ТВ заочное 6-4
.pdf
Теория Вероятностей
Оглавление
1. |
Случайные события |
18. |
Функция распределения |
2. |
Действия над событиями |
19. |
Многоугольник распределения |
3.Классическое определение вероятности 20. Числовые характеристики случайных
4.Элементы комбинаторики
5.Формулы комбинаторики
6.Геометрическое определение вероятности
7.Правила сложения и умножения вероятностей
8.Формула полной вероятности
9.Формулы Бейеса
10.Повторение независимых испытаний
11.Формула Бернулли
12.Локальная формула Лапласа
13.Интегральная формула Лапласа
14.Приближенная формула Пуассона
15.Наивероятнейшее число успехов
16.Дискретные случайные величины
17.Законом распределения
величин
21.Математическое ожидание
22.Свойства математического ожидания
23.Дисперсия дискретной случайной величины
24.Свойства дисперсии
25.Среднее квадратическое отклонение
Случайные события
ТВ – математическая наука, изучающая закономерности, присущие массовым случайным явлениям. (рассматриваются математические модели случайных явлений)
Случайное событие (событие) – любой исход опыта, который может произойти или не произойти. Обозначается: А, В, С, …
Непосредственные исходы опыта называются элементарными
событиями.
Событие называется достоверным, если оно обязательно наступит в результате данного опыта (обозначается Ω).
Событие называется невозможным, если оно заведомо не произойдет в результате данного опыта (обозначается ).
Два события называются несовместными, если появление одного из них исключает появление другого события в одном и том же испытании (опыте).
События А1, А2, , А называются попарно-несовместными,
если любые два из них несовместны.
Несколько событий образуют полную группу, если они попарно несовместны и в результате каждого испытания происходит одно и только одно из них.
Несколько событий в данном испытании называются равновозможными, если ни одно из них не является объективно более возможным чем другие, т.е. все события имеют равные «шансы».
Действия над событиями
Суммой событий А и В называется событие = + , состоящее в наступлении хотя бы одного из них (т.е. или А, или В, или А и В вместе).
|
В |
Диаграмма Эйлера-Венна |
|
Прямоугольник – достоверное событие, |
|
|
|
|
А |
|
Точки в прямоугольнике – элементарные случайные |
|
|
события, |
|
|
Область внутри прямоугольника – случайное событие. |
|
|
Ω |
Произведением событий А и В называется событие = ∙ ,
состоящее в совместном наступлении этих событий (т.е. и А и В одновременно).
В
А
Ω
Разностью событий А и В называется событие = − , происходящее тогда и только тогда, когда происходит событие А, но не происходит событие В.
В
А
Ω
Противоположным событию А называется событие ,
происходящее тогда и только тогда, когда не происходит событие А (т.е. означает, что событие А не наступило).
А
А
Ω
Событие А влечет событие В (или А является частным случаем В), если из того, что происходит событие А, следует, что происходит событие В.
|
|
|
В |
Если и B , то события А и В называются |
|
А |
равными. |
= |
|
|
|
Ω
Свойства операций над событиями.
1.+ = + , ∙ = ∙
2.+ ∙ = ∙ + ∙ , ∙ + = ( + ) ∙ ( + )
3. + + = + + , |
∙ ∙ = ∙ ( ∙ ) |
4.+ = , ∙ =
5.+ Ω = Ω, ∙ Ω =
6.+ = Ω, ∙ =
7.= Ω, Ω = , =
8.− = ∙
9.+ = ∙ , ∙ = + - законы де Моргана.
Пример. Пусть А, В и С – три произвольных события. Выразить через них следующие события:
а) произошли все три события; б) произошло только С;
в) произошло хотя бы одно из событий; г) ни одного события не произошло; д) произошли А и В, но С не произошло; е) произошло одно из этих событий; ж) произошло не более двух событий.
Классическое определение вероятности
Вероятность является количественной оценкой случайного события, она выражает степень возможности появления данного случайного события в рассматриваемом опыте (испытании).
Элементарные исходы, в которых интересующее нас событие наступает, называются благоприятствующими этому событию.
При классическом определении вероятность события
определяется равенством
= ,
где m – число элементарных исходов испытания, благоприятствующих появлению события А;
n – общее число возможных элементарных исходов испытания (все элементарные исходы равновозможны, несовместны и образуют полную группу).