ТВ случайные события Заочное

Пример. В урне находится 12 белых и 8 черных шаров. Какова вероятность того, что наудачу вынутый шар будет белым?

Свойства вероятности:

1)Ω = 1

2)= 0

3)0 < ( ) < 1

Вероятность любого события 0 ≤ ( ) ≤ 1

Элементы комбинаторики

Комбинаторика – раздел математики, в котором изучаются задачи выбора элементов из заданного множества и расположения их в группы по заданным правилам, в частности задачи о подсчете числа комбинаций (выборок), получаемых из элементов заданного конечного множества.

Правило произведения: если из некоторого конечного множества первый объект (элемент x) можно выбрать

1 способами и после каждого такого выбора второй объект (элемент y) можно выбрать 2 способами, то оба объекта (x и y) в указанном порядке можно выбрать 1 ∙ 2 способами.

Пример. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, если: а) цифры не повторяются? б) цифры могут повторяться?

а) 5 ∙ 4 ∙ 3 = 60 б) 5 ∙ 5 ∙ 5 = 125

Правило суммы. Если некоторый объект x можно выбрать 1 способами, а объект y можно выбрать 2 способами, причем первые и вторые способы не пересекаются, то любой из указанных объектов (x или y), можно выбрать 1 + 2 способами.

Пример. В группе 14 девушек и 6 юношей. Сколькими способами можно выбрать, для выполнения различных заданий, двух студентов одного пола.

Двух девушек можно выбрать 14 ∙ 13 = 182 способами, Двух юношей 6 ∙ 5 = 30 способами.

Двух студентов одного пола можно выбрать

182 + 30 = 212 способами.

Формулы комбинаторики

Пусть дано n различных элементов.

Размещениями из n элементов по m элементов (0 < ≤ ) называются выборки (комбинации), состоящие из m элементов, которые отличаются друг от друга либо составом элементов, либо порядком их расположения.

Число размещений

Пример. Сколько можно составить сигналов из 6 флажков

различного цвета, взятых по 2?

²6 = 6 ∙ 5 = 30

Перестановкой из n элементов называется размещение из n элементов по n элементов.

Это комбинации, состоящие из n элементов и отличающиеся друг от друга только порядком следования элементов.

Число перестановок

= !

! !

= ⁿ = ( − )! = 0! = !

Пример. Составить различные перестановки из элементов множества = 2,7,8 ; подсчитать их число.

Сколькими способами можно расставить на полке пять различных книг?

Сочетаниями из n элементов по m элементов (0 < ≤ ) называются выборки (комбинации), состоящие из m элементов, которые отличаются друг от друга только составом элементов.

Число сочетаний

Геометрическое определение вероятности

Геометрический способ подсчета вероятности

применяется, когда элементарные исходы эксперимента могут быть интерпретированы как точки отрезка, фигуры или тела. (когда число различных исходов испытания – бесконечное несчетное множество).

•Пусть отрезок l составляет часть отрезка L. Если предположить, что вероятность попадания точки на отрезок l пропорциональна длине этого отрезка, то вероятность попадания точки на отрезок l определяется равенством

Р= Длина l/ Длина L.

•Аналогично определяются вероятность попадания точки в плоскую фигуру g, составляющую часть плоской фигуры G

Р= Площадь g/Площадь G

•и вероятность попадания точки в пространственную фигуру v, которая составляет часть фигуры V

Р= Объём v /Объём V.

Геометрическая вероятность обладает всеми свойствами, присущими классическому определению:

1)Ω = 1

2)= 0

3)0 ≤ ( ) ≤ 1

4)Если ∙ = (события несовместны), то

+ = + ( )

Пример. На плоскости начерчены две концентрические окружности, радиусы которых 5 и 10 см. Найти вероятность того, что точка, брошенная наудачу в большой круг, попадает в кольцо, образованное построенными окружностями.

Площадь кольца (фигуры g)

Площадь большого круга

Искомая вероятность

Правила сложения и умножения вероятностей

1. Сложение вероятностей.

•Правило сложения вероятностей совместных событий.

Для любых событий А и В

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ), где

Р(А+В) – вероятность появления хотя бы одного из двух событий,

Р(АВ) – вероятность совместного появления двух событий.

• Правило сложения вероятностей несовместных событий

Р(А+В)=Р(А)+Р(В).