ТВ заочное 6-4
.pdf
Дискретные случайные величины
Дискретной называют случайную величину, возможные значения которой есть отдельные изолированные числа, которые эта величина принимает с определенными ненулевыми вероятностями. Число возможных значений может быть конечным или бесконечным (счетным).
Пример.
Случайная величина Х – количество мальчиков среди ста новорожденных.
Возможные значения 1 = 0, 2 = 1, , 101 = 100.
= 1, = 2,…, = 101 - случайные события образуют полную группу событий.
Законом распределения
Законом распределения дискретной случайной величины называют перечень её возможных значений и соответствующих им вероятностей.
Закон распределения может быть задан одним из следующих способов:
1. Таблицей
X |
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
p |
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
где
= 1
=1
2. Аналитически P X xi xi . Например:
а) биномиальное распределение
P X k C |
k |
p |
k |
q |
n k |
, 0 р 1, k=0, 1, 2, …, n; |
|
|
|
||||
|
n |
|
|
|
|
б) распределение Пуассона |
|
|||
|
|
e |
|
|
P X k |
k |
|
, 0, k=0, 1, 2, … . |
|
|
|
|
||
|
k! |
|
||
|
|
|
||
в) геометрическое распределение, г) гипергеометрическое распределение.
3. С помощью функции распределения F(x), определяющей для каждого значения x вероятность того, что случайная величина X примет значение меньшее x, т. е. F x P X x .
Свойства F(x): |
|
|
|||
1) |
0 F x 1, |
|
|
||
2) |
F x |
2 |
F x , |
если 2 > 1; |
|
|
1 |
||||
3) |
lim |
F x 0, |
lim |
F x 1. |
|
|
|
||||
|
x |
|
x |
|
|
4. Закон распределения может быть задан графически -
многоугольником распределения
Для построения многоугольника распределения строим
прямоугольную систему координат. По оси абсцисс откладываем возможные значения хi, а по оси ординат – соответствующие им вероятности рi. Построим точки
, . Соединив эти точки отрезками прямых, получаем искомый многоугольник распределения.
Числовые характеристики случайных величин
Математическим ожиданием (или средним значением) д.с.в.
Х называется
= |
|
∙ |
|
|
|
|
=1 |
|
Если число возможных значений с.в. Х счетно, то
∞
= |
|
∙ = lim |
|
∙ |
|
|
|
|
→∞ |
|
|
|
=1 |
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
||
Свойства математического ожидания
1. =
Док-во: c – д.с.в. принимающая только одно значение.
|
= ∙ = |
= ∙ 1 |
2. |
|
= |
|
|
|
|
||
Док-во: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
∙ = c |
|
|
∙ = cM(X) |
|
|
=1 |
|
|
=1 |
|
|
|
3. + |
= |
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Док-во: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
+ = |
|
|
( + ) ∙ = |
|
|
+ |
|
= |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
=1 =1 |
|
|
|
=1 =1 |
|
=1 =1 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
+ |
|
= |
∙ + |
∙ = |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
=1 |
=1 |
|
|
=1 |
=1 |
=1 |
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
= |
+ ( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= , |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Докажем, что |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= P X = = P |
= ; = = |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
= ; = = |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. Если X и Y независимы, то |
= ( ) ∙ ( ) |
|
|
||||||
Док-во: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т. к. X и Y независимы, то |
|
= = ; = = |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= = |
∙ = |
= ∙ |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
= ; = |
= |
= |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 =1 |
|
|
|
|
=1 =1 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
= ( ) ∙ ( ) |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
Дисперсия дискретной случайной величины
Дисперсией (рассеянием) с.в. Х называется математическое ожидание квадрата её отклонения от своего математического
ожидания.
= − 2
Дисперсия характеризует разброс значений с.в. Х относительно
её математического ожидания. |
|
|
|
|
||
На практике удобнее |
|
|
|
|
|
|
|
|
= 2 |
− 2 |
|
|
|
Док-во: |
|
|
|
|
|
|
|
= − |
2 = M 2 − 2 |
+ 2 |
= |
||
|
= M 2) − (2 ) + (2 |
|
= |
|
||
= M 2) − 2 ( ) |
+ 2( |
= 2 − 2 |
|
|
||
Т.к. |
- величина постоянная. |
|
|
|
|
|
Свойства дисперсии
1. = 0
Док-во:
= M − ( ) 2 = M c − c ² = M 0 = 0 2. = 2( )
Док-во:
= M − ( ) 2 = M cX − cM(X) ² =
= 2 − ( ) 2 = 2M |
− ( ) 2 = 2( ) |
|
||||
3. Если X и Y независимы, то + |
= + |
|
|
|||
Док-во: |
|
|
|
|
|
|
|
+ = ( + )2 − 2 + = |
|
|
|||
= 2 |
+ 2 + 2 |
− 2 |
− 2 |
− 2 |
|
|
= 2 |
−2 + 2 −2 |
= |
+ |
|
|
|