случайного события, она выражает степень возможности появления данного случайного события в рассматриваемом опыте (испытании).
Элементарные исходы, в которых интересующее нас событие наступает, называются благоприятствующими этому событию.
При классическом определении вероятность события
определяется равенством
= ,
где m – число элементарных исходов испытания, благоприятствующих появлению события А;
n – общее число возможных элементарных исходов испытания (все элементарные исходы равновозможны, несовместны и образуют полную группу).