ЭБ14-1-AnalGeom-ДемченкоСергейВячеславович
.pdf
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Аналитическая геометрия : тест 6 (Демченко Сергей Вячеславович ) |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ + + + + + + + 8+ + + + + + + + + |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ + + + + + + + |
7+ + + + + + + + + |
|
|||||||
1. (7 |
б.) Общее |
уравне- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
+ + + + + + + + |
6 |
|
|
+ + + + + |
|
||||||||||||||||
|
|
5+ + + + |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ + + + + + + + + + + + + + + + + |
|
||||||||
ние |
|
прямой, |
проходящей |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
+ + + + + + + + |
4+ + + + + + + + + |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I@ |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
через |
точку |
|
перпен- |
|
|
|
@ |
v |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
+ + + + + + + + + + + + + + + + + |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
→− |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
дикулярно |
|
вектору |
|
|
→− , |
|
|
+ + + + + + + + 2+ + + + + + + + + |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ + + + + + + + |
+ + + + + + + + + |
|
||||||||
см. |
рис. |
справа, |
|
может |
|
|
+ + + + + + + + + + + + + + + + +- |
||||||||||||||||
|
|
|
8 7 6 5 |
4 3 2 |
1 |
|
|
1 |
2 3 |
4 5 6 7 8 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
+ + + + + |
|
|
быть |
представлено |
в |
|
виде |
|
−+−+−+−+−+−+−+−+ + + + + |
|
||||||||||||||||
|
|
|
+ + + |
|
− |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ + + + + |
2+ + + + + + + + + |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
) = 0, |
|
|
+ + + +t |
|
|
− |
3+ + + + + + + + + |
|
|||||||
( |
− |
|
) + ( |
− |
|
|
+ + + + |
|
|||||||||||||||
|
|
|
+ |
|
|
− |
4+ + + + + + + + + |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
+ + + |
+ + + + |
|
|||||||||||||||
т.е. приводя подобные члены, |
|
|
+ + + + + + + |
− |
5+ + + + + + + + + |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ + + + + + + |
+ |
6+ + + + + + + + + |
|
||||||||
+ |
+ = 0. |
|
|
|
|
|
|
− |
7+ + + + + + + + + |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
+ + + + + + + |
+ |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
8+ + + + + + + + + |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ + + + + + + |
− |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
за задачи |
за коэфф-ты |
Аналитическая геометрия : тест 7 (Демченко Сергей Вячеславович )
1.(3 б.) Прямая задана параметрическими уравнениями
= 5 −4,
= −5 +5, Отметьте все те точки, которые принадлежат :
= 3 −2.
(−19, 9, 10) |
|
|
(2, −7, 2) |
(−4, 5, −2) |
||||||
(−9, 10, −5) |
|
|
(−14, 4, 13) |
(−6, 4, −3) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
за |
|
|
|
|||||
|
за задачи |
|
|
коэфф-ты |
|
|||||
Аналитическая геометрия : тест 8 (Демченко Сергей Вячеславович )
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ + + + + + + + 8+ + + + + + + + + |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ + + + + + + + 7+ + + + + + + + + |
|
||||||||||||||||
1. (10 |
б.) |
|
|
Найти проекцию |
|
+ + + + + + + + |
6+ +u |
+ + + + + + + |
|
|||||||||||||||||||
точки на прямую. Уравне- |
+ + + + + + + + 5+ + + + + + + + + |
|
||||||||||||||||||||||||||
+ + + + + + + + |
4+ + + + + + + + + |
|
||||||||||||||||||||||||||
ния прямой (нач.точка ): |
|
+ + + + + + + + |
3+ + + + + + + + + |
|
||||||||||||||||||||||||
−−→ |
= |
|
→−i + |
|
→−j = |
|
|
+ + + + + + + + 2+ + + + + + + + + |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
( |
) |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
−+−+−+−+−+−+−+−− |
1+ + + + + + + + + |
|
|||||||||||||||||||||
= 2 + 2 , |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
= 2→−i + |
→−j + 2→−i + |
→−j |
, |
+ + + + + + + + |
|
|||||||||||||||||||||||
+ + + + + + + + + + + + + + + + +- |
||||||||||||||||||||||||||||
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
7 |
6 |
5 |
4 |
3 |
2 |
1 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
|
|
{ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ + + + + + + |
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
= |
− |
+ |
|
, |
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
1+ + + + + + + + + |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
+ |
+ = 0,+ + + + + + + + |
2+ + + + + + + + + |
||||||||||||||||||||
ур-я проецирующей прямой: |
|
|
|
|
|
|
|
+ 3+ + + + + + + + + |
|
|||||||||||||||||||
+ + + + + + + |
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
−−→ |
= |
|
→−i + |
|
→−j = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
4+ + + + + + + + + |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
5+ + + + + + + + + |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ + + + + + + + |
|
||||||||||||||||||
= →−i + |
|
|
→−j + |
( |
→−i + |
→−j , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
( , |
|
|
) . |
|
|
) |
|
+ + + + + + +u − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ + + + + + + |
+ + + + + + + + + + |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ + + + + + + + + + |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ + + + + + + − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 8+ + + + + + + + + |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Выполните построения.
за задачи |
за коэфф-ты |
Аналитическая геометрия : тест 9 (Демченко Сергей Вячеславович )
1. (16 б.) |
Общие уравнения плоскости, проходящей через точ- |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n = |
− |
4 |
− |
3 |
− |
3 |
, име- |
|
ку (−4, −2, 3) перпедикулярно вектору →− |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
ют вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
в векторной форме: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
( |
→− →− →− |
|
|
|
|
|
) →−i |
|
|
) + |
→− + ( |
)−+ |
) →− |
|
) = 0, |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
− |
( |
|
|
( |
|
|
( ) |
|
||||||||||
|
i + j + k , ( |
|
|
|
|
|
+ ( |
|
) j |
|
|
|
k = 0, |
|
|
||||||||||
в координатной форме: |
|
|
− |
|
|
− |
|
|
|
− |
|
|
|
||||||||||||
что после приведения подобных да¨ет |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
+ |
+ |
+ |
|
= 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
за |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
за задачи |
|
|
|
коэфф-ты |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Аналитическая геометрия : тест 10 (Демченко Сергей Вячеславович )
1. (13 |
б.) |
|
Общие |
уравнения плоскости, |
проходящей |
че- |
|||||||||||||||||||||
рез |
точку |
( |
− |
2, 3, 5) |
параллельно |
векторам |
b = |
− |
4 +5 4 |
, |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
→− |
− |
|
|||||||||||||||||
c = |
− |
3 |
− |
4 +2 |
, имеют вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
→− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
в векторной форме: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
(− |
→− →− →− |
|
− |
|
→− |
|
|
|
→− |
|
) −→ |
|
) = 0, |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 ( ) + |
( )−+ |
( ) |
|
|
|
||||||||||
|
6 i + j + k , ( |
|
|
|
) i + ( |
− |
) j + ( |
k = 0, |
|
|
|||||||||||||||||
в координатной форме: − |
|
|
− |
|
|
− |
− |
|
|
|
|||||||||||||||||
что после приведения подобных да¨ет |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
−6 + |
|
+ |
+ = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
за |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
за задачи |
|
|
коэфф-ты |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Аналитическая геометрия : тест 11 (Демченко Сергей Вячеславович )
1. (15 |
б.) |
Общие уравнения плоскости треугольника , |
|||||||||||||||||||||||
где |
(3, 5, −6), |
(−1, 10, −10), |
|
(0, 1, −4) |
(учитывая, что |
||||||||||||||||||||
−→ |
|
|
, |
) |
|
и |
−→ |
|
|
|
→− |
|
|
→− |
|
→− ) имеют вид |
|||||||||
( , |
|
|
|
= i + j + k |
|
|
|||||||||||||||||||
в векторной форме: |
|
|
|
|
|
|
|
|
− →− |
|
− ) →− |
|
|||||||||||||
(− |
6→−i |
|
→− →− |
|
|
− |
|
|
→− |
|
|
|
) = 0, |
||||||||||||
|
|
+ |
j + k , ( |
|
|
6 ( 3) + |
( 5) + |
( ) |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
3) i + ( |
|
5) j + ( |
|
k = 0, |
||||||||||||||||
в координатной форме: − |
|
|
− |
|
|
|
− |
|
− |
|
|||||||||||||||
что после приведения подобных да¨ет |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
−6 + |
+ |
|
+ = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
за |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
за задачи |
|
|
|
коэфф-ты |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Аналитическая геометрия : тест 12 (Демченко Сергей Вячеславович )
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
q |
l |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
1. (10 б.) У пирамиды известны |
PP |
|
|
|
|||||
|
|
PP |
PP |
l |
|||||
координаты вершин: (3, 5, 14) , |
|
|
|
|
|
l |
|||
|
|
|
|
|
|
PP P l |
|||
|
|
|
|
|
|
P l |
|||
(11, 10, 13) , (5, 19, 1) , (32, 28, −8) . |
|
|
|
|
|
|
PlP |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Параметрические уравнения высоты пирамиды ,
(учитывая, что |
( , , ) |
= i + j + k |
||||||||||
−→ |
|
|
|
|
и −→ |
→− →− →− ): |
||||||
= |
+ |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
= 32+ , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
+ |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
за |
|
|
|
|
|
||||
|
|
за задачи |
|
|
коэфф-ты |
|
|
|||||
Аналитическая геометрия : тест 13 (Демченко Сергей Вячеславович )
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
q |
l |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
1. (16 б.) У пирамиды известны |
PP |
|
|
|
|||||
|
|
PP |
PP |
l |
|||||
координаты вершин: (5, 2, 16) , |
|
|
|
|
|
l |
|||
|
|
|
|
|
|
PP P l |
|||
|
|
|
|
|
|
P l |
|||
(21, 9, 17) , (5, 8, 10) , (40, 28, −6) . |
|
|
|
|
|
|
PlP |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Параметрические уравнения высоты пирамиды ,
(учитывая, что |
( , |
, ) |
и |
= i + j + k |
|||||||||||
−→ |
|
|
|
|
−→ |
→− |
→− |
→− ): |
|||||||
= |
+ |
, |
плоскости : |
+ |
+ |
+ |
= 0, |
||||||||
= 40+ , |
|
|
Общее уравнение |
|
|
|
|||||||||
= |
+ |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
коодинаты точки ( , |
, |
) . |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
за задачи |
за коэфф-ты |
Аналитическая геометрия : тест 14 (Демченко Сергей Вячеславович )
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J |
J |
|
|
|
|
|
|
|
1. (17 б.) У треугольника известны |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
JJ |
|
|
|
||||||||||||||||||
координаты |
вершин: |
|
(4, 2, |
− |
3) , |
|
|
|
Π |
|
J |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
JJPP |
P |
|
|
|
|||||||
(−1, 4, −6) , |
(−2, −1, −5) . |
|
Об- |
|
|
|
q |
|
JJ |
|
|
PPPPPP |
|
|
||||||||||||
щие уравнения |
высоты |
|
|
тре- |
|
|
|
q |
q |
J |
|
J |
|
|
PPP |
|
||||||||||
|
|
|
|
J |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
угольника , (учитывая, что |
|
|
|
|
|
q |
J |
J |
|
|
|
|||||||||||||||
−→ |
, ) |
и |
−→ |
|
→− |
|
→− |
|
→− ): |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
( , |
|
|
= i + j + k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
{ Π : −5( − 4) + |
( − |
) + ( − ) = 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
: |
−13 + |
|
+ |
+ |
= 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Параметрические уравнения |
|
= |
− |
2+39 , |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
высоты : |
|
|
|
|
= |
+ |
|
|
|
. |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
= |
+ |
|
|
|
, |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
за задачи |
за коэфф-ты |
Аналитическая геометрия : тест 15 (Демченко Сергей Вячеславович )
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
{ |
= −2 +3 |
5 |
|
|
4 |
|
|
1. |
(2 б.) Тангенс угла между прямыми |
= 5 −2, |
и |
−5 |
= |
−5 |
|
||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
равен |
|
|
(см. указание 4). |
|
{ |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
2. |
(2 |
б.) |
Тангенс |
угла |
между |
|
= − +5 |
|
и |
||||||||||||||||
прямыми |
= −2 +3, |
||||||||||||||||||||||||
|
3 −5 +2 = 0 равен |
|
|
|
|
(см. указание 4). |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
3. |
(2 |
б.) |
Тангенс |
|
|
угла |
между |
прямыми −3 −2 +12 = |
0 |
и |
|||||||||||||||
|
5 −4 +22 = 0 равен |
|
|
|
|
(см. указание 4). |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
за задачи |
за коэфф-ты |